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第 48 讲 动态圆、磁聚焦和磁发散问题
目录
01 模拟基础练
【题型一】动态圆模型的应用
【题型二】慈聚焦、磁发散问题的应用
02 重难创新练
【题型一】带电粒子在有界磁场中的运动
1．如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd，e是ad的中点，f是cd的中点，如果在a点沿对角线方
向以速度v射入一带负电的带电粒子，恰好从e点射出，不计粒子重力，则（ ）
A．只改变粒子的速度使其分别从e、d、f点射出时，从f点射出所用时间最长
B．只把磁场的磁感应强度变为原来的三分之一，粒子将从d点射出
C．只把粒子的速度增大为原来的三倍，粒子将从f点射出
D．只把粒子的速度增大为原来的三倍，粒子出射时的速度偏转角大于
2．长为L，间距也为L的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，今有质量
为m、带电量为q的正离子（重力不计）从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场。欲使离子不
打在极板上，入射离子的速度大小应满足的条件是（ ）① ② ③ ④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
3．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， ，
，一束 粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间
的相互作用。已知 粒子的质量为3m，电荷量为q。以下正确的为（ ）
A．粒子能到达de中点
B．从bc边界出的粒子运动时间相等
C．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动率为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
4．如图所示，一个边界为PQ、MN（两边界上有磁场）的足够大的匀强磁场区域，宽度为d，磁场方向垂
直纸面向里。O点处有一体积可忽略的粒子发射装置，能够在纸面内向磁场各个方向连续、均匀地发射速
度大小相等的质子，发现从磁场MN边界射出的质子数占总数的三分之一，不计质子间相互作用及重力，
则MN边界上有质子射出的区域长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界长
度足够长，间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为q的带正电的粒子，粒子射入磁场的速度 ，不计粒子的重力，则粒子能从PQ边界射出磁场的区域
长度为（ ）
A．d B．
C．2d D．
6．如图所示，在足够长的荧光屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度的大小B=0.1T、方向
与纸面垂直。距离荧光屏h=8cm处有一粒子源S，以速度v=5×105m/s不断地在纸面内向各个方向发射比荷
的带正电粒子，不计粒子的重力。则粒子打在荧光屏范围的长度为（ ）
A．10cm B．12cm C．20cm D．24cm
【题型二】带电粒子在磁场中的多解、临界问题
7．带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一、磁聚焦原理如图，真空中一半径为r的圆形区域
内存在垂直纸面的匀强磁场，一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的带电粒子流射入该磁场后汇聚于坐标原
点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相
互作用力。则磁感应强度的大小应为（ ）
A． B． C． D．
8．我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀
强磁场I、Ⅱ，磁感应强度分别为 ， 。两圆半径均为r，相切于O点。一束宽度为 的带电粒子流沿
x轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为 、进入磁场的速度均为
v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A． 的大小为
B．从O点进入磁场Ⅱ的粒子的速度仍相等
C．若 ，则粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在六分之一圆周上
D．若 ，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为
9．利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯
片技术得到飞速发展。如图，宽度为 的带正电粒子流水平向右射入半径为 的圆形匀强磁场区域，磁感
应强度大小为 ，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为 的
磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后
宽度变为 ，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是（
）
A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为 ，方向垂直纸面向里
B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为 ，方向垂直纸面向里C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
1．如图所示，在直线边界 的上方存在垂直纸面向里磁感应强度为 的匀强磁场， 点在 上。现
从 点垂直 在纸面内向上发射速度大小不同、质量均为 、电量均为 的粒子，已知
，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子在磁场中运动的最长时间为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，空间中存在一矩形磁场区域 ，在区域 内存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ，在区
域 内存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小均为 。 ，一带电粒子
以大小为 、方向沿 的速度进入磁场Ⅰ，运动一段时间后从 点离开磁场区域.不计粒子的重力，
粒子的比荷为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的长度可能为
B．粒子在磁场中运动的总时间可能为C．粒子从磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ的位置距离 点可能为
D．若粒子能通过 边上距离 点 的一点，则粒子的发射速度大小可能为
3．如图所示，直角三角形的AB边长为L， ，三角形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从D点沿着垂直BC边的方向以速度v射入磁
场，CD间距离为L，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B． 时，带电粒子垂直于AC边射出磁场
C．若粒子从BC边射出磁场，则
D．若粒子从AC边射出磁场，则
4．科学家利用磁场控制带电粒子的轨迹，研究粒子的性质。如图， 左下方空间内有垂直纸面向里的
匀强磁场， 。现有电荷量相同、质量不同的甲、乙两种正粒子，先后从 上 点以平行于
的相同速度射入磁场，甲、乙分别经过 上 、 两点， ，不考虑粒子间相互
作用力及重力，则（ ）
A．乙在磁场中运动的轨道半径为 B．乙的质量是甲质量的2.5倍
C．甲在磁场中运动时间大于乙 D．洛伦兹力对甲、乙均做正功
5．如图所示，区域AOC内有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。某一时刻，从S平行于
纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有部分粒子从边界OC射出磁场。已知∠AOC＝60°，从边界OC射出的粒子在
