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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第12 章 磁场
第12.8 讲 磁聚焦、放缩圆、旋转圆问题
【知识点精讲】
1、“放缩圆”模型的应用
适用条件
速度方向
一定，大
小不同
粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场
时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度
的变化而变化。
轨迹圆圆
心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动
半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨
迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探
索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法。
2、“旋转圆”模型的应用
适用方法
速度大小
一定，方
向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场
时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度
为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示。
轨迹圆圆
心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆
心、半径R＝的圆上。
界定方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，
这种方法称为“旋转圆”法
3. “磁发散”和“磁汇聚”
在圆形边界的匀强磁场中，若带电粒子做匀速圆周运动的半径恰好等于磁场区域的半径，则有如下两
个重要结论：
磁发散
磁汇聚
当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向
进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方
向一定平行，而且与入射点的切线方向平
行。如图甲所示，此种情境称为“ 磁发
当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意
位置进入磁场区域时，粒子一定会从同一点
离开磁场区域，而且该点切线与入射方向平
行。如图乙所示，此种情境称为“ 磁汇
1
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散”。
聚”。
【方法归纳】
1.当带电粒子射入磁场的速度方向确定，速度大小变化或磁场磁感应强度大小变化时，粒
子做匀速圆周运动的轨道半径r 随着变化。可以以入射点为定点，作出半径不同的一系列轨
迹，即放缩圆。
2. 当带电粒子射入磁场的速度大小不变，方向改变，粒子做匀速圆周运动的轨道半径r
不变。可以以入射点为定点，作出轨迹圆，将轨迹圆旋转，即旋转圆。
3. 速度大小和方向相同的一排相同带电粒子进入直线边界，各个带电粒子的轨迹圆弧可
以由其它粒子的轨迹圆弧沿着边界平移，即定圆平移。
【最新高考题精练】
1．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，
为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，
在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时
间最长的粒子，其运动时间为( )
A．
B．
C．
D．
【最新模拟题精练】
1. （2022 湖南长沙明德中学模拟）如图所示，矩形ABCD 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的
2
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磁感应强度大小为B，AB 边长为d，BC 边长为2d，O 是BC 边的中点，E 是AD 边的中点，在O 点有一粒
子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子
射出的速度大小相同，速度与OB 边的夹角为
的粒子恰好从E 点射出磁场，不计粒子的重力，则（
）
A. 从AD 边射出与从CD 边射出的粒子数之比为
B. 粒子运动的速度大小为
C. 粒子在磁场中运动的最长时间为
D. 磁场区域中有粒子通过的面积为
2. （2022 湖南长沙长郡中学模拟）如图所示，磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线
为磁场的边界，其中bc 段是半径为R 的四分之一圆弧，ab、cd 的延长线通过圆弧的圆心，Ob 长为R。一
束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内以不同的速率从O 点垂直ab 射入磁场，已知所有粒子
均从圆弧边界射出，其中M、N 是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确
的是（ ）
3
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A. 从M 点射出粒子的速率一定小于从N 点射出粒子的速率
B. 从M 点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N 点射出粒子所用时间
C. 所有粒子所用最短时间为
D. 所有粒子所用最短时间为
3. (2023 云南昆明一中第9 次质检)如图所示，空闻有半径为R 的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为B，方
向垂直于纸面，在距圆心O 为
处有一粒子源，
时刻沿纸面内的任意方向上均匀发射出速度大小相
同的大量带电粒子，粒子比荷为k，粒子在磁场中运动的半径为
，则（ ）
A. 粒子在圆形磁场区域中运动的最短时问为
B. 粒子在圆形磁场区城中运动的最短时间为
4
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C.
时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
D.
