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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第12 章 磁场
第12.9 讲 带电粒子在组合场中的运动
【知识点精讲】
带电粒子在电场和磁场的组合场中运动，实际上是将粒子在电场中的加速和偏转，与在磁场中偏转两
种运动有效组合在一起，有效区别电偏转和磁偏转，寻找两种运动的联系和几何关系是解题的关键。当带
电粒子连续通过几个不同的场区时，粒子的受力情况和运动情况也发生相应的变化，其运动过程则由几种
不同的运动阶段组成。具体求解方法如下图所示。
【方法归纳】
“5 步”突破带电粒子在组合场中的运动问题
【最新高考题精练】
1． （2022 天津学业水平选择性考试）如图所示，M 和N 为平行金属板，质量为m，电荷量为q 的带电粒
1
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子从M 由静止开始被两板间的电场加速后，从N 上的小孔穿出，以速度v 由C 点射入圆形匀强磁场区域，
经D 点穿出磁场，CD 为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子
速度方向与磁场方向垂直，重力略不计。
（1）判断粒子的电性，并求M、N 间的电压U；
（2）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r；
（3）若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间t。
【参考答案】（1）正电，
；（2）
；（3）
【命题意图】本题考查动能定理、洛伦兹力与牛顿运动定律及其相关知识点。
【名师解析】
（1）带电粒子在磁场中运动，根据左手定则可知粒子带正电。粒子在电场中运动由动能定理可知
解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力提供向心力，有
解得
（3）设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为
，如图
2
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依题意粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，由几何关系，得
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，有
带电粒子在磁场中运动的时间
联立各式解得
2.（2023 高考湖北卷） 如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy 平面向里的匀强磁场。t =
0 时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向射入，第一次到达点O 时与运动到该点的带正电粒
子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3 倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙
刚好运动了两个圆周。己知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正碰，
碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求：
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小；
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小；
（3）
时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到
的过程中粒子乙运动的路程。
（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
3
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【参考答案】（1）
；（2）
，
；（3）甲（－6a，0），乙（0，0），67πa
【名师解析】
（1）由题知，粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向射入到达点O，则说明粒子甲的半径
r = a
根据
解得
（2）由题知，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周，则
T 甲 = 2T 乙
根据
，有
则
粒子甲、乙碰撞过程，取竖直向下为正有
mv 甲0＋m 乙v 乙0= －mv 甲1＋m 乙v 乙1
4
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解得
v 乙0= －5v 甲0，v 乙1= 3v 甲0
则第一次碰撞后粒子乙的速度大小为
。
（3）已知在
时，甲、乙粒子发生第一次碰撞且碰撞后有
v 甲1= －3v 甲0，v 乙1= 3v 甲0
则根据
，可知此时乙粒子的运动半径为
可知在
时，甲、乙粒子发生第二次碰撞，且甲、乙粒子发生第一次碰撞到第二次碰撞过程中乙
粒子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S1= 6πa
且在第二次碰撞时有
mv 甲1＋m 乙v 乙1= mv 甲2＋m 乙v 乙2
解得
v 甲2= v 甲0，v 乙2= －5v 甲0
可知在
时，甲、乙粒子发生第三次碰撞，且甲、乙粒子发生第二次碰撞到第三次碰撞过程中乙
粒子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S2= 10πa
且在第三次碰撞时有
mv 甲2＋m 乙v 乙2= mv 甲3＋m 乙v 乙3
解得
5
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v 甲3= －3v 甲0，v 乙3= 3v 甲0
依次类推
在
时，甲、乙粒子发生第九次碰撞，且甲、乙粒子发生第八次碰撞到第九次碰撞过程中乙粒子
运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S8= 10πa
且在第九次碰撞时有
mv 甲8＋m 乙v 乙8= mv 甲9＋m 乙v 乙9
解得
v 甲9=－3v 甲0，v 乙9= 3v 甲0
在
到
过程中，甲粒子刚好运动半周，且甲粒子的运动半径为
r 甲1 = 3a
则
时甲粒子运动到P 点即（－6a，0）处。
在
到
过程中，乙粒子刚好运动一周，则
时乙粒子回到坐标原点，且此过程
中乙粒子走过的路程为
S0 = 3πa
故整个过程中乙粒子走过总路程为
S = 4 × 6πa＋4 × 10πa＋3πa = 67πa
3. （2023 高考选择性考试辽宁卷）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的
倍。金属板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强
磁场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P 点飞
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出电场，并沿PO 方向从图中O'点射入磁场。己知圆形磁场区域半径为
，不计粒子重力。
（1）求金属板间电势差U；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画
出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的侧形磁场区域的圆心M。
【参考答案】（1）
；（2）
或
；（3）
【名师解析】
（1）设板间距离为
，则板长为
，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为
