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综合滚动练习：二次函数的图象和性质及表达式的确定
时间：45分钟 分数：100分 得分：________
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．(2017·哈尔滨中考)抛物线y＝－－3的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2．抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是( )
A．直线x＝1 B．直线x＝－1 C．直线x＝－2 D．直线x＝2
3．将抛物线y＝x2－2x－3向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛
物线的表达式为( )
A．y＝(x－1)2＋4 B．y＝(x－3)2－1 C．y＝(x＋2)2＋6 D．y＝(x－3)2－7
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线x＝－
5．(2017·永州市祁阳县二模)在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx的
图象可能是( )
6．(2017·常德市澧县三模)若抛物线y＝x2－2x＋m的最低点的纵坐标为n，则m－n的值
是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
7．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点(2，
0)，有下列说法：①abc＜0；②a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(0，y)，(1，y)是抛物线上的两
1 2
点，则y＝y.其中正确的是【方法5】( )
1 2
A．①②④
B．③④
C．①③④
D．①②
8．(2017·南宁中考)如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C ：y＝x2(x≥0)和抛物线
1
C ：y＝(x≥0)交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C 交于点C，D，过点B
2 2
作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C 交于点E，F，则的值为( )
1
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A. B.
C. D.
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．(2017·邵阳中考)若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则a的值可能是________(写
一个即可)．
10．已知抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1，则实数b的值为________．
11．点A(－3，y)，B(2，y)在抛物线y＝x2－5x上，则y________y(填“>”“<”或“＝”)．
1 2 1 2
12．已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是________，最大值是
________．【方法4②】
13．如图，已知抛物线y＝－x2＋3x的对称轴与一次函数y＝－2x的图象交于点A，则点
A的坐标为__________．
14．★(2017·鄂州中考)已知正方形ABCD中A(1，1)、B(1，2)、C(2，2)、D(2，1)，有一抛物
线y＝(x＋1)2向下平移m个单位(m＞0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点，则m的
取值范围是________．
三、解答题(共44分)
15．(10分)已知函数y＝x2＋bx－1的图象经过点(2，3)．
(1)求这个函数的表达式；
(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
(3)观察图象，说明y随x的增大是怎样变化的？
16．(10分)已知二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y轴对称，其顶点为
A，与x轴两交点为B，C(B点在C点左侧)．
(1)求B，C两点的坐标；
(2)求△ABC的面积．
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17．(10分)如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
18．(14分)(2017·永州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过A(－1，0)，B(1，1)两点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)阅读理解：
在同一平面直角坐标系中，直线l：y＝kx＋b(k，b 为常数，且k≠0)，直线l：y＝kx＋
1 1 1 1 1 1 2 2
b(k，b 为常数，且k≠0)，若l⊥l，则k·k＝－1.
2 2 2 2 1 2 1 2
解决问题：
①若直线y＝3x－1与直线y＝mx＋2互相垂直，求m的值；
②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求
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出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B 2.B 3.B 4.D 5.C 6.C
7．A 解析：∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0.∵二次函数的图象交y轴的正半轴于
一点，∴c＞0.∵对称轴是直线x＝，∴－＝，∴b＝－a＞0，∴abc＜0，a＋b＝0，∴①②正确；
∵抛物线经过点(2，0)，∴当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＝0，∴③错误；∵(0，y)关于直线x＝的对
1
称点的坐标是(1，y)，∴y＝y，∴④正确．综上所述，正确的结论是①②④.故选A.
1 1 2
8．D 解析：设点A，B的横坐标为a，则点A的纵坐标为a2，点B的纵坐标为.∵BE∥x轴，
∴点F的纵坐标为.∵点F是抛物线y＝x2上的点，∴点F的横坐标为a.∵CD∥x轴，∴点D
的纵坐标为a2.∵点D是抛物线y＝上的点，∴点D横坐标为2a，∴AD＝a，BF＝a，CE＝a2，
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OE＝a2，∴＝＝×＝.故选D.
9．－1(答案不唯一) 10.－2 11.＞ 12.－5 4 13.
14．2≤m≤8 解析：设平移后的表达式为y＝(x＋1)2－m，将B点坐标代入，得4－m＝
2，解得m＝2.将D点坐标代入，得9－m＝1，解得m＝8.∵y＝(x＋1)2向下平移m个单位(m＞
0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点，∴m的取值范围是2≤m≤8.
15．解：(1)由题意得3＝4＋2b－1，解得b＝0.∴这个函数的表达式为y＝x2－1.(3分)
(2)该函数图象如图所示．(5分)顶点坐标为(0，－1)．(7分)
(3)当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．(10分)
16．解：(1)由二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y轴对称，得m－1＝0，
解得m＝1，则2m－m2＝1.故函数的表达式为y＝－x2＋1.(3分)当y＝0时，有－x2＋1＝0，解
得x＝－1，x＝1，即B点的坐标为(－1，0)，C点的坐标为(1，0)．(6分)
1 2
(2)当x＝0时，y＝1，即A点的坐标为(0，1)，(8分)故S ＝×2×1＝1.(10分)
△ABC
17．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，∴将点A与点B的坐标代
入得解得(4分)则抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.(5分)
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点D的坐标为(1，4)．∵对称轴与x轴交于点
E，∴DE＝4，OE＝1.(7分)∵点B的坐标为(－1，0)，∴BO＝1，∴BE＝2.在Rt△BED中，根据
勾股定理得BD＝＝2.(10分)
18．解：(1)将A，B点坐标代入，得解得∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋1.(4分)
(2)①由直线y＝3x－1与直线y＝mx＋2互相垂直，得3m＝－1，∴m＝－.(7分)
②存在．(8分)设直线AB的表达式为y＝kx＋b，将A(－1，0)，B(1，1)代入得解得∴直线
3 3
AB的表达式为y＝x＋.当PA⊥AB时，设直线PA的表达式为y＝kx＋b ，∴k ＝－＝－2.将
4 4 4
A(－1，0)代入得b＝－2，∴直线PA的表达式为y＝－2x－2.联立直线PA与抛物线的表达式
4
得解得(舍去)即P(6，－14)；(10分)当PB⊥AB时，同理可得PB的表达式为y＝－2x＋3，联立
直线PB与抛物线的表达式得解得(舍去)即P(4，－5)．(13分)综上所述，当点P的坐标为(6，
－14)或(4，－5)时，△PAB是以AB为直角边的直角三角形．(14分)
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