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(教师独具内容)
课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能
运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际
问题．
教学重点：1.不等式的性质.2.用不等式的性质证明不等式．
教学难点：用作差法比较代数式的大小．
【知识导学】
知识点一 等式的性质
(1)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c.
(2)如果a＝b，那么ac＝bc或＝(c≠0)．
(3)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
知识点二 作差比较法
(1)理论依据： □ a － b > 0 ⇔ a > b； □ a － b ＝ 0 ⇔ a ＝ b； □ a － b < 0 ⇔ a < b.
(2)方法步骤：① □ 作差 ；② □ 整理 ；③ □ 判断符号 ；④ □ 下结论．
知识点三 两个实数大小的比较
(1)a>b⇔ □ a － b > 0；
(2)a＝b⇔a－b □ ＝ 0；
(3) □ a < b⇔a－b<0.
知识点四 不等式的性质
(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么 □ a > b，即 □ a > b ⇔ b < a.
(2)如果a>b，且b>c，那么 □ a > c，即a>b，b>c⇒ □ a > c.
(3)如果a>b，那么a＋c □ > b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac □ > bc；如果a>b，c<0，那么ac □ < bc.
(5)如果a>b，c>d，那么a＋c □ > b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac □ > bd；
如果a>b>0，c<d<0，那么ac □ < bd.
(7)如果a>b>0，那么an □ > bn(n∈N，n≥2)．(8)如果 □ a > b > 0，那么>(n∈N，n≥2)．
【新知拓展】
1．关于不等式性质的理解
两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如 a>b，c>d不能推出a－c>b－
d.
2．常用的结论
(1)a>b，ab>0⇒<；
(2)b<0<a⇒>；
(3)a>b>0，c>d>0⇒>；
(4)若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)．
3．比较大小的方法
比较数(式)的大小常用作差与0比较．
作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为
“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二
者并用．
4．利用不等式求范围应注意的问题
求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具
有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避
免改变代数式的取值范围．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若x2＝0，则x≥0.( )
(2)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(
)
(3)若a>b，则ac2>bc2.( )
(4)若a>b>0，则>.( )
(5)若x>1，则x3＋2x与x2＋2的大小关系为x3＋2x>x2＋2.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．做一做
(1)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
(2)设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是( )A．a－c>b－d B．ac>bd
C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c
(3)已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系是________．
答案 (1)C (2)C (3)x2＋2>3x
题型一 作差法比较大小
例1 比较下列各组中两数的大小：
(1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2；
(2)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x；
(3)已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m与n的大小．
[解] (1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)
＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)．
∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.
(2)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1).
∵x<1，∴x－1<0.又2＋>0，
∴(x－1)<0，∴x3－1<2x2－2x.
(3)∵m－n＝＋－＝－＝＝.
又x，y均为正数，
∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.
∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．
[变式探究] 若将本例(2)中“x<1”改为“x∈R”，则x3－1与2x2－2x的大小
又如何呢？
解 由例题知x3－1－(2x2－2x)＝(x－1)，∵2＋>0，
∴当x－1<0，即x<1时，x3－1<2x2－2x；
当x－1＝0，即x＝1时，x3－1＝2x2－2x；
当x－1>0，即x>1时，x3－1>2x2－2x.
金版点睛
作差比较法的四个步骤(1)比较x3＋6x与x2＋6的大小；
(2)已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
解 (1)(x3＋6x)－(x2＋6)＝x(x2＋6)－(x2＋6)＝(x－1)(x2＋6)．
∵x2＋6>0，
∴当x>1时，x3＋6x>x2＋6；
当x＝1时，x3＋6x＝x2＋6；
当x<1时，x3＋6x<x2＋6.
(2)x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b
＝(a－b)(a2＋1)．
当a＞b时，x－y＞0，所以x＞y；
当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；
当a＜b时，x－y＜0，所以x＜y.
题型二 不等式的性质及应用
例2 下列命题正确的是________．
①<且c>0⇒a>b；
②a>b且c>d⇒ac>bd；
③a>b>0且c>d>0⇒ > ；
④>⇒a>b.
[解析] ①⇒<；当a<0，b>0时，满足已知条件，但推不出a>b，∴①错误．
②当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立．∴②错误．
③⇒>>0⇒ > 成立．∴③正确．④显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b.∴④正确．
[答案] ③④
金版点睛
解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所
需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结
论，也可举出一个反例予以否定.
(1)判断下列命题是否正确，并说明理由：
①若>，则ad>bc；
②设a，b为正实数，若a－<b－，则a<b.
