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想
第2章 一元二次方程
小结与复习
第二章 一元二次方程
回顾与思考
本节课是一元二次方程的复习课，对于本章的基础知识，学生已大致掌握.本节课以梳
理、巩固基础知识为起点，重点解决在学生中存在的易错点与混淆点；实际应用是方程建模
思想的具体体现，学生往往感到有一定的难度，本节课以此为重点，从简单的实际问题入手，
逐步加深对建模思想的理解.为此，设置本节课的教学目标如下：
1、知识与技能：
①经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数
量关系的一个有效数学模型；
②能够利用一元二次方程解决有关实际问题，帮助学生认识到运用方程解决实际问题
的关键是确定题目中蕴含的等量关系；并且能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，
进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；
③了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二
次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；
2、过程与方法：
①通过让学生经历将多种实际问题抽象成数学问题的过程，进一步体会方程是刻画现
实世界中数量关系的一个有效数学模型；
②通过小组合作学习，经历一题多解等过程，发展学生多角度思考问题的方法.
情感与态度：
①通过对方程的认识、一题多解的思维展示，发展学生勇于展示自己的品质；
②在解决富有挑战性的问题的过程中，培养学生敢于直面困难、勇于挑战的良好品质，
鼓励学生大胆尝试，体会成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣.
第一环节：课前准备----构建知识结构
教师展示一下本章的框架，指出本节课的重点是：利用一元二次方程解决实际问题.
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1、定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都
可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠ 0) 的形
式，这样的方程叫做一元二次方程.
⑴ 直接开平方法
⑵ 配方法
⑶ 公式法
ax2+bx+c=0 (a≠ 0，b2-4ac≥0) 的解为：
㈠ 问题情景---- —元二次方程
2、解法：
⑷ 分解因式法
3、应用 ：其关键是能根据题意找出等量关系.
㈡本章的重点：一元二次方程的解法和应用.
㈢本章的难点：应用一元二次方程解决实际问题的方法.
本章的知识体系包括三大部分：
（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化成
ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.在这里应注意的问
题是：⑴只含有一个未知数；⑵未知数的最高指数必须是2；(3)二次项系数不为0）
（二）一元二次方程的解法：一元二次方程的常用解法有：⑴ 直接开平方法；⑵ 配方法；⑶
公式法；⑷ 分解因式法.（注意：在运用配方法解一元二次方程时，一般先将二次项系数化为
1；在运用公式法解一元二次方程时，必须先将方程化为ax2+bx+c=0 (a≠0)的形式，同时判
断b2-4ac是否≥0，如果b2-4ac≥0，才可用公式 求解）
（三）一元二次方程的应用：花边、道路宽度（P 引例）；梯子滑动（P 引例）；养鸡场问题
42 43
（P 2）；古算题（P 1）；简单动点问题（P 2）；利润问题（P 例2）（其关键是能找出题目中
56 65 66 66
的等量关系，列出方程）
本章的重点和难点是：一元二次方程的解法和应用.
第二环节：基础知识重现
1、当m 时，关于x的方程(m－1) +5+mx=0是一元二次方程.
2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次
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方程.
3、将一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式是 ；此方程的根是 .
4、用配方法解方程x2+8x+9=0时，应将方程变形为 ( )
A.(x+4)2=7 B.(x+4)2=－9
C.(x+4)2=25 D.(x+4)2=－7
5、解下列一元二次方程
(1) 4x2－16x+15=0 (用配方法解)
(2) 9－x2=2x2－6x(用分解因式法解)
(3) (x＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解)
第三环节：情境中合作学习
其中的1、3小题作为例题，2、4小题作为小组合作学习的题目，仿照例题的分析方式小
组合作完成，第5题作为师生互动的题目.选择第1题作为例题规范板书，其余题目只需分析、
列方程即可.
对于第1题，可以从以下几个方面提出问题，帮助学生分析问题、解决问题：
（1）成本为多少？（2）“如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支”在本题中的
作用是什么？（3）“售价每上涨1元就少卖10支”的作用？（4）利润的表达形式有哪几种？
（5）本题中的等量关系是什么？
在用一种方法解决完本题之后，可以让学生尝试其它的思路，进行一题多解.
