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(教师独具内容)
课程标准：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一
元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式
的两种解法.4.能从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式
解决实际问题．
教学重点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.
一元二次不等式的解法.3.利用一元二次不等式解决实际问题．
教学难点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.
从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.
【知识导学】
知识点一 一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有 □ 一个 未知数，并且未知数的 □ 最高次数是 2 的不等
式，称为一元二次不等式，即形如 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其
中a，b，c均为常数，a≠0)的不等式都是一元二次不等式．
知识点二 二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫
做二次函数y＝ax2＋bx＋c的 □ 零点．
知识点三 一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的 □ 集合 叫做这个一元二次不
等式的 □ 解集．
知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系知识点五 利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的 □ 字母 表示题中的 □ 未知数 ；
(2)由题中给出的不等关系，列出 □ 关于未知数的不等式 ( 组 )；
(3) □ 求解 所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的 □ 实际意义 确定答案．
【新知拓展】
1．解一元二次不等式的方法与步骤
(1)解一元二次不等式的常用方法
①图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到
解一元二次不等式的一般步骤：
(ⅰ)化不等式为标准形式：
ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象
简图；
(ⅲ)由图象得出不等式的解集．②代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．
当m0，则可得x>n或x0，a<0，a＝0.
②关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x >x ，x ＝x ，x 0的解集不可能为{x|x 0的解集为________．
(2)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．
(3)当a>0时，若ax2＋bx＋c>0的解集为R，则Δ应满足的条件为________．
(4)已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|10；(2)－x2＋8x－3>0；
(3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－≥0；
(5)－x2＋3x－5>0；(6)－2x2＋3x－2<0.
[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等
实根x ＝－3，x ＝－，又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等
1 2
式的解集为.
(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不
等实根x ＝4－，x ＝4＋，又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原
1 2
不等式的解集为{x|4－0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以原不
等式的解集为R.
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解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)根据图象写出不等式的解集．
求下列不等式的解集：
(1)x2－3x＋1≤0；(2)3x2＋5x－2>0；
(3)－9x2＋6x－1<0；(4)x2－4x＋5>0；
(5)2x2＋x＋1<0.
解 (1)因为 Δ＝9－4＝5>0，所以方程 x2－3x＋1＝0 有两个不等实数根 x
1
＝，x ＝，所以原不等式的解集为≤x≤.
2(2)原不等式可化为(3x－1)(x＋2)>0，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为(3x－1)2>0，所以原不等式的解集为.
(4)因为Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，所以原不等式的解集为R.
(5)因为Δ＝12－4×2＝－7<0，所以原不等式的解集为∅.
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
例2 解关于x的不等式(a∈R)：
(1)2x2＋ax＋2>0；
(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.
[解] (1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
①当Δ<0，即－44或a<－4时，原不等式的解集为x<(－a－)或x>(－a＋)；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．
(2)若a＝0，原不等式为－x＋1<0，解得x>1；
若a<0，原不等式可化为(x－1)>0，解得x<或x>1；
若a>0，原不等式可化为(x－1)<0，(*)
其解的情况应由与1的大小关系决定，故
①当a＝1时，由(*)式可得x∈∅；
②当a>1时，由(*)式可得1}；当01时，解集为.
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解含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于
0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．
(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论
两根的大小关系，从而确定解集形式．
解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
解 原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x ＝a，x ＝a2.
1 2由a2－a＝a(a－1)可知：
①当a<0或a>1时，a2>a.
解原不等式得x>a2或xa或x0，∴x≠0.
④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1.
综上可知：
当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.
题型三 “三个二次”之间的转化关系
例3 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－30的解集为{x|－34}，其他条件不变，则
不等式的解集又如何？
解 因为ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－3或x>4}，所以a>0且－3和4是方
程ax2＋bx＋c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得
即
所以不等式 bx2＋2ax－c－3b<0，即为－ax2＋2ax＋15a<0，即 x2－2x－
15>0，解得x<－3或x>5，
故所求不等式的解集为{x|x<－3或x>5}．
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三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题
转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相
联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：(1)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为
________；
(2)已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，则不等式ax2＋bx－1>0的解集
为________．
答案 (1) (2)
解析 (1)由题意－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，故
解得a＝c，b＝c，
所以不等式ax2－bx＋c>0即为2x2－5x＋2<0，解得0可变为－2x2＋3x－1>0，
即2x2－3x＋1<0，解得12，即x2＋10x－1200>0，
解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)，
这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计
甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2000>0，
解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)，
这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速，
所以乙应负主要责任.
题型五 利用一元二次不等式解决利润问题
例5 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车投入成本为 1万元/辆，出厂价
为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档
次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为 x(0＜x＜1)，则出厂价
相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润＝(出厂
价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例 x应在什
么范围内？
[解] (1)依题意，得y＝[1.2(1＋0.75x)－(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)＝1000(－
0.06x2＋0.02x＋0.2)．
∴所求关系式为y＝1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)(0＜x＜1)．
(2)依题意，得
1000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)＞(1.2－1)×1000.
化简，得3x2－x＜0.解得0＜x＜.
∴投入成本增加的比例x的范围是00 B．x2＋4x＋4≤0
C．4－4x－x2<0 D．－2＋3x－2x2>0
答案 D
解析 A的解集为R；B的解集是{x|x＝－2}；C的解集为{x|x>－2＋2或x<
－2－2}，用排除法应选D.
2．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的
取值范围为( )
A．01 D．－12，则关于x的不等式(x－t)<0的解集为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵t>2，∴t>，
∴(x－t)<0，解得
