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2．5.2 矩形的判定
∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝
∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形
1．掌握矩形的判定方法；(重点) AEDB 是平行四边形，∴AE 平行且相等
2．矩形的判定及性质的综合应用．(难 BD，又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，
点) 故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC
＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．
方法总结：此题主要考查了平行四边形
一、情境导入 的判定与性质以及矩形的判定，灵活应用平
我们已经知道，有一个角是直角的平行 行四边形的判定得出四边形AEDB、四边形
四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以 ADCE是平行四边形是解题的关键．
依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我 探究点二：对角线相等的平行四边形是
们能否找到其他的判定矩形的方法呢？ 矩形
矩形是一个中心对称图形，也是一个轴
对称图形，具有如下的性质：
1．两条对角线相等且互相平分；
2．四个内角都是直角．
这些性质，对我们寻找判定矩形的方法 如图，平行四边形ABCD中，对角
有什么启示？ 线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使
二、合作探究 ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.
探究点一：有一角是直角的平行四边形 求证：四边形NDMB为矩形．
是矩形 解析：首先由平行四边形 ABCD可得
OA＝OC、OB＝OD；若ON＝OB，那么ON＝
OD；而CM＝AN，即ON＝OM，由此可证得
四边形NDMB的对角线相等且互相平分，
即可得证．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
已知：如图，△ABC中，AB＝AC， ∴AO＝OC，OD＝OB，∵AN＝CM，ON＝
AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平 OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴四边形
分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形 NDMB为平行四边形，MN＝BD，∴平行四
ADCE是矩形． 边形NDMB为矩形．
解析：首先利用等边对等角性质得出 方法总结：证明一个四边形是矩形，若
∠B＝∠ACB；再根据外角和外角平分线性 题设条件与这个四边形的对角线有关，通常
质得出∠FAE＝∠ACB，进而得到AE∥CD， 证这个四边形的对角线相等且互相平分．
即可推出四边形AEDB是平行四边形，再利 探究点三：有三个角是直角的四边形是
用平行四边形的性质推出四边形 ADCE是 矩形
平行四边形，即可推出四边形ADCE是矩形． 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝ AD⊥BC，垂足为 D，AN 是△ABC 外角
∠ACB，BD＝DC.∵AE是∠BAC的外角平 ∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：
分线，∴∠FAE＝∠EAC，∵∠B＋∠ACB＝ 四边形ADCE为矩形．
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(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC，
∵DG⊥AC，∴CD＝OD，∵F是BO中点，
OF＝2cm，∴BO＝4cm，∵四边形ABCD是
矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝
8cm，∴CB＝＝4(cm)，∴矩形ABCD的面积
解析：本题的垂直关系较多，所以利用 ＝4×4＝16(cm2)．
“有三个角是直角的四边形是矩形”来证 方法总结：要证明四边形是矩形，首先
明比较简便． 可判定四边形是平行四边形，然后证明对角
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， 线相等．
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝∠BAC.又 【类型二】 矩形判定与动点问题
∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， 如图所示，在梯形 ABCD 中，
∴∠MAE＝∠CAE＝∠CAM.∴∠DAE＝ AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝
∠DAC＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝ 26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D
180°× ＝ 90°. 又 AD⊥BC ， CE⊥ AN ， 以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿
∴∠ADC＝∠CEA＝90°.∴四边形ADCE为 着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点
矩形． P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一
方法总结：题设中出现多个直角或垂直 点到达端点时，另一点随之停止运动．
时，常采用“有三个角是直角的四边形是矩
形”来判定矩形．
探究点四：矩形的性质和判定的综合应
用
【类型一】 利用矩形的判定和性质证明 (1)经过多长时间，四边形PQCD是平
和计算 行四边形？
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
解析：(1)四边形PQCD是平行四边形，
可根据DP＝CQ，列出方程后求解即可；
(2)四边形PQBA是矩形，可根据AP＝
如图，O是矩形ABCD的对角线 BQ，列出相应方程求解即可．
的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD 解：(1)设经过xs，四边形PQCD为平行
上的点，且AE＝BF＝CG＝DH. 四边形，即PD＝CQ，所以24－x＝3x，解得
(1)求证：四边形EFGH是矩形； x＝6，即经过6秒，四边形PQCD是平行四
(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、 边形；
OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形 (2)设经过ys，四边形PQBA为矩形，即
ABCD的面积． AP＝BQ，所以y＝26－3y，解得y＝，即经过
解析：(1)首先证明四边形EFGH是平 6.5秒，四边形PQBA是矩形．
行四边形，然后再证明HF＝EG； 方法总结：①证明一个四边形是矩形，
(2)根据题干求出矩形的边长 CD 和 若题设条件与这个四边形的对角线有关，通
BC，然后根据矩形面积公式求解． 常证这个四边形的对角线相等；②题设中出
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA 现多个直角或垂直时，常采用“有三个角是
＝OB＝OC＝OD，∵AE＝BF＝CG＝DH， 直角的四边形是矩形”来判定矩形．
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－ 三、板书设计
DH，即 OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形 1．矩形的判定
EFGH是矩形； 有一角是直角的平行四边形是矩形；
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对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形．
2．矩形的性质和判定综合应用
在本节课的教学中，不仅要求学生掌握矩形
判定的几种方法，更要注重学生在教学的过
程中是否真正掌握了探究问题的基本思路
和方法，着眼于让学生不仅懂得验证定理，
也要懂得提出问题探究问题．教师在例题练
习的教学中，若能适当地多做一些变式练习，
引导学生类比、迁移地思考、做题，就能进一
步拓展学生的思维，提高课堂教学的有效性.
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