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(教师独具内容)
课程标准：1.掌握基本不等式的内容.2.能熟练地运用基本不等式来比较两个
实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握基本不等式
及变形的应用.5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程.2.运用基本不等式来比较
两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值
问题．
教学难点：基本不等式条件的创设．
【知识导学】
知识点一 基本不等式
如果a>0，b>0，则□≤，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把这个不等式
称为基本不等式．
知识点二 算术平均数与几何平均数及相关结论
在基本不等式中，□叫做正数a，b的算术平均数，□叫做正数a，b的几何
平均数．
基本不等式表明： □ 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
知识点三 基本不等式与最大(小)值
当x，y均为正数时，下面的命题均成立：
(1)若x＋y＝S(S为定值)，则当且仅当 □ x ＝ y 时，xy取得最 □ 大 值□；(简记：
和定积有最大值)
(2)若xy＝P(P为定值)，则当且仅当 □ x ＝ y 时，x＋y取得最 □ 小 值□2.(简记：
积定和有最小值)
知识点四 基本不等式的实际应用
基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下：
(1)先理解题意，设出变量，设变量时一般把 □ 要求最大值或最小值 的变量定
为因变量．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为 □ 函数的最大值或最小值 问题．
(3)在定义域内，求出 □ 函数的最大值或最小值．(4)根据实际意义写出正确的答案．
【新知拓展】
1．由基本不等式变形得到的常见结论
(1)ab≤2≤(a，b∈R)；
(2)≤≤ (a，b均为正实数)；
(3)＋≥2(a，b同号)；
(4)(a＋b)≥4(a，b同号)；
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
2．利用基本不等式证明不等式时应注意的问题
(1)注意基本不等式成立的条件；
(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；
(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，
再使用．
3．利用基本不等式的解题技巧与易错点
(1)利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧：
①加项变换；
②拆项变换；
③统一换元；
④平方后再用基本不等式．
(2)易错点
①易忘“正”，忽略了各项均为正实数；
②忽略忘记“定”，用基本不等式时，和或积为定值；
③忽略忘记“等”，用基本不等式要验证等号是否可以取到；
④忽略忘记“同”，多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)≥对于任意实数a，b都成立．( )
(2)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2.( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤2.( )
(4)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.( )
(5)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)不等式m2＋1≥2m等号成立的条件是________．
(2)＋≥2成立的条件是________．(3)x＞1，则x＋的最小值为________．
(4)已知p，q∈R，pq＝100，则p2＋q2的最小值是________．
(5)若a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值为________．
答案 (1)m＝1 (2)a与b同号 (3)3 (4)200 (5)2
题型一 对基本不等式的理解
例1 给出下面三个推导过程：
①因为a>0，b>0，所以＋≥2 ＝2；
②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4；
③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2.
其中正确的推导过程为( )
A．①② B．②③
C．② D．①③
[解析] 从基本不等式成立的条件考虑．
①因为a>0，b>0，所以>0，>0，符合基本不等式成立的条件，故①的推导
过程正确；
②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，
所以＋a≥2＝4是错误的；
③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，
均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．
[答案] D
金版点睛
基本不等式≥(a>0，b>0)的两个关注点
(1)不等式成立的条件：a，b都是正实数．
(2)“当且仅当”的含义：
①当a＝b时，≥的等号成立，
即a＝b⇒＝；
②仅当a＝b时，≥的等号成立，
即＝⇒a＝b.
下列命题中正确的是( )
A．当a，b∈R时，＋≥2 ＝2
B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)≥4
C．当a＞4时，a＋≥2 ＝6D．当a＞0，b＞0时，≥
答案 B
解析 A项中，可能＜0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2＞0，＋≥2＞
0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2
＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式，知≤(a＞0，b＞
0)，所以D不正确．
题型二 利用基本不等式比较大小
例2 已知a＞1，则，，三个数的大小顺序是( )
A.＜＜ B.＜＜
C.＜＜ D.＜≤
[解析] 当a，b均为正数时，有≤≤≤ ，
令b＝1，得≤≤.
又a＞1，即a≠b，故上式不能取等号，应选C.
[答案] C
[题型探究] 对一切正数m，不等式n＜＋2m恒成立，求常数n的取值范围．
解 当m>0时，由基本不等式，得
＋2m≥2＝4，且当m＝时，等号成立，故n的取值范围为n＜4.
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利用基本不等式比较大小
在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地
拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用
的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”
转化为“和式”的放缩功能．
已知：a>0，b>0，且a＋b＝1，试比较＋，，4的大小．
解 ∵a＞0，b＞0，a＋b≥2，
∴ab≤.
∴＋＝＝≥4，
＝＝－ab≥－＝，
即≤4.
∴＋≥4≥.题型三 利用基本不等式求函数的最值
例3 (1)求函数y＝＋x(x>3)的最小值；
(2)已知03，∴x－3>0，>0，
∴y≥2＋3＝5.
当且仅当＝x－3，即x＝4时，y有最小值5.
(2)∵00，
y＝x(1－3x)＝·3x·(1－3x)
≤2＝.
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，取等号，
∴当x＝时，函数取得最大值.
(3)∵x>－1，∴x＋1＞0，
y＝
＝
＝x＋1＋＋1
≥2＋1，
当且仅当x＋1＝时，
即x＝－1时，函数y的最小值为2＋1.
[变式探究] 在本例(1)中把“x>3”改为“x<3”，则函数y＝＋x的最值又如何？
解 ∵x<3，∴x－3<0，
∴y＝＋x＝－－(3－x)＋3
＝－＋3≤－2＋3
＝－2＋3＝1.
