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2．6.2 菱形的判定
边形BCFE是菱形．
方法总结：菱形必须满足两个条件：一
1．理解和掌握菱形的判定方法；(重点) 是平行四边形；二是一组邻边相等．
2．合理利用菱形的判定方法进行论证 【类型二】 利用 “ 对角线互相垂直的平
和计算．(难点) 行四边形是菱形 ” 判定
如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，
且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于
一、情境导入 点D，连接CD，求证：
我们已经知道，有一组邻边相等的平行
四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以
根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之
外，还能找到其他的判定方法吗？
菱形是一个中心对称图形，也是一个轴 (1)AC⊥BD；
对称图形，具有如下的性质： (2)四边形ABCD是菱形．
1．两条对角线互相垂直平分； 解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后
2．四条边都相等； 利用三线合一的性质得到AC⊥BD即可；
3．每条对角线平分一组对角． (2)首先证得四边形ABCD是平行四边
这些性质，对我们寻找判定菱形的方法 形，然后根据对角线互相垂直得到平行四边
有什么启示呢？ 形是菱形．
二、合作探究 证明： (1)∵AE∥BF，∴∠ BCA＝
探究点一：菱形的判定 ∠CAD，∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC＝
【类型一】 利用 “ 有一组邻边相等的平 ∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等
行四边形是菱形 ” 判定 腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；
(2)∵△BAC 是等腰三角形，∴AB＝
CB，又∵BC∥AD，∴∠CBD＝∠ABD＝
∠BDA，∴△ABD也是等腰三角形，∴AB＝
AD，∴DA＝CB，∴四边形ABCD是平行四
边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
已知：如图，在△ABC中，D、E分 方法总结：判定方法“对角线互相垂直
别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到 的平行四边形是菱形”的前提条件是平行
点F，使得EF＝BE，连接CF. 四边形，对角线互相垂直的四边形不一定是
求证：四边形BCFE是菱形． 菱形．
解析：由题意易得，EF与BC平行且相 【类型三】 利用 “ 四条边相等的四边形
等，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF＝ 是菱形 ” 判定
BE，∴四边形BCFE是菱形．
证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝
2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝
2DE且DE∥BC.∴EF＝BC，EF∥BC，∴四
边形BCFE是平行四边形．又EF＝BE，∴四
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据现有的图形，请添加一个条件，使四边形
AECF为菱形，则添加的一个条件可以是
__________．(只需写出一个即可，图中不能
再添加别的“点”和“线”)
如图，已知△ABC，按如下步骤作 解析：∵AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB，
图： ∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝FAD，
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为 ∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF，同理ED＝
半径画弧，两弧交于P，Q两点； CD，∵AD＝BC，AB＝CD，∴AE＝CF，又
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E， ∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，
D，连接CE； ∵对角线互相垂直的四边形是菱形，则添加
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接 的一个条件可以是：AC⊥EF.
AF. 方法总结：菱形的判定方法常用的是三
(1)求证：△AED≌△CFD； 种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；
(2)求证：四边形AECF是菱形． (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
解析：(1)由作图知：PQ为线段AC的垂 【类型二】 菱形的性质和判定的综合应
直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD，然 用
后根据 CF∥AB 得到∠EAC＝∠FCA， 在平行四边形ABCD中，∠BAD
∠CFD＝∠AED，利用ASA证得两三角形 的平分线交直线BC于点E，交直线DC于
全等即可； 点F.
(2)根据全等得到AE＝CF，再由EF为 (1)如图①，求证：CE＝CF；
线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC (2)如图②所示，若∠ABC＝90°，G是
＝FA，从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用四 EF的中点，分别连接DB、DG，求∠BDG的
边相等的四边形是菱形判定四边形 AECF 度数；
为菱形． (3)如图③所示，若∠ABC＝120°，
解：(1)由作图知：PQ为线段AC的垂直 FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG，求
平分线，∴AE＝CE，AD＝CD，∵CF∥AB， ∠BDG的度数．
∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在
△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD；
(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，
FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形 解析：(1)根据AF平分∠BAD，可得
AECF为菱形． ∠BAF＝∠DAF，利用四边形ABCD是平行
方法总结：判定一个四边形是菱形可分 四边形，证明∠CEF＝∠F即可；(2)如图④
为两种情况：(1)以四边形为起点进行判定； 所示，分别连接GB、GC，根据∠ABC＝90°，
(2)以平行四边形为起点进行判定． 可得△ABE，△ECF均为等腰直角三角形，
探究点二：菱形的判定的应用 再证明△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．
【类型一】 菱形判定中的开放性问题 (3)如图⑤所示，分别延长AB、FG交于H，连
如图，平行四边形ABCD中，AF、 接HD，求得四边形AHFD是平行四边形．
CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根 由∠ABC＝120°，可求得△DHF为等边三角
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形．再由条件证得△BHD≌△GFD，然后即 等三角形的判定是结合全等三角形的性质
可求得答案． 证明线段和角相等的重要工具．
三、板书设计
1．菱形的判定
有一组邻边相等的四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
(1)证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝ 四条边相等的四边形是菱形．
∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形， 2．菱形的性质和判定的综合应用
∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，
∠BAF＝∠F，∴∠CEF＝∠F.∴CE＝CF；
(2)解：连接GC、BG，如图④所示，∵四 在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让
边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，∴ 学生先会运用判定解决简单的证明题，再由
四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD， 浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的
∴∠DAF＝∠BAF＝45°，∵∠DCB＝90°， 练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会
DF∥AB，∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°， 灵活运用.
∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF的
中点，∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，又
∵∠ABC＝90°，∠BAF＝45°，∴△ABC为等
腰直角三角形，∴AB＝BE.又AB＝DC，
∴BE＝DC，∵∠CEF＝∠GCF＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°，在△BEG 与
△DCG中，∵∴△BEG≌△DCG，∴BG＝
DG，∠BGA＝∠DGC.∵CG⊥EF，∴∠DGC
＋∠DGA＝90°，∴∠BGE＋∠DGE＝90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG＝
45°；
(3)解：延长AB、FG交于H，连接HD，
如图所示，∵AD∥CE∥GF，AB∥DF，∴四
边形 AHFD 为平行四边形．∵∠ABC＝
120°，∴∠BAC＝60°，又∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∴∠DFA＝
30°.∴△DAF为等腰三角形．∴AD＝DF，∴
平行四边形 AHFD 为菱形．∴△ADH，
△DHF为全等的等边三角形．∴DH＝DF，
∠ BHD ＝ ∠ GFD ＝ 60°.∵ AD∥ BC ，
∴∠CEF＝∠DAF＝30°，∴∠CEF＝
∠CFA，∴CE＝CF.∵AH－AB＝DF－CD，
∴BH＝CF.又∵FG＝CE，∴BH＝GF.在
△BHD与△GFD中，∵∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH＝∠GDF.∴∠BDG＝∠BDH＋
∠HDG＝∠GDF＋∠HDG＝60°.
方法总结：此题主要考查了全等三角形
的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全
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