时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
4..（2023 山东滕州质检） 8．如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
为B，在磁场边界上的M 点放置一个放射源，能在纸面内以速率v 向各个方向发射大量的同种粒子，粒子
的电荷量为q、质量为m（不计粒子的重力），所有粒子均从某段圆弧边界射出，其圆弧长度为
。下
列说法正确的是（ ）
A．粒子进入磁场时的速率为
B．所有粒子中在磁场中运动的最长时间是
C．将磁感应强度大小改为
时，有粒子射出的边界弧长变为
D．若粒子入射速率为
时，有粒子射出的边界弧长变为
5. 如图所示，横截面为正方形abcd 的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一束电子以大小不同、方
向垂直ad 边界的速度飞入该磁场，不计电子重力及相互之间的作用，对于从不同边界射出的电子，下列判
断正确的是( )
5
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A.从ad 边射出的电子在磁场中运动的时间都相等
B.从c 点离开的电子在磁场中运动时间最长
C.电子在磁场中运动的速度偏转角最大为π
D.从bc 边射出的电子的速度一定大于从ad 边射出的电子的速度
6.（2022 山东泰安三模）如图所示为一圆形区域，O 为圆心，半径为R，P 为边界上的一点，区域内有
垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B。电荷量为q、质量为m 的相同带电粒子
a、b（不计重力）从P 点先后以大小相等的速率
射入磁场，粒子a 正对圆心射入，粒子b 射入磁
场时的速度方向与粒子a 射入时的速度方向成θ 角，已知粒子a 与粒子b 在磁场中运动的时间之比为
3∶4，下列说法正确的是（ ）
A. 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r =R
B. θ=60°
C. θ=30°
D. a、b 粒子离开磁场时的速度方向也成θ 角
7. 如图所示，纸面内有宽为L，水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m、电荷量为-q、速率为
v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀
6
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强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是哪一种(其中B0=
，A、C、D 选项中曲线均
为半径是L 的
圆弧，B 选项中曲线为半径是
的圆)（ ）
8. （２０２２山西太原二模）如图，在以O 为圆心的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场。一对正、负
电子从A 点以相同的速度
沿与OA 成37°角，先、后进入该磁场，其中正电子从B 点离开磁场，负电子
从C 点离开磁场（图中未画出）。不计粒子受到的重力，已知
，则
为（取
qL
mv0
4
1
2
L
7
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）
A.
B.
C. 2
D.
9、[多选]如图所示是一个半径为R 的竖直圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直
纸面向内。有一个粒子源在圆上的A 点不停地发射出速率相同的带正电的粒子，带电粒子的质量均为m，
运动的半径为r，在磁场中的轨迹所对应的圆心角为α。以下说法正确的是( )
A．若r＝2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若r＝2R，粒子沿着与半径方向成45°角斜向下射入磁场，则有关系tan＝成立
C．若r＝R，粒子沿着圆形磁场的半径方向射入，则粒子在磁场中的运动时间为
D．若r＝R，粒子沿着与半径方向成60°角斜向下射入磁场，则圆心角α 为150°
10.（12 分）（2023 湖南新高考教研联盟第二次联考）如图所示，xOy 坐标系中，第三象限存在沿x 轴正向
的匀强电场，第四象限与x 轴和y 轴相切的半径为
的圆形区域内存在匀强磁场
，磁感应强度
，方向垂直纸面向里，x 轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场
，磁感应强度
。在第
三象限
