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2025人教版新教材物理高考第一轮
第 4 讲专题提升 : “ 平移圆 ”“ 放缩圆 ”“ 旋转圆 ”“ 磁聚焦 ” 和 “ 磁发散 ” 模型
基础对点练
题组一 “动态圆”模型
1.(多选)利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子。图中板 MN上方是磁
感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场,板上有两条宽度分别为2d和d的缝,
两缝近端相距为L。一群质量为m、电荷量为q、速度不同的粒子,从宽度为2d的缝垂直
于板MN进入磁场,不计粒子间的相互作用和重力,对于能够从宽度为d的缝射出的粒子,
下列说法正确的是( )
A.射出粒子带正电
qB(3d+L)
B.射出粒子的最大速度为
2m
C.保持d和L不变,增大B,射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
D.保持d和B不变,增大L,射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
2.(2024广东梅州模拟)如图所示,正方形abcd内有一垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画
出),一束电子以不同的速度沿ab方向垂直磁场射入,形成从c点离开磁场区域和从d点离
开磁场区域的甲、乙两种轨迹。设沿甲、乙轨迹运动的电子速度大小分别为 v 、v ,在
甲 乙
磁场中运动的时间分别为t 、t ,则( )
甲 乙
1
A.v = v ,t =t
甲 乙 甲 乙
2
1 1
B.v = v ,t = t
甲 乙 甲 乙
2 2
C.v =2v ,t =t
甲 乙 甲 乙
1
D.v =2v ,t = t
甲 乙 甲 乙
2
3.圆形区域的匀强磁场如图所示,磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源,沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子,带电粒
子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的 2倍。已知该带电粒子的质量为
m、电荷量为q,不考虑带电粒子的重力。
(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径。
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。
题组二 “磁聚焦”和“磁发射”模型
4.带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图所示,真空中半
径为r的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的电
子流射入该磁场后聚焦于坐标原点 O。已知电子的质量为m、电荷量为e、进入磁场的
速度均为v,不计粒子间的相互作用力,则磁感应强度的大小为( )
mv √2mv mv 2mv
A. B. C. D.
2er 2er er er
5.(2023江苏盐城三模)如图所示,纸面内有宽为L、水平向右飞行的带正电粒子流,粒子的
质量为m、电荷量为q、速率为v ,不考虑粒子的重力及相互作用。要使粒子都会聚到一
0mv
点,可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域,设B = 0。选项A、B、C中的
0
qL
曲线均为半径是 L 的四分之一圆弧,其中 A、B 的磁感应强度 B=B ,C 的磁感应强度
0
B=2B ;选项D中曲线是直径为L的圆,磁感应强度B=B 。则磁场区域的形状及对应的磁
0 0
感应强度可能是( )
6.(多选)如图所示,坐标原点O处有一粒子源,能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为
m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),所有粒子速度大小相等。圆心在(0,R)、半径为
R的圆形区域内,有垂直于坐标平面向外的匀强磁场,磁感应强度为B,磁场右侧有一长度
为R且平行于y轴的荧光屏,其中心O 位于(2R,R)。已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁
1
场后,恰能垂直射在光屏上,则下列说法正确的是( )
qBR
A.所有粒子的初速度大小为
m
B.从O点发射的所有粒子都能垂直射在光屏上
πm
C.能射在光屏上的粒子,在磁场中运动时间最长为
qB
D.能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足60°≤θ≤120°
综合提升练
7.(多选)(2024四川绵阳模拟)如图所示,在PQ之间有水平向右的匀强电场,在QM之间的
两个半径为R的圆形内(不包含边界)存在方向相反的圆形磁场,两个圆形磁场相切且与边
界Q也相切,磁感应强度均为B,在两个圆形磁场右边并与圆形磁场相切有一个足够大的
挡板。在下边圆形磁场的最低点A处有一个粒子源可以在平面内向磁场内各个方向发射
qBR
速率为 、电荷量为 q、质量为 m 的带正电粒子,PQ 之间的距离为 2R,电场强度为
