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解题技巧专题：圆中辅助线的作法
——形成精准思维模式，快速解题
类型一 遇弦过圆心作弦的垂线或连半径
1．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若
OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是( )
A．4 B. C．8 D.
第1题图 第2题图
2．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝16cm，CD＝6cm，
⊙O的半径为________．
类型二 遇直径添加直径所对的圆周角
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE等于( )
A．60° B．75° C．90° D．120°
第3题图 第4题图
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是________．
5．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝
∠EAC.
类型三 遇切线连接圆心和切点
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6．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切
点为B，则线段AB长度的最小值为( )
A．1 B. C. D．2
7．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接
BC.若∠A＝26°，则∠ACB的度数为________．
8．★如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N.
(1)求证：∠ADC＝∠ABD；
(2)求证：AD2＝AM·AB；
(3)若AM＝，sin∠ABD＝，求线段BN的长．
参考答案与解析
1．C 2.cm 3.C 4.50°
5．证明：连接BD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠BAD＋∠D＝90°.∵AE是
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△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC＋∠ACB＝90°.∵∠D＝∠ACB，∴∠BAD＝∠EAC.
6．C 7.32°
8．(1)证明：连接OD.∵CD是⊙O的切线，∴∠ADC＋∠ADO＝90°.又∵AB为⊙O的直
径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠ADC＝∠ODB.又∵OD＝OB，∴∠ODB＝
∠ABD，∴∠ADC＝∠ABD.
(2)证明：由(1)得∠ADC＝∠ABD，∠ADB＝90°.又∵AM⊥MN，∴∠AMN＝∠ADB＝90°，
∴△ADM∽△ABD，∴＝，∴AD2＝AM·AB.
(3)解：由(1)知∠ADC＝∠ABD，∴sin∠ADC＝sin∠ABD＝，∴＝.又∵AM＝，∴AD＝6，∴AB
＝＝10.在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝＝8.∵∠BND＝∠BDA＝90°，∴∠BDN＋∠MDA
＝90°，∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠BDN＝∠BAD，∴△DBN∽△ABD，∴＝，∴BN＝＝.
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