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*2.4 一元二次方程根与系数的关系
第一环节：复习回顾
内容：
1、一元二次方程的一般形式？ ax2+bx+c=0 (a≠0)（板书）
2、一元二次方程有实数根的条件是什么？ (△=b2-4ac≥0)
3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？
4、一元二次方程的求根公式是什么？
目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，
有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫
效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“a≠0”。
后面的问题由于较简单，学生很快回答出来，提高了学生自信心。
第二环节：情景引入
新课 标 第 一 网
内容：同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的
两根和与两根积？
（1）x2+3x+4=0 （2）6x2+x-2=0 （3） 2x2-3x +1=0
目的：通过游戏入手，激发学生学习兴趣。
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效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究新知的兴趣。自然引
出本节课要学习的课题
第三环节：探究新知
内容： 计算填表（验证第一环节游戏的结果）
方程 x x x x xx
1 2 1+ 2 1 2
x2+3x+4=0
6x2+x-2=0
2x2-3x +1=0
问题：
1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？
2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是
所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？
3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根x ，x 与
1 2
a、b、c之间的关系：____________。
4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。
（分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。）
目的：本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使
学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与
系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
效果：在复习旧知的基础上，学生很快口完成了表格，为解决后面的问题做好
了准备。问题串让学生合作解决，在探究的过程中体现了特殊到一般，从实践到
理论的认知规律。
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第四环节：尝试发展
新 - 课-标 -第 -一- 网
尝试题1：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积
（方程两根为x ，x 、k是常数）
1 2
（1）2x2-3x-1=0 x +x = ________ x x = ________
1 2 1 2
（2）3x2+5x=0 x +x = ________ x x =
1 2 1 2
________
（3）x2+7x=-6 x +x = _________ x x =
1 2 1 2
_________
（4）5x2+kx-6=0 x +x = _________ x x = _________
1 2 1 2
（学生迅速演算或口算）
尝试题2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的
（1）平方和 （2）倒数和 （3）差
新|课 | 标|第 |一| 网
尝试题3：已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。
目的：“尝试题1”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，
其中第（3）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（4）小题是起过渡作用设计。
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“尝试题2” 将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式。例如：
x 2+ x 2=( x +x )2-2 x x
1 2 1 2 1 2;
“尝试题3” 展示学生的不同作法，通过比较，学生可以体会到用根与系数
的关系来解决此类问题比较简便。
效果：1、两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生
的易错点
2、将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式时，部分学生不能熟练
的掌握。
3、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优
能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验
第五环节：拓展创新
1．已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条
边c=4,求这个三角形的周长。
X k B 1 . c o m
2、变式训练：
已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边
c能等于15吗？
3、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3.
目的：1、第1、2题把一元二次方程根与系数的关系与三角形三边关系相组
合，借此锻炼学生综合分析、推理、归纳的能力。
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2、第3题已知方程的两根求作一个一元二次方程，是一元二次方程根与系数
的关系的逆用，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度。同时要注意答案的多样
性及其中的规律
效果：留给学生充分的独立思考和小组合作交流的时间与空间，使学生在资
源共享的同时，充分体会到一元二次方程根与系数的关系的广泛应用和便捷，
第六环节 感悟与收获
内容：师生互相交流总结
在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况
X k B 1 . c o m
④当a≠0，b2-4ac≥0时，x +x = ，x x =
1 2 1 2
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
目的：鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，
解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人
已有的知识体系中。
效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑
思维能力，提高了推理技能。
第七环节 布置作业
P A 知识技能1 B 数学理解3
52
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C、已知方程 的一个根为2，求另一个根及 的值。
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