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考点综合专题：圆与其他知识的综合
——几几结合，代几结合，掌握中考风向标
类型一 圆与平面直角坐标系的综合
1．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则
cos∠OBC的值为( )
A. B. C. D.
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴，y轴交于B，C两点，
已知B(8，0)，C(0，6)，则⊙A的半径为________．
3．(2016·泸州中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a
＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值
是________．
类型二 圆与三角函数的综合
4．(2016·衢州中考)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交
AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为( )
A. B. C. D.
第4题图 第5题图
5．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：
①sinC＞sinD；②cosC＞cosD；③tanC＞tanD中，正确的结论为________(填序号)．
6．如图，已知点A，B，C在⊙O上，且点B是的中点，当OA＝5cm，cos∠OAB＝时．
(1)求△OAB的面积；
(2)连接AC，求弦AC的长．
类型三 圆与特殊四边形的综合
7．如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD相切，若正方形ABCD的边长为2，
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则⊙O的半径为( )
A．1 B. C. D.
第7题图 第8题图 第9题图
8．(2016·山西中考)如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD
相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为( )
A. B. C．π D．2π
9．★★(2016·淄博中考)如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为
60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切，此时菱形的边
长为______________．
10.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心O在AC上，∠A＝30°，D为的中点．
(1)求证：AB＝BC；
(2)试判断四边形BOCD的形状，并说明理由．
类型四 圆与相似的综合
11．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于
点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件错误的是( )
A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE
C．AD2＝BD·CD D．CD·AB＝AC·BD
第11题图 第12题图
12．(2016·丽水中考)如图，⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC
于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是( )
A．3 B．2 C．1 D．1.2
13．如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点P，已知PA＝3cm，PB＝4cm，PC＝2cm，那
么PD＝________cm.
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14．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC＝
∠BAC.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求证：AC2＝AD·AB；
(3)若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．
类型五 圆与函数的综合
15．(2016·衡阳中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标为A(－，0)，B(，
0)，C(0，3)．
(1)求△ABC内切圆⊙D的半径；
(2)过点E(0，－1)的直线与⊙D相切于点F(点F在第一象限)，求直线EF的解析式．
参考答案与解析
1．B 2.5
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3．6 解析：∵A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a>0)，∴AB＝1－(1－a)＝a，CA＝a＋1－1
＝a，∴AB＝AC.∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝AC＝a.如图，延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大．
∵A(1，0)，D(4，4)，∴AD＝5，∴AP′＝5＋1＝6，∴a的最大值为6.
4．A
5．①③ 解析：设BD交⊙O于点E，连接AE.∵∠C＝∠AEB，∠AEB＞∠D，∴∠C＞
∠D，∴sinC＞sinD，cosC＜cosD，tanC＞tanD，∴正确的结论有①③.
6．解：(1)过O作OH⊥AB于H.∵OA＝5cm，cos∠OAB＝，∴AH＝OA·cos∠OAB＝3cm，
∴OH＝4cm，AB＝2AH＝6cm，∴S ＝AB·OH＝12cm2；
△OAB
(2)设AC交OB于M.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴sin∠OBA＝.∵B是AC的中点，
∴AB＝BC，∴AB＝BC.∵OA＝OC，∴OB垂直平分AC.∴AM＝AB·sin∠MBA＝6×＝(cm)，
∴AC＝2AM＝cm.
7．D
8．C 解析：连接OE，OF.∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED＝90°.∵四边形
ABCD是平行四边形，∠C＝60°，∴∠A＝∠C＝60°，∠D＝120°.∵OA＝OF，∴∠A＝∠OFA
＝60°，∴∠DFO＝120°，∴∠EOF＝360°－∠D－∠DFO－∠DEO＝30°，∴lEF＝＝π.故选C.
9．4或或 解析：第一种情况：如图①，过点O作直线l的垂线，交AD于E，交BC于F，
过点A作AG⊥直线l于点G，由题意得EF＝2＋4＝6，四边形AGFE为矩形，∴AG＝EF＝6.
在Rt△ABG中，AB＝＝＝4；
第二种情况：如图②，过点O作OE⊥l于点E，过点D作DF⊥l于点F，则OE＝4，DF＝
2.在Rt△DCF中，DC＝＝DF＝；
第三种情况：如图③，过点O作EF垂直于BA延长线于点E，交CD于点F，过点A作
AG⊥CD于点G，则AG＝EF＝4.在Rt△AFG中，AF＝＝AG＝.故答案为4或或.
10．(1)证明：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA＝90°，∠AOB＝90°－30°＝60°.∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠AOB＝30°＝∠A，∴AB＝BC；
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(2)解：四边形BOCD为菱形．理由如下：连接OD交BC于点M.∵D是BC的中点，∴OD
垂直平分BC.在Rt△OMC中，∵∠OCM＝30°，∴OC＝2OM＝OD，∴OM＝MD，∴四边形
BOCD为菱形．
11．D
12．C 解析：∵等腰Rt△ABC中BC＝4，∴AC＝BC＝4，AB＝4.∵AB为⊙O的直径，
∴∠D＝90°.在Rt△ABD中，AD＝，AB＝4，∴BD＝.∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，∴＝＝＝.设AE＝x，则BE＝5x，∴DE＝－5x，∴CE＝28－25x.∵AC＝4，
∴x＋28－25x＝4，解得x＝1.故选C.
13．6 解析：连接AC，DB.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△APC∽△DPB，∴＝，∴PD＝＝
＝6(cm)．
14．(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵∠DAC＝∠BAC，∴∠OCA＝
∠DAC，∴AD∥OC.又∵AD⊥EF，∴OC⊥EF，∴EF是⊙O的切线；
(2)证明：连接 BC，则∠ACB＝90°.∵∠DAC＝∠BAC，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ABC∽△ACD，∴＝，即AC2＝AD·AB；
(3)解：由(1)知∠ACD＋∠ACO＝90°.∵∠ACD＝30°，∴∠OCA＝60°.∵OC＝OA，
∴△ACO是等边三角形，∴AC＝OC＝2，∠AOC＝60°.在Rt△ADC中，∵∠ACD＝30°，∴AD
＝1，CD＝.∴S ＝S －S ＝×(1＋2)×－＝－π.
阴影 梯形OCDA 扇形OCA
15．解：(1)连接BD.∵B点坐标为(，0)，C点坐标为(0，3)，∴OB＝，OC＝3，∴tan∠CBO＝
＝，∴∠CBO＝60°.∵点D是△ABC的内心，∴BD平分∠CBO，∴∠DBO＝30°，∴OD＝
OB·tan30°＝1，即△ABC内切圆⊙D的半径为1；
(2)连接DF，过点F作FG⊥y轴于点G.∵E点坐标为(0，－1)，∴OE＝1，DE＝2.∵直线
EF与⊙D相切，∴∠DFE＝90°，DF＝1，∴sin∠DEF＝＝，∴∠DEF＝30°，∴∠GDF＝60°，
∠DFG＝30°.在Rt△DGF中，∵∠DFG＝30°，∴DG＝DF＝，GF＝，∴点F的坐标为.设直线
EF的解析式为y＝kx＋b，代入点E，F的坐标得解得∴直线EF的解析式为y＝x－1.
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