磁场中运动的最长时间等于 （T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在磁场中运动
的时间不可能为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，PQ为磁感应强度 、方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界，磁场中的O点有一
粒子源，它均匀地向纸面内各个方向同时发射速率为 、比荷为 的带正电的
粒子。已知O点与PQ的距离为8cm，不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用，下列判断正确的是（
）
A．PQ上有粒子飞出的区域长度为
B．飞出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间为
C．飞出磁场的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．飞出磁场的粒子数占所有粒子数的
7．如图所示，PQ为磁感应强度为 、方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界，磁场中的O点有
一粒子源，它均匀地向纸面内各个方向同时发射速率为 、比荷为 的带正电的粒
子．已知O点与PQ的距离为 ，不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用，下列判断正确的是（ ）A．飞出磁场的粒子数占所有粒子数的一半
B．PQ上有粒子飞出的区域长度为
C．飞出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间是最短时间的2倍
D．飞出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间是最短时间的 倍
8．如图所示，边长为0.64m的正方形内有磁感应强度 的匀强磁场，方向垂直于纸面向外。在正方
形中央处有一个点状的放射源P，它在纸面内同时向各个方向均匀连续发射大量同种粒子，该种粒子速度
大小为 ，比荷 。不考虑粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（
）
A．粒子在磁场中运动的最短时间为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．正方形边界上有粒子射出的区域总长为1.6m
D．稳定后单位时间内射出磁场的粒子数与单位时间内粒子源发射的总粒子数之比为1∶2
9．我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使
用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀
强磁场I、II，磁感应强度分别为B，B。两圆半径均为r，相切于O点。一束宽度为2r的带电粒子流沿x
1 2
轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为+q、进入磁场的速度均为v，
不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（ ）A．B 的大小为
1
B．从O点进入磁场II的粒子的速度仍相等
C．若 ，则粒子在磁场II的边界的射出点在四分之一圆周上
D．若 ，则粒子在磁场II中运动的最长时间为
10．如图所示，足够长的平行边界 MN、PQ 间有垂直纸面向里的匀强磁场， MN上A 处的粒子源可在纸
面内均匀向磁场中各个方向射入速度大小均为 v 的同种粒子。已知粒子的质量为 m、电荷量为 q，磁场
磁感应强度为 B，两边界的间距 不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 求粒子能从 PQ、MN
边界射出的
（1） 粒子数之比η；
1
（2） 区域长度之比η。
2
11．磁聚焦和磁发散技术在许多真空系统中得到了广泛应用，如电子显微镜技术，它的出现为科学研究做
出了重大贡献。现有一个磁发散装置，如图所示，在半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外，磁感应强
度为B的匀强磁场，在圆形磁场区域右侧有一方向竖直向下，电场强度为E的匀强电场，电场左边界与圆
形磁场右边界相切。在水平地面上放置一个足够长的荧光屏PQ，它与磁场相切于P点。粒子源可以持续
的从P点向磁场内发射速率为v方向不同的带正电同种粒子。经观测：有一粒子a以竖直向上的初速度射
入磁场，该粒子经磁场偏转后恰好以水平方向离开磁场，然后进入电场区域。粒子b进入磁场的速度方向
与粒子a的速度方向夹角为 （未知），进入磁场后，粒子b的运动轨迹恰好能通过圆形磁场的圆心O，
最终也进入到电场区域。已知电场强度和磁感应强度的关系满足 ，不计粒子重力及粒子间相互作用。求：
（1）粒子的比荷 ；
（2）粒子b与粒子a的夹角 和b粒子打在荧光屏上的亮点到P点的距离x；
（3）入射方向与荧光屏所在平面成 区间范围内的粒子，最终打到荧光屏上形成的亮线长度。
12．带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个粒子的质量为 、
电荷量为 ）以初速度 垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在 平面内的粒子，
求解以下问题。
（1）如图，宽度为 的带电粒子流沿 轴正方向射入圆心为 、半径为 的圆形匀强磁场中，若带
电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点 ，求该磁场磁感应强度 的大小；
（2）如图，虚线框为边长等于 的正方形，其几何中心位于 。在虚线框内设计一个区域面积最
小的匀强磁场，使汇聚到 点的带电粒子流经过该区域后宽度变为 ，并沿 轴正方向射出。求该磁场磁
感应强度 的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；
13．如图所示，在xOy平面的第一象限内有半径为R的圆形区域，该区域内有一匀强磁场，磁场的方向垂
直纸面向里。已知圆形区域的圆心为 ，其边界与x轴、y轴分别相切于P、Q点。位于P处的质子源均
匀地向纸面内以大小为v的相同速率发射质量为m、电荷量为e的质子，且质子初速度的方向被限定在
两侧与 的夹角均为 的范围内。第二象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，
在x轴（ ）的某区间范围内放置质子接收装置MN。已知沿 方向射入磁场的质子恰好从Q点垂直
y轴射入匀强电场，不计质子受到的重力和质子间的相互作用力。
（1）求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度大小B；（2）求y轴正方向上有质子射出的区域范围；
（3）若要求质子源发出的所有质子均被接收装置MN接收，求接收装置MN的最短长度x。
14．如图所示，矩形区域abcd平面内有垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ab边长为
4L，bc边长为L。在矩形中心O处有一粒子源，在平面内向各方向均匀发射出速度大小相等的带电粒子，
粒子带电量均为+q，质量均为m。若初速度平行于ab边的粒子离开磁场时速度方向偏转了60°角，不计粒
子之间的相互作用及粒子重力，取 。求
（1）粒子在磁场中运动的速度大小；
（2）粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间的比值；
（3）某时刻发射出的粒子中，当初速度方向平行于ab边的粒子离开磁场时，这些粒子中未离开磁场的粒
子数与已经离开磁场的粒子数之比。
15．如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为
d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点。在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个
方向射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹
角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，求：
（1）粒子带电荷的电性；
（2）粒子运动的速度大小；
（3）从AD边离开的粒子在磁场中运动的最短时间；
（4）从AD边离开的粒子在磁场中经过的区域形成的面积。