对于第3题，可以从以下几个方面入手分析：
（1）题目中的等量关系是什么？（2）点P、Q移动的过程中，哪个量是相同的？（3）如何求
出△PCQ的面积？（4）如何求出Rt△ACB面积？
对于第5题，着重于第（4）（5）两个小问题，需要借助于一定的经验加以解决.同时，此题
是典型的二次函数最值问题，放在此处，给学生一个直观的感受.
1、新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，根据市场调查，如果以20元/支的价格
销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支.现在商店店主希望
销售该种钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？
2、新新商场以16元/件的价格购进一批衬衫，根据市场调查，如果以20元/件的价格销
售，每月可以售出200件；而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件.现在商场经理希望销
售该种衬衫月利润为1350元，而且，经理希望用于购进这批衬衫的资金不多于 A
1500元，则该种衬衫该如何定价？此时该进货多少？
P
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C Q B优秀领先 飞翔梦
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3、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿
AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s，几
秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的 ？ A
P
4、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°， AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、B两点出
发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积
C B
Q
为Rt△ACB面积的一半？
5、新苑小区的物业管理部门为了美化环境，在小区靠墙的一侧设计了一处长方形花圃
(墙长25m)，三边外围用篱笆围起，栽上蝴蝶花，共用篱笆40m，
(1) 花圃的面积能达到180m2吗？
A D
(2) 花圃的面积能达到200m2吗？
(3) 花圃的面积能达到250m2吗？
B C
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
(4) 你能根据所学过的知识求出花圃的最大面积吗？此时，篱笆该怎样围？
(5) 如果想在花圃中栽种两种不同的蝴蝶花，需要在花圃中再 A D
加一道篱笆，若不想改变篱笆的总长度，那么，此时花圃的最大面积
会是多少，篱笆该怎样围？
B C
第四环节：巩固提高
内容：重点放在一元二次方程的实际应用上，内容呈现形式多样化，设置实际背景比较
全面.其中3、4小题表面上看类似，实际有一定的差异，可以对比来看；第5小题为后续学习
的二次函数作铺垫；第7题为一道经典的中考真题，让学生感受一下中考的氛围.
1、新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上
修建三条同样宽的甬路(两条纵向、一条横向，且横向、纵向
互相垂直)，其余部分种花草.若要使甬路的面积占矩形场地面
积的 .则甬路宽为多少米？设甬路宽为x米，则根据题意，
可列方程为 .
2、由于家电市场的迅速成长，某品牌的电视机为了赢得消费者，在半年之内连续两次降
价，从4980元降到3698元，如果每次降低的百分率相同，设这个百分率为x，则根据题意，可
列方程： .
3、王老师假期中去参加高中同学聚会，聚会时，所有到会的同学都互相握了一次手，王
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老师发现共握手435次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x人，则根
据题意，可列方程： .
4、初三、三班同学在临近毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张
以表示纪念，全班共送了1640张照片，如果设全班有x名学生，则根据题意，可列方程( )
A.x(x+1)=1640 B. x(x－1)=1640
C.2x(x+1)=1640 D.x(x－1)=2×1640
5、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品售价为x元，则每天可卖
出(350－10x)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店要想每天赚400元，
需要卖出多少件商品？每件商品的售价应定为多少元？
6、用一块面积为888cm2的矩形材料做一个无盖的长方体盒子，要求盒子的长为25cm，宽
为高的2倍，盒子的宽和高应为多少？
7、一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风 北
警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心
20 海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时，测
A
东
得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮
船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮
B
船最初遇到
台风的时间；若不会，请说明理由.
第五环节：课堂小结
内容：师生共同总结本节课的收获，内容主要设计以下几个方面：
（1）整节课的感悟：如在解决概念性题目时，要注意领会概念的实质含义；在计算时要
做到细心；对于学过的内容，自己要及时进行梳理等等；
（2）解决问题时所用到的方法；
（3）对于某个知识点的困惑；
（4）通过本节课的学习，自己的最大收获.
第六环节：布置作业
1、本节课中涉及的所有题目在课下进行分类整理，留作资料；
2、针对自己对本章的理解，每名同学命制一份试卷，要求时间在60分钟左右，重点突
出，难度适宜，并配有答案（此作业不要求第二天必须上交，给学生一定的收集资料时间）
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