(2)若a<b<0，分别判断下列式子是否成立，并简述理由：
①<；②>.
解 (1)①由>，所以－>0，
即>0，所以或
即ad>bc且cd>0或ad<bc且cd<0，故不正确．
②因为 a－<b－，且 a>0，b>0，所以 a2b－b<ab2－a⇒a2b－ab2－b＋
a<0⇒ab(a－b)＋(a－b)<0⇒(a－b)(ab＋1)<0，所以a－b<0，即a<b正确．
(2)①成立．由a<b<0得a<a－b<0，
所以<.
②成立．因为a<b<0，所以a＋b<b<0，
所以>.
题型三 利用不等式的性质证明不等式
例3 (1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc；
(2)已知a>b>0，c<d<0，求证：<；
(3)已知bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
[证明] (1)∵a>b，c>0，∴ac>bc.
∴－ac<－bc.
∵f<e，∴f－ac<e－bc.
(2)∵c<d<0，∴－c>－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴0<<.再由0<b<a，∴<.
(3)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，又∵bd>0，
∴≤.∴＋1≤＋1.∴≤.金版点睛
利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧
(1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质
成立的条件．
(2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的
结构．然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．
(1)已知c>a>b>0，求证：>；
(2)已知a，b，x，y都是正数，且>，x>y，求证：>.
证明 (1)∵a>b，∴－a<－b，又c>a>b>0，∴0<c－a<c－b，
∴>>0.又∵a>b>0，∴>.
(2)∵a，b，x，y都是正数，且>，x>y，∴>，故<，则＋1<＋1，即<.
∴>.
题型四 利用不等式的性质求取值范围
例4 (1)已知2<a≤5,3≤b<10，求a－b，的取值范围；
(2)已知－≤α<β≤，求，的取值范围．
[解] (1)∵3≤b<10，∴－10<－b≤－3.
又2<a≤5，∴－8<a－b≤2.
又＜≤，∴<≤.
(2)∵－≤α<β≤，
∴－≤<，－<≤.
两式相加得－<<.
∵－≤<，－<≤，－≤－<，
两式相加得－≤<.
又α<β，∴<0，∴－≤<0.
[变式探究] 将本例(1)中，条件不变，求a＋b，ab的取值范围．
解 由2<a≤5,3≤b＜10得
2＋3<a＋b<5＋10,2×3<ab<5×10，
即5<a＋b<15,6<ab<50.
金版点睛
利用不等式的性质求取值范围应注意的问题
本题中不能直接用a的范围去减或除b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的
“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，
不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”
视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，
两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一
旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到
要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．
解 令a＋b＝μ，a－b＝v，
则2≤μ≤4,1≤v≤2.
由解得
因为4a－2b＝4·－2·
＝2μ＋2v－μ＋v＝μ＋3v，
而2≤μ≤4,3≤3v≤6，
所以5≤μ＋3v≤10.
所以5≤4a－2b≤10.
1．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是( )
A．m<n B．m>n
C．m≥n D．m≤n
答案 D
解析 ∵n－m＝x2≥0，∴n≥m.
2．设a，b，c，d∈R，则( )
A．a>b，c＝d⇒ac<bd
B.>⇒a>b
C．a3>b3，ab>0⇒<
D．a2>b2，ab>0⇒<
答案 C
解析 用排除法，A错误，显然c＝d＝0时，结论不成立．B错误，c<0时，结论不成立．D错误，a＝－2，b＝－1时，结论不成立．故选C.
3．已知a<0，－1<b<0，下列不等式成立的是( )
A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
答案 D
解 析 本 题 可 以 根 据 不 等 式 的 性 质 来 解 ， 由 于 － 1<b<0 ， 所 以
0<b2<1⇒a<ab2<0，且ab>0，易得答案为D.
本题也可以根据a，b的范围取特殊值，比如令a＝－1，b＝－，也容易得到
正确答案．
4．已知0<a<1，则a，，a2的大小关系是________．
答案 a2<a<
解析 ∵a－＝<0，∴a<.
又a－a2＝a(1－a)>0，∴a>a2，∴a2<a<.
5．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3.求a＋3b的取值范围．
解 设a＋3b＝λ (a＋b)＋λ (a－2b)＝(λ ＋λ )a＋(λ －2λ )b，则
1 2 1 2 1 2
解得λ ＝，λ ＝－.
1 2
又－≤(a＋b)≤，
－2≤－(a－2b)≤－，
所以－≤a＋3b≤1.
