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想
2.1 一元二次方程
第 1 课时 一元二次方程（1）
学 习 1、使学生了解一元二次方程的意义。
目 标 2、通过提供实际问题的情境，让学生感受到在我们的生活、学习中方程知识
的实际意义。
3、能够根据具体问题中的数学关系，列出程体会一元二次方程是刻画现实世
界的一个有效的数学模型。
学习重点 建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。
学习难点 在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。
教 学 互 动 设 计 设计意图
一、自主学习 感受新知 鼓励学生独立
【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10 解决问题，让学
米，则绿地的长和宽各为多少？ 生初步感受一
【分析】设宽为x米，则列方程得： x ( x +10)=900 ； 元二次方程，同
整理得 x 2 +1 0 x -900= 0 ① 时让学生体会
【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加 方程这一刻画
现实世界的数
到7.2万册，求这两年的年平均增长率。
【分析】设这两年的年平均增长率为x，则列方程得： 5(1 + x ) 2 =7. 2； 学模型．
整理得 5 x 2 +1 0 x -2.2= 0 ②
【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比
赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【分析】全部比赛共4×7=28 场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与
其它 （ x -1 ） 队各赛 1 场，全场比赛共 场，列方程得：
；
整理得 x 2 - x -56= 0 ③
二、自主交流 探究新知 主体活动，探索
【探究】（1）上面三个方程左右两边是含未知数的 整式 （填 “整 一元二次方程
式”“分式”“无理式”）； 的定义及其相
（2）方程整理后含有 一 个未知数； 关概念．
（3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 二 次。
【归纳】
1、一元二次方程的定义
等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的
最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下
形式：
ax2+bx+c=0(a≠0)
这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次项，a 是二
次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。
【注意】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果
a=0，b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这
个条件。
【补充练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程？
判断一个方程
（1）x3－２ｘ2＋５＝０； （２）x2＝１；
是不是一元二
次方程，首先要
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对其整理成一
（３）5x2-2x- =x2-2x+ ； （４）２（x＋１）2＝３（x＋１）；
般形式，然后根
据定义判断。
（５）x2－２x＝x2＋１； （６）ax2＋bx＋c＝０
三、自主应用 巩固新知
【例1】将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出 进一步巩固一
其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 元二次方程的
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x 基本概念
（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得：
3x2-3x=5x+10
移项合并同类项，得：
3x2-8x-10=0
其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10。
【注意】二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面
的符号.
【例2】将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，
并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
【分析】通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化
成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解：去括号，得：
x2+2x+1+ x2-4=1
移项合并同类项，得：
2x2+2x-4=0
其中二次项是2x2，二次项系数是2，一次项是2x，一次项系数是-8，常
数项是-10。
【例3】求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，
该方程都是一元二次方程．
【分析】要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明
m2-8m+17≠0即可．
证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【练习】Р27 1 2
四、自主总结 拓展新知
1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为
bx+c=0，就不是一元二次方程。
2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。
五、课堂作业 P28 1 2 5 6 7 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第 2 课时 一元二次方程（2）
学 习 1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。
目 标 2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。
学习重点 一元二次方程解的探索。
学习难点 一元二次方程近似解的探索。
教 学 互 动 设 计 设计意图
一、自主学习 感受新知
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【问题1】把方程3x(x－1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项系
数、一次项系数及常数项。 复习巩固一元二
次方程的相关概
念。
【问题2】判断下列方程哪些是一元二次方程？为什么？
①x2+4x+ =0 ②x2+3x－2= x2
③x2－2xy－3=0 ④a x2+bx+c=0
二、自主交流 探究新知
【探究】猜测方程 的解是什么？ 探究一元二次方
程根的概念以及
作用．
【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程
的解，又叫作一元二次方程的根．
【问题3】下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
进一步巩固方程
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
的根的含义．
【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相
方程的根可以起
等即可．
到检验的作用
解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或
——检验一个数
x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
是否是方程的
【问题4】认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你
根．
的理由。
⑴x2-16=0 ⑵ (x+3)(x-2)=0
⑶ (x-2)2=49 ⑷x2-2x+1=25
【分析】要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平
方根或两个数的积为0的意义来思考解题．
解：⑴∵x2-16=0 ⑵∵(x+3)(x-2)=0
∴x2=16 ∴x+3=0或x-2=0
∴x=±4 ∴x=-3或x=2
⑶∵(x-2)2=49 ⑷∵x2-2x+1=25
∴x-2=±7 ∴(x-1)2=25
∴x=9或x=-5 ∴x-1=±5
∴x=6或x=-4
三、自主应用 巩固新知
【例1】若x＝2是方程 的一个根，你能求出a的值吗？ 方程的根的另一
个作用——代入
【分析】根据根的定义可以知道，若一个数是方程的根，那么把这个数代入
方程使等号成
方程后，等号必定成立，于是可以构造出关于a的一元一次方程，进而解即可．
立．
解：∵x＝2是方程 的一个根
∴ ，
解之得：
a＝ ．
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【例2】若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，求代
数式2007(a+b+c)的值。
【分析】如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程一定能使左右两边
相等，这种解决问题的思维方法经常用到，同学们要深刻理解。
解：∵x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
∴a+b+c=0
∴2007(a+b+c)=0
【练习】Р28 1 2
四、自主总结 拓展新知
1、一元二次方程根的概念；
2、要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
3、要会用一些方法求一元二次方程的根．
五、课堂作业 P28 3 4 8 （《课堂内外》对应练习）
【补充练习】
1、方程x（x-1）=2的两根为【 】．
A．x=0，x=1 B．x=0，x= -1 C．x=1，x=2 D．x=-1，x=2
1 2 1 2 1 2 1 2
2、方程x2-81=0的两个根分别是x=________，x=__________．
1 2
3、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
4、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1，则a+b+c= ；若有一个根是-1，则b与
a、c之间的关系为 ；若有一个根为0，则c= 。
5、如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值。
教学理念/教学反思
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