根据牛顿第二定律得，电场力提供加速度
解得
设粒子在平板间的运动时间为
，根据类平抛运动的运动规律得
，
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联立解得
（2）设粒子出电场时与水平方向夹角为
，则有
故
则出电场时粒子的速度为
粒子出电场后沿直线匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供匀速圆周运动所需
的向心力得
解得
已知圆形磁场区域半径为
，故
粒子沿
方向射入磁场即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入
磁场时运动方向的夹角为
，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为
，由几何关系可得
故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为
或
；
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（3）带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为
，根据几何关系可知，带电粒子在
该磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最
长。则相对应的运动轨迹和弦以及圆心M 的位置如图所示：
【最新模拟题精练】
1.（2023 湖南名校联考）. 如图所示，在
轴下方宽度为
的区域中，
的区域有沿
轴正方向
的匀强电场，场强
，
的区域无电场。在
和
的区域内存在垂直纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度
。一比荷
的带正电粒子从
点由静止释放，不计粒子重力，以下判断正确的是（ ）
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A. 粒子第一次经过
轴时速度大小为
B. 粒子第三次经过
轴时速度方向与
轴垂直
C. 粒子第三次经过
轴时的位置坐标为
D. 粒子从开始释放到第五次经过
轴所用的时间为
【参考答案】D
【名师解析】
粒子从M 点由静止释放经过电场加速到第一次经过
轴过程中有
得
故A 错误；
BC．根据题意画出粒子的运动轨迹如图所示
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设粒子经过电场加速一次后在磁场中
运动半径r1，由洛伦兹力提供向心力得
得
同理可知，粒子经过电场加速两次后在磁场中
运动半径
由图可知，粒子第三次经过
轴时速度方向与
轴不垂直，粒子第三次经过
轴时的位置坐标不为
，故BC 错误；
粒子在磁场中运动
周期为
粒子在电场中第一次加速的时间为
粒子在电场中第二次加速的时间为
粒子在无电场和磁场区域做匀速直线运动时间分别为
、
则粒子从开始释放到第五次经过
轴所用的时间为
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故D 正确。
2. （2023 湖南名校联合体高二期末）中国科学院高能物理研究所是我国从事高能物理研究、先进加速器
物理与技术研究及开发利用先进射线技术与应用的综合性研究基地。在高能物理研究中，需要实现对微观
粒子的精准控制。如图所示，电子由P 点从静止开始仅在电场作用下沿直线
做加速直线运动，从Q 点
射出，
与直线
夹角为α，且P、Q、M 三点均位于纸面内。已知电子的电荷量为
（
）、质
量为m、加速电压为U，若电子击中与枪口相距d 的点M。求：
（1）电子从Q 点射出时的速度大小v；
（2）若仅在空间加入一个垂直于纸面的磁场
，请确定它的方向，并求出其大小；
（3）若仅在空间加入一个与直线
平行的磁场
，求
的大小。
【参考答案】（1）
；（2）
，方向垂直纸面向里；
（3）
，
【名师解析】
（1）加速过程，根据动能定理
解得
（2）如图，几何关系得
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电子运动的半径
洛伦兹力提供向心力
解得
根据左手定则，磁场方向垂直纸面向里
（3）将速度沿着和垂直
方向分解
垂直于
方向做圆周运动，有
运动周期
平行于
方向做勺速直线运动
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分运动的时间相同，有
，
则
，
3.（2023 江苏重点高中联考） 如图，直角坐标系xOy 中存在无限长的平行边界MN（与y 轴重合）和
PQ，两者间距为5h，0≤x≤5h 区域内的x 轴上、下部分分别存在垂直纸面向外、向里的匀强磁场，磁感应
强度大小分别为B、
，在第二象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场。现将质量为m，带电量为q
（q>0）的粒子从点
处射入电场，倒时改变粒子速度和电场强度大小，保证粒子均从点
垂直于y 轴进入磁场。不计粒子重力，
。
（1）若电场强度大小为
，求粒子从C 点进入磁场时的速率
；
（2）若
，求粒子轨迹第一次与x 轴交点的坐标；
（3）若粒子从PQ 边界点
飞出，求粒子在两磁场运动的最短时间
和最长时间
。
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【参考答案】：（1）
；（2）
；（3）
，
【名师解析】：（1）由斜抛运动规律得
，
由牛顿第二定律得
解得
（2）当
时，粒子进入磁场速度为
由牛顿第二定律得
粒子在磁场中运动的轨迹如下图所示
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由几何关系得
得
故粒子轨迹第一次与x 轴交点的坐标
（3）粒子在磁场的轨迹半径满足
如图
由几何关系
联立解得
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设粒子周期数为
，则有
n 取1 时，时间最短，
；n 取3 时，时间最长，
，粒子恰好不从MN 边界射出，又粒子在
上、下部分磁场内运动的周期分别为T1，T2，即
，
且
解得
4. （2023 福建厦门四模）如图甲所示，某直线加速器由金属圆板和4 个金属圆筒依次排列组成，圆筒左右
底面中心开有小孔，其中心轴线在同一水平线上，圆板及相邻金属圆筒分别接在周期性交变电源的两极．
粒子自金属圆板中心无初速度释放，在间隙中被电场加速（穿过间隙的时间忽略不计），在圆筒内做匀速
直线运动．粒子在每个金属圆筒内运动时间恰好等于交变电压周期的一半，这样粒子就能在间隙处一直被
加速。电荷量为q、质量为m 的质子
通过此加速器加速，交变电压如图乙所示（
、
未知），粒子
飞出4 号圆筒即关闭交变电源．加速后的质子从P 点沿半径
射入圆形匀强磁场区域，经过磁场偏转后
从Q 点射出。
已知匀强磁场区域半径为R，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，不
计一切阻力，忽略磁场的边缘效应，求：
（1）质子在圆形磁场中运动的时间；
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（2）直线加速器所加交变电场的电压
；
（3）若交变电压周期不变，粒子换成氚核
，为使氚核在每个金属圆筒内运动时间仍等于交变电压周期
的一半，需将交变电压调为
的多少倍？
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）3 倍
【名师解析】
（1）质子在圆形磁场中运动时，做匀速圆周运动，则有
，
，
解得
（2）粒子在磁场中运动时
，
质子在直线加速器中运动时，共经过4 次缝隙，由动能定理得
解得
（3）为使氚核在每个金属筒内运动时间仍等于交变电压周期的一米半，则速度大小不变
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得
即需将交变电压调为
的3 倍
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