mqB2R
,不计粒子的重力和粒子间的相互作用力,粒子不发生碰撞,下列说法正确的是( )
2m
A.粒子速度减到零时刚好运动到电场左边界P
B.粒子水平向左进入匀强电场
πm
C.粒子在下边的圆形磁场中运动的时间均为
qB
D.粒子无法都垂直打在挡板上
8.(多选)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度,人们把此原理运用到薄
膜材料制备上,使芯片技术得到飞速发展。如图所示,宽度为r 的带正电粒子流水平向右
0
射入半径为r 的圆形匀强磁场区域,磁感应强度大小为B ,这些带电粒子都将从磁场圆上
0 0
O点进入正方形区域,正方形过O点的一边与半径为 r 的磁场圆相切。在正方形区域内
0
存在一个面积最小的匀强磁场区域,使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r ,
0
且粒子仍沿水平向右射出,不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力,下列说法正确的是(
)
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B ,方向垂直纸面向里
0
1
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为 B ,方向垂直纸面向里
0
2
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π-2)
r 2
0
π-2
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为 r 2
2 0
9.如图所示,水平面内存在垂直纸面向内的圆形匀强磁场,磁场圆心为O 、半径为R,另有
1
一长度为R的水平线状粒子发射源MN,P为MN的中点,O P连线与MN垂直。在圆形磁
1场圆心O 右侧2R处竖直放置一个足够大的矩形荧光屏,荧光屏上的AB边与线状粒子源
1
MN垂直,过O 作AB边的垂线,交点恰好为AB的中点O。线状粒子源能沿平行 PO 方向
1 1
发射某种质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子束,带电粒子的速度大小均为v ,已知
0
从MN射出的粒子经磁场偏转后都从F点射出。不计粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)求匀强磁场磁感应强度B 的大小。
1
(2)以AB边的中点O为坐标原点,沿AB方向建立x轴,求从M点射出的粒子打在荧光屏上
的位置坐标。
(3)求所有运动带电粒子在磁场中扫过的面积。
10.(2024广东湛江模拟)磁聚焦和磁发散技术在许多真空系统中得到了广泛应用,如电子
显微镜技术,它的出现为科学研究做出了重大贡献。现有一个磁发散装置,如图所示,在半
径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度为 B的匀强磁场,在圆形磁场区域
右侧有一方向竖直向下、电场强度为 E的匀强电场,电场左边界与圆形磁场右边界相切。
在水平地面上放置一个足够长的荧光屏 PQ,它与磁场相切于P点。粒子源可以持续地从
P点向磁场内发射速率为v、方向不同的带正电同种粒子。经观测,有一粒子a以竖直向
上的初速度射入磁场,该粒子经磁场偏转后恰好以水平方向离开磁场,然后进入电场区域。
粒子b进入磁场的速度方向与粒子a的速度方向夹角为θ(未知),进入磁场后,粒子b的运动轨迹恰好能通过圆形磁场的圆心O,最终也进入电场区域。已知电场强度和磁感应强度
的关系满足E=Bv,不计粒子重力及粒子间相互作用。求:
q
(1)粒子的比荷 ;
m
(2)粒子b与粒子a的夹角θ和b粒子打在荧光屏上的亮点到P点的距离x;
(3)入射方向与荧光屏所在平面成60°~120°区间范围内的粒子,最终打到荧光屏上形成的
亮线长度。
参考答案
第4讲 专题提升:“平移圆”“放缩圆”“旋转圆”“磁聚焦”和“磁发散”模型
mv2 mv
1.BC 解析 利用左手定则可判定,射出粒子带负电,A错误;利用qvB= 知r= ,能射
r qB
L L+3d qBr qB(3d+L)
出的粒子半径满足 ≤r≤ ,因此射出粒子的最大速度v = max = ,B正
2 2 max m 2m
qBr qBL 3qBd
确;射出粒子的最小速度v = min= ,Δv=v -v = ,由此可判定,C正确,D错误。
min m 2m max min 2m
mv
2.D 解析 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动,属于放缩圆模型,根据半径公式r= 可知
qB
v r 2 2πm
甲、乙轨迹运动的电子在磁场中运动的速度之比 甲= 甲= ,根据周期公式T= 可知
v r 1 qB
乙 乙甲、乙轨迹运动的电子在磁场中做圆周运动的周期相等,故甲、乙轨迹运动的电子在磁
1
T
t 4 1
场中运动的时间之比 甲= = ,故选D。
t 1 2
乙 T
2
3.答案 (1)见解析 (2)60°
解析 (1)带电粒子进入磁场后,受洛伦兹力作用,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得
v2 mv
Bqv=m ,得r= 。
r Bq
(2)粒子的速率均相同,因此粒子轨迹圆的半径均相同,但粒子射入磁场的速度方向不确定,
