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第6讲 一元二次方程
一、 知识清单梳理
知识点一：一元二次方程及其解法 关键点拨及对应举例
1. 一元二 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． 例：方程 是关于x的
次方程的 (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次 一元二次方程，则方程的根为 － 1.
相关概念 项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解. 解一元二次方程时，注意观
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解. 察， 先特殊后一般，即先考虑
能否用直接开平方法和因式
2. ( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的求根公式为 x=
一元二 分解法，不能用这两种方法解
次方程的 时，再用公式法.
（b2-4ac≥0）.
解法 例：把方程x2+6x+3=0变形为
(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也 (x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.
可以考虑用配方法．
知识点二 ：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
例：方程 的判别式
等于8，故该方程有两个不相等的
(1)当Δ＝ >0时，原方程有两个不相等的实数根． 实数根；方程 的判
3.
根的判
别式等于 － 8 ，故该方程没有实数
别式 (2)当Δ＝ = 0时，原方程有两个相等的实数根． 根.
(3)当Δ＝ <0时，原方程没有实数根．
（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别 与一元二次方程两根相关代数式的
为x 、x,则x+x=-b/a,xx=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是 常见变形：
1 2 1 2 1 2 (x+1)(x+1)=xx+
△≥0. 1 2 1 2
(x+x)+1,x2+x2=(x+x)2-2xx,
1 2 1 2 1 2 1 2
*4. 根与系 （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先
数的关系 把所求代数式变形为含有x 1 +x 2 、x 1 x 2 的式子，再运用根与系数的关系 等.
求解.
失分点警示
在运用根与系数关系解题时，注意
前提条件时△=b2-4ac≥0.
知识点三 ：一元二次方程的应用
（1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次 运用一元二次方程解决实际
方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． 问题时，方程一般有两个实数
根，则必须要根据题意检验根
（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
是否有意义.
4. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均
列一元
增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
二次方程
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
解应用题
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通
过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.
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