当且仅当＝3－x，即x＝2时，取等号．
故函数y＝＋x(x<3)有最大值1，没有最小值．
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利用基本不等式求函数的最值
(1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和
欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式
的条件．
(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法．(1)已知x<，则函数y＝4x－2＋的最大值为________；
(2)若x>1，则函数y＝的最小值为________．
答案 (1)1 (2)4
解析 (1)∵x<，∴5－4x>0.
∴y＝4x－2＋＝－＋3
≤－2＋3＝－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，
即x＝1时，上式等号成立．
故当x＝1时，y ＝1.
max
(2)∵x＞1，∴x－1＞0.
∴y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立，
故当x＝2时，y ＝4.
min
题型四 利用基本不等式证明不等式
例4 已知a，b，c是不全相等的三个正数，
求证：＋＋＞3.
[证明] ＋＋＝＋＋＋＋＋－3＝＋＋－3.
∵a，b，c都是正数，
∴＋≥2 ＝2，
同理＋≥2，＋≥2，
∴＋＋≥6.
∵a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号，
∴＋＋＞6，
∴＋＋＞3.
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利用基本不等式证明不等式
(1)利用基本不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择
基本不等式及其变形不等式来证，如 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为 ab≤；
≥(a>0，b>0)可变形为 ab≤2等．同时要从整体上把握基本不等式，如 a4＋
b4≥2a2b2，a2b2＋b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2＋b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用．
(2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条
件．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋≥10.
证明 ＋＋
＝＋＋
＝4＋＋＋
≥4＋2＋2＋2＝10，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
∴＋＋≥10.
题型五 利用基本不等式求代数式的最值
例5 (1)已知x>0，y>0且＋＝1，求x＋y的最小值；
(2)已知正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值；
(3)已知实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，求x＋y的最大值．
[解] (1)∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y) ＝16.
min
(2)∵2x＋y＋6＝xy，
∴y＝，x＞1，xy＝＝＝＝2＝2≥2×＝18.
当且仅当x＝3时，等号成立．
(3)因为1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－2，所以(x＋y)2≤，
即x＋y≤，当且仅当x＝y＞0且x2＋y2＋xy＝1，
即x＝y＝时，等号成立，x＋y的最大值为.
[结论探究] 若本例(1)中的条件不变，如何求xy的最小值．
解 ＋＝≥＝＝，
又因为＋＝1，所以≤1，≥6，xy≥36，
当且仅当y＝9x，即x＝2，y＝18时，等号成立．
所以(xy) ＝36.
min
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利用基本不等式求代数式的最值(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或
“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．
(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通
常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
(1)已知正数x，y满足x＋2y＝1，求＋的最小值；
(2)已知x>0，y>0，且满足＋＝1，求xy的最大值．
解 (1)∵x，y为正数，且x＋2y＝1，
∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即当x＝－1，y＝1－时等号成
立．
∴＋的最小值为3＋2.
(2)∵＋＝1，∴1＝＋≥2＝.
∴≤，当且仅当＝＝即x＝，y＝2时等号成立．
∴xy≤3，即xy的最大值为3.
题型六 利用基本不等式解决实际问题
例6 某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产
品的利润y 与投资金额x的函数关系为y ＝18－，B产品的利润y 与投资金额x
1 1 2
的函数关系为y ＝(注：利润与投资金额单位：万元)．
2
(1)该公司已有100万元资金，并全部投入 A，B两种产品中，其中x万元资
金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为 x的函数，并写出x的取值
范围；
(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大
利润？其最大利润为多少万元？
[解] (1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的(100－x)万元资金投入B产品，
利润总和y＝18－＋＝38－－(x∈[0,100])．
(2)∵y＝40－－，x∈[0,100]，
∴由基本不等式，得y≤40－2＝28，当且仅当＝，即x＝20时，等号成立．
答：分别用20万元和80万元资金投资A，B两种金融产品，可以使公司获
得最大利润，最大利润为28万元．
金版点睛
利用基本不等式解决实际问题应遵循的三点
(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域；(2)一般利用基本不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件，即
“等号”成立的条件；
(3)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到
等号，此时要利用其他方法求解．
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果
池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才
能使总造价最低？最低总造价是多少？
解 设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m.
又设水池总造价为y元，根据题意，得y＝150×＋120×
＝240000＋720×
≥240000＋720×2
＝297600(元)，
当且仅当x＝，即x＝40时，y取得最小值297600.
所以水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297600
元．
1．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是( )
A.＜＜ B.≥≥
C.＞＞ D.<＜
答案 C
解析 ∵a>b>0，∴＜＝＜，故选C.
2．已知x＞0，y＞0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 解法一：∵x＋y＞2，
∴＜，排除D；
∵＝＝＞＝，
∴排除B；
∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＜2(x2＋y2)，
∴＞ ，排除A.故选C.解法二：取x＝1，y＝2.
则＝；＝；
＝；＝＝.
其中最小．故选C.
3．若a＞0，则代数式a＋( )
A．有最小值10
B．有最大值10
C．没有最小值
D．既没有最大值也没有最小值
答案 A
解析 利用基本不等式，得 a＋≥2＝10，当且仅当a＝，即a＝5时，取得
最小值10.
4．当x>时，函数y＝x＋的最小值为________．
答案
解析 因为x>，所以x－>0，所以y＝x＋＝＋＋≥2＋＝4＋＝，当且仅当x
－＝，即x＝时，取“＝”．
5．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客
车营运的总利润 y(单位：万元)与营运年数 x 的函数关系为 y＝－10(x－6)2＋
110(x∈N*)，求每辆客车营运多少年，可使其运营的年平均利润最大．
解 因为＝－10＋120≤－20＋120＝20，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成
立，所以每辆客车营运5年，可使其运营的年平均利润最大．
