文档内容
5.2.2 同角三角函数的基本关系
(教师独具内容)
课程标准：1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用同角三角函数的基本
关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．
教学重点：同角三角函数关系式的推导及应用．
教学难点：同角三角函数基本关系式在解题中的逆用、变形应用及使用公式
时由函数值正负号的选取而导致的角的范围的讨论.
【知识导学】
知识点一 同角三角函数的基本关系
知识点二 同角三角函数的基本关系式的变形形式
(1)平方关系变形
sin2α＝ □ 1 － co s 2 α ，cos2α＝ □ 1 － si n 2 α .
(2)商的变形
sinα＝ □ ta n α co s α ，cosα＝.
【新知拓展】
(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，
这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数
有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.
(2)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.(3)约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都
有意义情况下的恒等式．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于平方关系对任意角都成立，则sin2α＋cos2β＝1也成立．( )
(2)同角三角函数的基本关系对任意角α都成立．( )
(3)当角α的终边与坐标轴重合时，sin2α＋cos2α＝1也成立．( )
(4)在利用平方关系求sinα或cosα时，会得到正负两个值．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．做一做
(1)若sinα＝，且α是第二象限角，则tanα的值等于( )
A．－ B. C．± D．±
(2)化简：＝________.
(3)已知＝－5，则tanα＝________.
答案 (1)A (2)cos80° (3)－
题型一 三角函数求值
例1 (1)已知cosα＝－，求sinα和tanα；
(2)已知tanα＝3，求的值．
[解] (1)sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，
因为cosα＝－<0，所以α是第二或第三象限角，
当α是第二象限角时，sinα＝，tanα＝＝－；
当α是第三象限角时，sinα＝－，tanα＝＝.
(2)解法一：原式＝＝＝.解法二：∵tanα＝3，∴sinα＝3cosα.
代入原式可得：原式＝＝＝.
解法三：∵tanα＝3>0，∴sinα＝3cosα.
又sin2α＋cos2α＝1.∴sinα＝，cosα＝，
或sinα＝－，cosα＝－，
∴原式＝.
[结论探究] 在本例(2)中条件不变的情况下，求sin2α＋cos2α的值．
解 原式＝
＝＝＝.
金版点睛
1．求三角函数值的方法
(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解
(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角 θ分区间(象限)讨论．
2．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法
(1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sinα，cosα的式子
且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式
子可化为关于tanα的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作 1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分
母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
(1)已知sinα＝，并且α是第二象限角，求cosα和tanα；
(2)已知sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值；
(3)已知＝，α∈，求的值．
解 (1)cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，
又α是第二象限角，所以cosα<0，cosα＝－，tanα＝＝－.
(2)由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2.
所以2sinαcosα－cos2α＝
＝＝＝－1.
(3)∵＝，∴3tan2α－2tanα－1＝0.
即(3tanα＋1)(tanα－1)＝0，
∴tanα＝－或tanα＝1.
∵α∈，∴tanα<0，∴tanα＝－，
∴＝＝.
题型二 sinα±cosα与sinαcosα关系的应用
例2 已知在△ABC中，sinA＋cosA＝.
(1)求sinAcosA；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形．
[解] (1)∵sinA＋cosA＝，
∴两边平方，得1＋2sinAcosA＝.
∴sinAcosA＝－.
(2)由(1)sinAcosA＝－<0，且00，
∴sinθ>0，cosθ>0.
∴sinθ＋cosθ＝＝
＝ ＝.
由得
∴tanθ＝＝.
题型三 三角函数式的化简与证明
例3 (1)化简： ；
(2)求证：＝.
[解] (1)原式＝
＝＝＝1.
(2)证法一：∵右边＝
＝
＝
＝
＝＝左边，
∴原等式成立．
证法二：∵左边＝＝，
右边＝＝
＝＝＝，
∴左边＝右边，原等式成立．
[条件探究] 将本例(1)改为化简：.
解 原式＝＝＝1.
金版点睛1.利用同角三角函数关系化简的常用方法
1化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；
2对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去
掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负；
3对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于
降幂化简.
2.简单的三角恒等式的证明思路
1从一边开始，证明它等于另一边；
2证明左、右两边等于同一个式子；
3逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.
化简：(1)·；
(2) .
解 (1)原式＝·
＝·＝·
＝·＝，
当sinα>0时，原式＝1；当sinα<0时，原式＝－1.
(2)原式＝
＝
＝＝1.
1．已知cosθ＝，且<θ<2π，则的值为( )
A. B．－
C. D．－
答案 D
解析 由于cosθ＝，且<θ<2π.
所以sinθ＝－＝－，
所以tanθ＝－，故＝－.
2．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 D
解析 sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝＝，
又tanθ＝2，故原式＝＝.
3．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________.
答案 －
解析 ∵sinθ<0，tanθ>0，∴θ在第三象限内，
∴cosθ＝－＝－.
4．已知sinθ＝，则sin4θ－cos4θ的值为________．
答案 －
解析 由sinθ＝，可得cos2θ＝1－sin2θ＝，所以sin4θ－cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)
(sin2θ－cos2θ)＝sin2θ－cos2θ＝－＝－.
5．化简：·.
解 原式＝·
＝＝1.