，
至
间存在粒子源，比荷
的相同带正电粒子由粒子源
无初速度释放后进入电场，在电场中加速后进入圆形磁场，其中正对圆心入射的粒子经
偏转后恰好以垂
直于x 轴的方向经切点P 点进入磁场
，带电粒子最终都打到放置在x 轴上的收集板上。不计粒子的重力，
，
，求：
8
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（1）第三象限中加速电场的电场强度E；
（2）收集板最小长度L；
（3）带电粒子在磁场
、
中运动的总时间范围（用含
的分数式表示）。
11. (2023 河北衡水五模)如图所示，在xOy 平面内，以O'(O， R)为圆心、R 为半径的圆内有垂直于平面向
外的匀强磁场，x 轴下方有足够大的垂直于平面向里的匀强磁场，两区域磁感应强度大小相等．在O"(
R，-R)处，放置一半径R´=
的半圆弧形接收器EHF，EO"F 与y 轴平行，在圆形磁场的左侧0<y<2R 的区
间内均匀分布着质量为m、电荷量为+q 的一簇带电粒子，当所有粒子均沿x 轴正方向以速度v 射入圆形磁
场区域时，粒子偏转后都从O 点进入x 轴下方磁场，不计粒子重力、不考虑粒子间相互作用力，粒子离开
磁场后不再回到磁场．求：
（1）磁场的磁感应强度B 的大小；
9
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（2）［-R，（
+1）R］处的粒子经磁场偏转后能否被接收器接收；
（3）打到接收器上的粒子占粒子总数的百分比．
12.如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD 和EF。一电子从CD 边界
外侧以速率v0垂直射入匀强磁场，入射方向与CD 边界间夹角为θ。已知电子的质量为m，电
荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF 射出，求：
(1)电子的速率v0至少多大？
(2)若θ 角可取任意值，v0的最小值是多少？
13. （2023 江西部分重点高中联考）如图所示，以O 点为坐标原点在竖直面内建立坐标系，Oa、cd 是两个
线状粒子放射源，长度均为L=1m，放出同种带正电的粒子，粒子电荷量为
，粒子的质量
为
，其中Oa 发出的所有粒子初速度为零，cd 发出的所有粒子初速度均为
，
方向水平向右，带电粒子的重力以及粒子之间的相互作用均可忽略。曲线ob 的方程为
，在曲线Ob
与放射源Oa 之间存在竖直向上、场强E 大小为
的匀强电场；第一象限内、虚线eb 的上方
有垂直纸面向里、磁感应强度为
的匀强磁场I；第二象限内以O 为圆心、L 长为半径的四分之一圆形区
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域内有垂直纸面向里、磁感应强度为
的匀强磁场II。图中的Oe、ab、Oc、eb、ed 的长度均为L。观察
发现：Oa 发出的所有粒子均从同一点离开匀强磁场I，cd 发出的所有粒子在匀强磁场II 的作用下也汇聚于
同一点，即该点可接收到两个粒子源发出的所有粒子。在所有粒子到达汇聚点的过程中，求：
（1）粒子放射源Oa 发出粒子进入匀强磁场I 时的最大速度；
（2）匀强磁场I、II 的磁感应强度
、
的大小；
（3）Oa、cd 两个放射源中点M、N 发出的粒子在磁场中的运动时间之比。
14．（2023 四川宜宾重点高中二诊）（20 分）如图所示，在
平面内，三个半径为的四
分之一圆形有界区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ内有垂直纸面向外、磁感应强度为
的匀强磁场（含边界
上）。一群质量为
电荷量为的带正电的粒子同时从坐标原点O 以相同的速率、不同的方
向射入第一象限内（含沿轴、
轴方向），它们在磁场中运动的轨道半径也为，在
的区域，存在场强为
、沿
方向的匀强电场。整个装置在真空中，不计粒子的重力及粒子
之间的相互作用。求：
（1）粒子从O 点射入磁场时的速率
；
（2）这群粒子从O 点射入磁场至运动到轴的最长时间；
（3）这群粒子到达
轴上的区域范围。
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15. 电子质量为m、电荷量为e，从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限，射入时速度方向不同，
速度大小均为v0，如图所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为
B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN 上，荧光屏与y 轴平行。求：
