文档内容
5.1.2 弧度制
(教师独具内容)
课程标准：了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制
的必要性．
教学重点：1.弧度制的意义.2.角度与弧度的互化.3.弧度制下，弧长和扇形面
积公式的运用．
教学难点：弧度制的概念及角度与弧度的互化.
【知识导学】
知识点一 角的单位制
(1)用 □ 度 作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的.
(2)长度等于 □ 半径长 的圆弧所对的 □ 圆心角 叫做1弧度的角，弧度单位用符
号rad表示，读作 □ 弧度 ，通常略去不写．以 □ 弧度 作为单位来度量角的单位制
叫做弧度制．
(3)弧度数的计算
知识点二 角度与弧度的换算
(1)角度制与弧度制的换算
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度 0 π知识点三 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n为圆心角的
角度数，则扇形的弧长：l＝＝ □ α r，扇形的面积：S＝＝□lr＝α·r2.
【新知拓展】
(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大
小无关的定值，仅仅是为了能使概念描述更具体的一个“过渡量”而已．
(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指
sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能
省去．
(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少 π的形式，如无特殊要求，
不必把π写成小数，如45°＝弧度，不必写成45°≈0.785弧度．
(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如 α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°
＋，k∈Z，都不正确．
(5)弧度制是十进制，而角度制是六十进制．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．( )
(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．( )
(3)用弧度表示的角都是正角．( )
(4)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．做一做
(1)在半径为5 cm的圆中，圆心角为周角的的角所对的圆弧长为( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
(2)－135°化为弧度为________，化为角度为________．
答案 (1)B (2)－ 660°
题型一 弧度制的概念
例1 下列命题中，假命题是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的
C．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
[解析] 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以 D是假命题．选项
A，B，C均为真命题．
[答案] D
金版点睛
角度制和弧度制的比较
(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单
位来度量角的单位制．
(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而 1度的角是指圆周角的
的角，大小显然不同．
(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与
“半径”大小无关的值．
(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作
为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在
同一表达式中不能出现两种度量方法．
下列叙述中正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角一样大
答案 D
解析 弧度是度量角的大小的一种单位，而不是长度的度量单位，1弧度是
长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小，与圆的半径无关，故选D.
题型二 角度和弧度的换算
例2 把下列各角用另一种度量制表示出来：112°30′；36°；－；3.5.
[解] 112°30′＝×＝.
36°＝36×＝.
－＝－×°＝－75°.
3．5＝3.5×°≈3.5×57.3°＝200.55°(或200°33′)．
金版点睛
用弧度制表示角时“弧度”二字可以省略不写，而用角度制表示角时要特别
注意单位“°”不能丢，因为1°与1是完全不同的两个角.
(1)－300°化为弧度是( )A．－ B．－ C．－ D．－
(2)化为度数是( )
A．278° B．280° C．288° D．318°
答案 (1)B (2)C
解析 (1)－300°＝－300×＝－.
(2)＝×180°＝288°.
题型三 用弧度制表示角的集合
例3 已知角α＝2005°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．
[解] (1)2005°＝2005× rad＝ rad
＝ rad，
又π<<，
∴角α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，
由－5π≤2kπ＋<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.
∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是
－，－，－.
金版点睛
用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋αk∈Z时，其中2kπ是π的偶数倍，而不
是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.
(1)将－1125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式为________；
(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
答案 (1)－8π＋ (2)见解析
解析 (1)∵－1125°＝－＝－，∴－＝－8π＋，即－1125°＝－8π＋.
(2)因为终边落在 OA处的角θ＝2kπ＋，k∈Z，终边落在 OB处的角θ＝2kπ
－，k∈Z，所以终边落在阴影部分的角的集合为2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z.
题型四 扇形的弧长及面积公式的应用
例 4 (1)已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2，则扇形的面积为
________cm2；
(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角
是多少弧度？面积是多少？
[解析] (1)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长
公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.
故扇形的面积S＝lr＝×4×2＝4(cm2)．
(2)设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的
圆心角是＝2(π－1)，扇形的面积是lR＝(π－1)R2.
[答案] (1)4 (2)见解析
金版点睛
弧度制下涉及扇形问题的解题策略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇
形的半径，α(0<α<2π)是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已
知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程
(组)求解．
已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求：
(1) 的长；
(2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积)．
解 (1)∵120°＝，∴的长l＝×6＝4π.
(2)S ＝lr＝×4π×6＝12π.
扇形AOB如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，
于是有S ＝AB·OD＝×2×3×3＝9，
△OAB
∴弓形的面积为S －S ＝12π－9.
扇形AOB △AOB
1．2145°转化为弧度数为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 2145°＝2145× rad＝ rad.
2．α＝－2 rad，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ∵1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．
3．在△ABC 中，若 A∶B∶C＝3∶5∶7，则角 A，B，C 的弧度数分别为
________．
答案 ，，
解析 A∶B∶C＝3∶5∶7，则A占总度数的＝；B占总度数的＝；C占总度
数的＝.又三角形的内角和为π，则A为，B为，C为.
4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________．
答案
解析 若角α的终边落在第二象限，则2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z.
5．(1)把310°化成弧度；
(2)把 rad化成角度；
(3)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
解 (1)310°＝ rad×310＝ rad.
(2) rad＝°＝75°.
(3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝.θ＝105°＝105×＝.
显然<<1<，故α<β<γ<θ＝φ.
解法二(化为角度)：β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝×°＝105°.
显然，15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.
