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2．6 菱 形
2．6.1 菱形的性质
1．掌握菱形的定义和性质；(重点)
2．掌握菱形面积的求法；(重点)
3．灵活运用菱形的性质解决问题．(难
点) ∠DAE，再根据角平分线的性质可得
CE＝FC.
证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，
一、情境导入 ∴AC平分∠DAE，∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝FC.
方法总结：关键是掌握菱形的两条对角
线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对
角；角平分线的性质：角的平分线上的点到
将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着 角的两边的距离相等．
图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什 【类型二】 利用菱形的性质进行有关的
么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行 计算
四边形，即菱形．
二、合作探究
探究点一：菱形的性质
【类型一】 利用菱形的性质证明线段相
等
如图，四边形 ABCD 是菱形，
CE⊥AB交AB的延长线于E，CF⊥AD交 如图，O是菱形ABCD对角线AC
AD的延长线于F.求证：CE＝CF. 与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C
作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相
交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
解析：(1)在直角△OCD中，利用勾股定
解析：连接AC，根据菱形的性质可得 理即可求解；
AC平分 (2)先证明四边形OBEC为矩形，再利用
矩形的面积公式即可直接求解．
解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，
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∴AC⊥BD.在直角△OCD 中，OC＝＝＝ 边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AB＝BD，
4(cm)； ∴AB＝AD＝BD.∴△ABD为等边三角形．
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形 ∴∠DAB＝∠ADB＝60°.∵AE＝DF，
OBEC 为平行四边形，又∵AC⊥BD，即 ∴△ADE≌△DBF；
∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形， 拓展：∵点O在AD的垂直平分线上，
∵OB＝OD＝4cm，∴S ＝OB·OC＝ ∴ OA ＝ OD.∴∠DAO ＝ ∠ ADB ＝
矩形OBEC
4×3＝12(cm2)． 50°.∴∠EAD＝∠FDB.∵AE＝DF，AD＝
方法总结：菱形的对角线互相垂直，则 DB，∴△ADE≌△DBF.∴∠DEA＝∠AFB＝
菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所 32°.∴∠EDA＝50°－32°＝18°.
以可以利用勾股定理解决一些计算问题． 方法总结：本题考查了菱形的性质、等
【类型三】 运用菱形的性质解决探究性 边三角形的判定和性质以及全等三角形的
问题 判定和性质，比较综合，但难度不大，一定要
已知：如图①，在菱形ABCD中， 熟悉相关的基础知识，才能更快地解决问题．
AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若 探究点二：菱形的面积
AE＝DF，易知△ADE≌△DBF. 已知菱形ABCD中，对角线AC与
探究：如图②，在菱形ABCD中，AB＝ BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则
BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若 该菱形的面积是( )
AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果 A．16 B．8
全等，请证明；如果不全等，请说明理由． C．4 D．8
拓展：如图③，在▱ABCD中，AD＝BD， 解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝
点O是AD边的垂直平分线与BD的交点， BC，OA＝AC＝2，OB＝BD，AC⊥BD，
点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE ∠BAD＋∠ABC＝180°，∵∠BAD＝120°，
＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE ∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
的度数． ∴AB＝AC＝4，∴OB＝＝＝2，∴BD＝2OB
＝4，∴菱形 ABCD 的面积＝AC·BD＝
×4×4＝8；故选B.
方法总结：菱形的面积为两对角线长的
积的一半，菱形的对角线平分对角．
三、板书设计
1．菱形的性质
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一
条对角线平分一组对角．
2．菱形的面积
解析：探究：△ADE和△DBF全等，利 S ＝边长×对应高＝ab(a，b分别是
菱形
用菱形的性质首先证明三角形ABD为等边 两条对角线的长)
三角形，再利用全等三角形的判定方法即可
证明△ADE≌△DBF；
拓展：因为点O在AD的垂直平分线上， 通过折纸活动让学生主动探索菱形的性质，
所 以 OA ＝ OD ， 再 通 过 证 明 大多数学生能全部得到结论，少数的我们加
△ADE≌△DBF，利用全等三角形的性质即 以引导．在整个新知生成过程中，这个活动
可求出∠ADE的度数． 起了重要的作用．学生始终处于观察、比较、
解：探究：△ADE和△DBF全等．∵四 概括、总结和积极思维的状态，切身感受到
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自己是学习的主人．为学生今后获取知识、
探索发现和创造打下了良好的基础，更增强
了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学
习数学知识的信心和勇气.
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