(1)荧光屏上光斑的长度；
(2)所加磁场范围的最小面积。
16．如图甲所示,质量m=8.0×10−25kg，电荷量q=1.6×10−15C 的带正电粒子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第
一象限内，且在与x 方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为
v0=2.0×107m/s。现在某一区域内加一垂直于xOy 平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B=0.1T，若这些粒子
穿过磁场后都能射到与y 轴平行的荧光屏MN 上,并且当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保
持不变。(π=3.14)求：
（1）粒子从y 轴穿过的范围。
（2）荧光屏上光斑的长度。
（3）打到荧光屏MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间
差。
（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示）。
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17．（20 分）（2023 湖南名校联考）1897 年汤姆孙使用气体放电管，根据阴极射线在电场和磁场中的偏
转情况发现了电子，并求出了电子的比荷。比荷是微观带电粒子的基本参量之一，测定电子的比荷的方法
很多，其中最典型的是汤姆孙使用的方法和磁聚焦法。
（1）图 1 是汤姆孙使用的气体放电管的原理图。在阳极 A 与阴极 K 之间加上高压，A、A'是两个正对
的小孔，C、D 是两片正对的平行金属板，S 是荧光屏。由阴极发射出的电子流经过 A、A'后形成一束狭
窄的电子束，电子束由于惯性沿直线射在荧光屏的中央 O 点。若在 C、D 间同时加上竖直向下的匀强电
场和垂直纸面向里的匀强磁场，调节电场和磁场的强弱，可使电子束仍沿直线射到荧光屏的 O 点，此时
电场强度为 E，磁感应强度为 B。
a．求电子通过 A'时的速度大小 v；
b．若将电场撤去，电子束将射在荧光屏上的 O'点，可确定出电子在磁场中做圆周运动的半径 R，求e 电
子的比荷
e
m 。
（2）图 2 是磁聚焦法测比荷的原理图。在阴极 K 和阳极 A 之间加电压，电子由阳极 A 中心处的小孔
P 射出。小孔 P 与荧光屏中心 O 点连线为整个装置的中轴线。在极板很短的电容器 C 上加很小的交变
电场，使不同时刻通过这里的电子发生不同程度的偏转，可认为所有电子从同一点发散。在电容器 C 和
荧光屏 S 之间加一平行 PO 的匀强磁场，电子从 C 出来后将沿螺旋线运动，经过一段时间再次汇聚在
一点。调节磁感应强度 B 的大小，可使电子流刚好再次汇聚在荧光屏的 O 点。已知 K、A 之间的加速
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电压为 U，C 与 S 之间磁场的磁感应强度为 B，发散点到 O 点的距离为 l。
a．我们在研究复杂运动时，常常将其分解为两个简单的运动形式。你认为题中电子的螺旋运动可分解为
哪两个简单的运动形式？
b．求电子的比荷
e
m 。
18 .磁聚焦式霍尔推进器可作为太空飞船的发动机，其原理如下：系统捕获宇宙中大量存在的等离子
体(由电荷量相同的正、负离子组成)经系统处理后，从下方以恒定速率v1向上射入磁感应强度大小为B1、
垂直纸面向里的匀强磁场区域Ⅰ内，如图乙所示。当栅极MN、PQ 间形成稳定的电场后，自动关闭区域Ⅰ
系统(关闭粒子进入通道、撤去磁场B1)。区域Ⅱ内有磁感应强度大小为B2、垂直纸面向外的匀强磁场，磁
场右边界是直径为D、与上下极板相切的半圆(圆与下板相切于极板中央A)。放在A 处的放射源能够向纸面
内SN 上方各个方向均匀发射速度大小相等的氙原子核，氙原子核经过该区域后形成宽度为D 的平行氙粒
子束，经过栅极MN、PQ 之间的电场加速后从PQ 喷出，在加速氙原子核的过程中探测器获得反向推力(不
计氙原子核、等离子体的重力，不计粒子之间的相互作用与相对论效应)。已知极板长RM＝2D，栅极MN
和PQ 间距为d，氙原子核的质量为m、电荷量为q。
(1)求氙原子核在A 处的速度大小v2；
(2)求氙原子核从PQ 喷出时的速度大小v3；
(3)因区域Ⅱ内磁场发生器发生故障，导致区域Ⅱ中磁感应强度减半并分布在整个区域Ⅱ中，求能进入
区域Ⅰ的氙原子核占A 处发射粒子总数的比例。
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