故可以保持圆的大小不变,只改变圆的位置,画出“动态圆”,通过“动态圆”可以观察到
粒子运动轨迹均为劣弧,如图甲所示,对于劣弧而言,弧越长,弧所对应的圆心角越大,当粒
子轨迹圆的弦长等于磁场直径时,粒子在磁场空间的偏转角最大,如图乙所示,有
φ R 1
sin max = = ,即φ =60°。
max
2 r 2
甲
乙
4.C 解析 由“磁聚焦”模型可知电子在磁场中运动的轨道半径 R=r,由牛顿第二定律得
mv2 mv
evB= ,得磁感应强度的大小为B= ,故选C。
R er
5.A 解析 已知磁感应强度B=B =mv ,由洛伦兹力提供向心力得qv B=mv 2 ,解得粒子
0 0 0 0
qL r
AL
的轨道半径为r =L,同理可得r =L,r = ,r =L,结合题意和“磁聚焦”模型的特点可知选
A B C D
2
项A正确。
6.AD 解析 由题意可知,初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后,恰能垂直射在光屏上,有
v2 mv BqR
qBv=m ,根据“磁发散”模型有r= =R,解得v= ,A正确;由于所有粒子的速度大
r Bq m
小相等,但方向不同,且离开磁场区域的出射点距离圆心的竖直高度最大值为 2R,并不会垂
直打在光屏上,B错误;在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹如图甲所示,由几何关系可得,
2π
2 2πr 1
运动时间最长的粒子对应轨迹的圆心角为 π,根据周期公式 T= 可得 t= 3 T= T=
3 v 3
2π
2πm
,C错误;粒子初速度方向与x轴夹角为θ 时,若能打在光屏下端,轨迹如图乙所示,由
1
3Bq
几何关系可得圆心角为60°,即初速度与x轴夹角为θ =60°,同理粒子打在光屏上端时(如
1
图甲所示),初速度与x轴夹角为θ =120°,D正确。
2
甲
乙
7.BC 解析 根据洛伦兹力提供向心力,有qv B=mv 2,又v =qBR,解得r=R,满足磁聚焦的
0 0 0
r m
条件,粒子出磁场后水平向左进入匀强电场,B正确;设粒子在匀强电场中减速到零时的位
1
移为x,根据动能定理有-qEx=0- mv 2,解得x=R,而PQ之间的距离d=2R,粒子运动到PQ
2 0
中间速度减到零,A错误;作出轨迹图,如图所示,根据磁聚焦可以得出粒子在下边的圆形磁πm
场中运动的两段圆弧圆心角之和是π,所以时间是半个周期,即t= ,C正确;根据磁聚焦
qB
知识粒子在上边的圆形磁场中射出后均能垂直打在挡板上,D错误。
8.BC 解析 根据磁聚焦原理,粒子在半径为r 的圆形磁场区域中运动,粒子运动的轨迹半
0
径为r ,有qB v=mv2,解得B =mv ,要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后
0 0 0
r qr
0 0
宽度变为2r ,且粒子仍沿水平向右射出,作出轨迹如图所示,由几何关系可知粒子的轨迹半
0
径为2r ,正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分,有qB v=m v2 ,解得B = mv ,比
0 1 1
2r 2qr
0 0
1
较可得B = B ,由左手定则可知,方向垂直纸面向里,A错误,B正确;如图中阴影部分,磁场
1 0
2
区域的最小面积为S =2(π-2) ,C正确,D错误。
2 r 2
0
mv √3R πR2
9.答案 (1) 0 (2)x= (3)
qR 3 3
解析 (1)带电粒子在圆形磁场中运动,根据洛伦兹力提供向心力,有
B qv =mv 2
1 0 0
r
由磁聚焦模型可知,粒子做圆周运动的半径r=R
解得圆形磁场的磁感应强度大小mv
B = 0。
1
qR
(2)设M点发射的粒子从F点离开磁场时与O O之间的夹角为θ,如图甲所示,由几何知识
1
可知
甲
L 1
sin θ= MP=
R 2
解得θ=30°
由几何知识可得,从M点射出的粒子打在荧光屏上的位置坐标
√3R
x=Rtan θ= 。
3
πR2
(3)扇形O'CF所围面积(如图乙所示)即所求面积,为S= 。
3
乙
v
10.答案 (1) (2)30° (√3+1)R
BR
(3)(√3-1)R
解析 (1)由磁发散模型可知粒子在磁场中运动的半径为
r=R
由牛顿第二定律有
v2
Bqv=m
r
得粒子的比荷q v
= 。
m BR
(2)画出粒子b的运动轨迹,如图甲所示
甲
根据几何关系可知POQO'构成一个边长为R的菱形,则
θ=30°
由于QO'∥OP,b粒子经过Q点的速度方向与QO'垂直,所以粒子b进入电场的方向也沿水
平方向。b粒子进入电场中做类平抛运动,有
1 qE
x =vt ,y =1.5R= · t 2
b b b 2 m b
解得x =√3R
b
所以b粒子打在荧光屏上的亮点到P点的距离为
x=x +R=(√3+1)R。
b
(3)入射方向与P点右侧荧光屏成60°的粒子,在磁场和电场中的运动轨迹如图乙所示
乙
由几何关系可知,粒子进入电场时距离荧光屏的距离为
h=0.5R
进入电场后,粒子做类平抛运动,有
1 qE
x'=vt,h=0.5R= · t2
2 m
解得x'=R
所以该粒子打到荧光屏的位置距离P点的距离为2R,根据(2)可知,入射方向与P点左侧荧
光屏成60°的粒子,打到荧光屏的位置距离P点的距离为(√3+1)R,所以入射方向与荧光屏
所在平面成60°~120°区间范围内的粒子,最终打到荧光屏上形成的亮线长度为
d=(√3+1)R-2R=(√3-1)R。
