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类比归纳专题：圆中求阴影部分的面积
——全面掌握核心方法，以不变应万变
类型一 割补法
一、直接转化为规则图形的加减
1．(2016·常德三模)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4.以A为圆
心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是________(结果保留π)．
第1题图 第2题图
2．如图，已知A(2，2)，B(2，1)，将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′(－2，
2)的位置，则图中阴影部分的面积为________．
二、含重叠部分的割补
3．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到
△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为( )
A.π B.π C.π D.π
第3题图 第4题图
4．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的
面积为________．
三、添加辅助线进行割补
5．(2016·深圳中考)如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB
的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，阴影部分的
面积为( )
A．2π－4 B．4π－8
C．2π－8 D．4π－4
第5题图 第6题图
6．(2016·毕节中考)如图，分别以边长等于1的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影
部分的面积为________．
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7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，分别以B，C为圆心，2
为半径画弧，求阴影部分的面积．
类型二 等积法
一、旋转、对称等积转化
8．如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴
影部分的面积是________．
第8题图 第9题图
9．(2016·泰州中考)如图，⊙O的半径为2，点A，C在⊙O上，线段BD经过圆心O，
∠ABD＝∠CDB＝90°，AB＝1，CD＝，则图中阴影部分的面积为________．
二、同底等高的三角形等积转化
10．如图，P是半径为2的⊙O外一点，PB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，且BC
＝2，则图中阴影部分的面积为________．
第10题图 第11题图
类型三 折叠问题中求面积
11．(2016·德州中考)如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的
中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．
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参考答案与解析
1．8－2π
2.π 解析：∵A点坐标为(2，2)，B点坐标为(2，1)，∴OA＝4，OB＝.如图，∵由A(2，2)旋
转到点A′(－2，2)，∴∠A′OA＝∠B′OB＝90°.根据旋转的性质可得S ＝S ，∴S
扇形OBC 扇形OB′C′ 阴影
＝S －S ＝π×42－π×()2＝π.
扇形OAA′ 扇形OCC′
3．A 解析：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形．由题意得S ＝S ，
△AED △ABC
由图形可知S ＝S ＋S －S ，∴S ＝S ＝＝π.故选A.
阴影 △AED 扇形ADB △ABC 阴影 扇形ADB
4. 解析：在Rt△AOB中，AB＝＝，S ＝π×＝π，S ＝OB×OA＝，S ＝＝，故S
半圆 △AOB 扇形OBA
＝S ＋S －S ＝.
阴影 半圆 △AOB 扇形OBA
5．A 解析：连接OC.∵∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，∴∠COD＝
45°，∴OC＝＝4，∴S ＝S －S ＝×π×42－×(2)2＝2π－4.故选A.
阴影 扇形OBC △ODC
6.－1 解析：如图，O为AB的中点，连接PA，PB，OP，则S ＝＝，S ＝AB·OP＝
半圆O △ABP
×1×＝.故S ＝4(S －S )＝4＝－1.
阴影 半圆O △ABP
7．解：观察图形，会发现这是两个扇形(扇形BAE与扇形CAD)重叠的一个组合图形．如
图所示，过点A作AF⊥BC，垂足为F，则S ＝S ＋S －S .即S ＝2S －
阴影 扇形BAE 扇形CAD △ABC 阴影 扇形BAE
S ＝2×－×2×2＝π－2.
△ABC
8．24π 解析：∵AB＝AB′＝12，∠BAB′＝60°，∴S ＝S ＋S －S ＝S
阴影 扇形B′AB 半圆O′ 半圆O 扇形B′AB
＝＝24π.
9.π 解析：在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OA＝2，AB＝1，∴OB＝＝，sin∠AOB＝＝，
∠AOB＝30°.同理，可得OD＝1，∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠AOB＋(180°－∠COD)＝30°＋
180°－60°＝150°.在△AOB和△OCD中，∵
∴△AOB≌△OCD(SSS)，∴S ＝S ＝π×22＝π.
阴影 扇形OAC
10. 解析：连接OC，OB.∵OB＝OC＝BC＝2，∴△OAB为等边三角形，∴∠COB＝60°.
而BC∥OA，∴S ＝S ，∴S ＝S ＝＝.
△OCB △PCB 阴影 扇形OBC
11.－ 解析：如图，连接OM交AB于点C，连接OA，OB.由题意知OM⊥AB，且OC＝
MC＝.在Rt△AOC中，∵OA＝1，OC＝，∴cos∠AOC＝＝，AC＝＝，∴∠AOC＝60°，AB＝
2AC＝，∴∠AOB＝2∠AOC＝120°，则S ＝S －S ＝－××＝－，S ＝S －
弓形AMB 扇形OAB △AOB 阴影 半圆
2S ＝π×12－2(－)＝－.
弓形AMB
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