文档内容
5.2.1 三角函数的概念
(教师独具内容)
课程标准：1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握正
弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同一三角函数值相
等．
教学重点：三角函数的定义；三角函数在各象限内的符号．
教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程.
【知识导学】
知识点一 三角函数的概念
(1)单位圆中三角函数的定义(2)三角函数的定义域
知识点二 三角函数值的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
知识点三 诱导公式(一)
【新知拓展】
(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点 P(x，y)在终边上
的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
(2)终边相同的角的同名三角函数值相等．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.( )
(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.( )
(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√
2．做一做
(1)若sinα<0，且tanα<0，则α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，
tanα＝________.
(3)tan405°－sin450°＋cos750°＝________.
(4)sin2·cos3·tan4的值的符号为________．
答案 (1)D (2)－ － (3) (4)负
题型一 三角函数的定义
例1 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．
[解] r＝＝5|a|，
若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，
tanα＝＝＝－；若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.
[条件探究] 在本例中，若将题设条件改为：已知角 α的终边在直线y＝x上，
问题不变，怎样求解？
解 因为角α的终边在直线y＝x上，
所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点．
则r＝ ＝2|a|(a≠0)．
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，sinα＝＝，
cosα＝＝，tanα＝＝.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝＝.
金版点睛
利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两
种：
方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函
数的定义求出相应三角函数值．
方法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα
＝，cosα＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参
数进行分类讨论．
(3)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．
(1)设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sinα＋2cosα的
值等于( )
A. B．－ C. D．－
(2)已知角α终边上的点P(4,3m)，且sinα＝m，求m的值．
答案 (1)A (2)见解析
解析 (1)∵点P在单位圆上，则|OP|＝1.
即＝1，解得a＝±.
∵a<0，∴a＝－，
∴P点的坐标为，
∴sinα＝－，cosα＝，
∴sinα＋2cosα＝－＋2×＝.
(2)∵P(4,3m)，∴r＝，
∴sinα＝＝＝m，
两边平方，得＝m2.∴m2(9m2－2)＝0，∴m＝0或m＝±.
题型二 三角函数值的符号
例2 (1)若sinαtanα<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)判断下列各式的符号：
①tan120°·sin269°；②cos4·tan.
[解析] (1)由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，
从而α为第二、三象限角．
由<0可知cosα，tanα异号，从而α为第三、四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
(2)①∵120°是第二象限角，∴tan120°<0.
∵269°是第三象限角，∴sin269°<0，
∴tan120°·sin269°>0.
②∵π<4<，∴4弧度是第三象限角，∴cos4<0.
∵－＝－6π＋，
∴－是第一象限角，∴tan>0.
∴cos4·tan<0.
[答案] (1)C (2)见解析
金版点睛
判断给定角的三角函数值正负的步骤
(1)确定α的终边所在的象限；
(2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来
判断．
(1)若三角形的两内角A，B满足sinA·cosB<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都有可能
(2)点P(tanα，cosα)在第三象限，则α是第________象限角．
答案 (1)B (2)二
解析 (1)三角形内角的取值范围是(0，π)，故sinA>0.因为sinAcosB<0，所以cosB<0，所以B是钝角，故三角形是钝角三角形．
(2)因为点P(tanα，cosα)在第三象限，所以tanα<0，cosα<0，则角α的终边在
第二象限.
题型三 与三角函数有关的定义域问题
例3 求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝＋.
[解] (1)要使函数有意义，需tanx≠0，
∴x≠kπ＋，且x≠kπ，k∈Z.
∴x≠，k∈Z.
于是函数的定义域是.
(2)要使函数有意义，需
即
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，
∴函数的定义域是.
金版点睛
求解函数定义域的解题策略
(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通
过解不等式或不等式组求得，对于与三角函数有关的函数定义域问题，还要考虑
三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以
取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
求下列函数的定义域：
(1)y＝sinx＋tanx；
(2)y＝＋tanx.
解 (1)依题意，得
∴函数的定义域是.
(2)当sinx≥0且tanx有意义时，函数才有意义，
∴(k∈Z)．
∴函数的定义域为x2kπ≤x<2kπ＋或2kπ＋0，cosα<0，∴－＝－＝2.
3．在△ABC中，若sinAcosBtanC<0，则△ABC是( )A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
答案 C
解析 因为sinA>0，所以cosB，tanC中一定有一个小于0，即B，C中有一
个钝角．
4．若750°角的终边上有一点(4，a)，则a＝________.
答案
解析 tan750°＝tan(360°×2＋30°)＝tan30°＝＝，解得a＝.
5．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.
解 原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋
cos(360°＋0°)
＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°
＝1＋1＋1＋1＝4.
