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第 20 讲 特殊的平行四边形
一、 知识清单梳理
知识点一：特殊平行四边形的性质与判定 关键点拨及对应举例
矩 形 菱 形 正方形 (1) 矩 形
中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△C
DB≌Rt△BAC; _两 对全等的等
腰三角形.所以经常结合勾股定
理、等腰三角形的性质解题.
（2）菱形中，有两对全等的等腰三
1.性质 角 形 ；
Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO
（具有平行
≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，则
四边形的 △ABC和△ADC为 等边 三角
一切性质，
形，且四个直角三角形中都有一
对边平行
个30°的锐角.
且相等）
（3）正方形中有8 个等腰直角三
（1）四个角都是直角 （1）四边相等 (1)四条边都相等，四个角都是直
角形，解题时结合等腰直角三角
（2）对角线相等且互相 （2）对角线互相垂直、平分， 角 形的锐角为45°，斜边=直角边.
平分.即 一条对角线平分一组对角 (2)对角线相等且互相垂直平分
AO=CO=BO=DO. （3）面积=底×高 (3)面积=边长×边长
（3）面积=长×宽 =对角线_ 乘积的一半 =2S
△ABD
=2S =4S =4S
△ABD △AOB. △AOB
（1）定义法：有一个角 （1）定义法：有一组邻边相 （1）定义法：有一个角是直角， 例：判断正误.
是直角的平行四边 等的平行四边形 且有一组邻边相等的平行四 邻边相等的四边形为菱形.（ ）
形 （2）对角线互相垂直的平行 边形 有三个角是直角的四边形式矩形.
2. 判定 （2）有三个角是直角 四边形 （2）一组邻边相等的矩形 （ ）
（3）对角线相等的平行 （3）四条边都相等的四边形 （3）一个角是直角的菱形 对角线互相垂直平分的四边形是
四边形 （4）对角线相等且互相垂直、平 菱形. （ ）
分 对边相等的矩形是正方形.（ ）
包含关系：
3.
联系
知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳
（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形. 如图，四边形
4. （2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. ABCD为菱形，
中点
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. 则其中点四边形
四边形 （4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形. EFGD的形状是
矩形.
5.特殊四 （1）矩形：如图①，E为AD上任意一 点，EF过矩 形 中
心O，则△AOE≌△COF,S=S.
边形中 1 2
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（2）正 方形:如图②，若EF⊥MN，则EF=MN;如图③，P为AD边上任意一点，则PE+PF=AO. （变式：如
图④，四边形ABCD为矩形，则PE+PF的求法利用面积法，需连接PO.）
的解题
模型
图 ① 图 ② 图 ③
图④
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