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第6课时 全等三角形的性质和判定的应用
方法总结：①已知一边一角，可任意添
加一个角的条件，用AAS或ASA判定全等；
1．熟练掌握判定三角形全等的四种方 添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用
法：SAS，ASA，AAS，SSS；(重点) SAS判定全等．若添加另一边即这个角的对
2．会根据具体情况选择合适方法证明 边，符合SSA的情形，不能判定三角形全等．
三角形全等．(难点) ②添加条件时，应结合判定全等的四种方法：
SSS、SAS、ASA、AAS，注意不能是SSA的情形．
【类型二】 结论开放
一、情境导入
1．判定三角形全等的四种方法：SAS，
ASA，AAS，SSS.
2．怎样选择合适的方法解题呢？ 如图，点F在BC上，AB＝AE，AC＝
二、合作探究 AF，∠EAB＝∠CAF，请你任意写出一个正确
探究点一：对两个三角形全等条件的再 结论：______________．
认识 解析：由∠EAB＝∠CAF可得∠EAF＝
【类型一】 条件开放 ∠CAB， 又 AB＝AE，AC＝AF， 所 以
如图，∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，要 △ABC≌△AEF(SAS)，所以CB＝FE，∠E＝
使△ABC≌△EBD，则需要补充的条件为 ∠B，∠AFE＝∠C.故可以填：△ABC≌△AEF
____________(填一个即可)． 或CB＝FE或∠E＝∠B或∠AFE＝∠C.
方法总结：对于结论开放题，应先结合
已知条件和图形进行推理，得出各种结论，
任选其中之一即可．
【类型三】 条件结论都开放
如图，△ADF和△BCE中，∠A＝
解析：需要补充的条件为BC＝BD或∠A ∠B，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三
＝∠E或∠C＝∠D. 个关系式：① AD＝BC；② DE＝CF；
(1)补充的条件为BC＝BD， ③BE∥AF.
∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE， (1)请用其中两个关系式作为条件，另
又有BC＝BD， 一个作为结论，写出所有你认为正确的命题
∴△ABC≌△EBD(SAS)． (用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，
(2)补充的条件为∠A＝∠E， 那么③)；
∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，又有∠A＝ (2)选择(1)中你写出的一个命题，说明
∠E， 它正确的理由．
∴△ABC≌△EBD(ASA)．
(3)补充的条件为∠C＝∠D，
∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，
又有∠C＝∠D，∴△ABC≌△EBD(AAS)．
故填BC＝BD或∠A＝∠E或∠C＝∠D. 解析：(1)本题主要考查全等三角形的
1判定，能不能成立，就看作为条件的关系式 ∴△ABC≌△AED(SAS)．
能不能证明△ADF≌△BCE，从而得到结论； (2)由(1)知∠ABC＝∠AED，
(2)对于“如果①，③，那么②”进行证 ∵AB＝AE，
明，根据平行线的性质得到∠AFD＝∠BEC， ∴∠ABE＝∠AEB.∴∠ABE－∠ABC＝
因为AD＝BC，∠A＝∠B，利用 AAS 判定 ∠AEB－∠AED，即∠OBE＝∠OEB.∴OB＝OE.
△ADF≌△BCE，得到DF＝CE，即得到DE＝ 探究点三：添加辅助线证明三角形全等
CF. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
解：(1)如果①、③，那么②；如果②、③， BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线
那么①. 交DC于点E.
(2)对于“如果①、③，那么②”证明如
下：
∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC.
又 ∵ AD＝ BC， ∠ A＝ ∠ B，
∴△ADF≌△BCE.
∴DF＝CE.∴DF－EF＝CE－EF即DE＝
CF. 求证：(1)△BFC≌△DFC；
对于“如果②、③，那么①”证明如下： (2)AD＝DE.
∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC. 解析：(1)由CF平分∠BCD可知∠BCF＝
∵DE＝CF，∴DE＋EF＝CF＋EF即DF＝ ∠ DCF， 然 后 通 过 SAS 就 能 证 出
CE. △BFC≌△DFC.
∵∠A＝∠B，∴△ADF≌△BCE.
∴AD＝BC.
方法总结：对于条件结论都开放的题目，
结合图形，从中选取的条件要能使结论成立．
探究点二：灵活选用合适方法证明三角
形全等
如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝
AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O. (2)连接 BD，要证明 AD＝DE，证明
△BAD≌△BED则可．由于BD＝BD，所以只需
另外证明两组角对应相等即可．
证明：(1)∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF.
在△BFC和△DFC中，，
求证：(1)△ABC≌△AED； ∴△BFC≌△DFC.
(2)OB＝OE. (2)连接BD.∵△BFC≌△DFC，
解析：(1)由∠BAD＝∠EAC可知∠BAC ∴BF＝DF，∴∠FBD＝∠FDB.
＝∠EAD，所以由，可证△ABC≌△AED(SAS)； ∵DF∥AB，∴∠ABD＝∠FDB.∴∠ABD＝
(2)由(1)知∠ABC＝∠AED，AB＝AE可 ∠FBD.
知∠ABE＝∠AEB，所以∠OBE＝∠OEB，则OB ∵AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC.
＝OE. ∵BC＝DC，∴∠DBC＝∠BDC.∴∠BDA＝
证明：(1)∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD＋ ∠BDC.
∠DAC＝∠EAC＋∠DAC，即∠BAC＝∠EAD. 又∵BD＝BD，∴△BAD≌△BED.∴AD＝
在△ABC和△AED中， DE.
， 方法总结：证明全等三角形中常见辅助
2线的作法：①连接两点；②倍长中线；③过一 ∴AB＝DE.∴DE的长就是A、B之间的距
点作已知直线的平行线；④过一点作已知直 离．
线的垂线． 方法总结：本题考查全等三角形的应用，
探究点四：多次运用三角形全等的判定 关键是通过证明三角形全等，得到线段相等，
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD， 从而得出结论成立．
BC＝DC，E为AC上的一动点(不与A重合)， 三、板书设计
在E移动过程中BE和DE是否相等？若相等， 判定三角形全等的思路：
请写出证明过程；若不相等，请说明理由．
解 析 ： 要 证 BE＝ DE， 先 证
△ADC≌△ABC(SSS)，得到∠DAE＝∠BAE，再
证△ADE≌△ABE(SAS)即可．
解：相等．
理由如下：
在△ABC和△ADC中， 本节课学习了全等三角形四种判定方
AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC， 法的灵活运用，让学生积极主动地去练习，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE＝ 学会分析已知什么，要证明什么，还需要什
∠BAE， 么条件，同时还要善于从图形中发现隐含的
在△ADE和△ABE中， 条件：公共边、公共角、对顶角、邻补角等．
AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS)，∴BE＝DE.
方法总结：把要证明的边相等或角相等，
转化为证明它们所在的三角形全等．如果两
个三角形全等的条件不具备，可通过两次或
多次三角形全等得出．
探究点五：全等三角形判定的实际应用
如图，A、B两个建筑物分别位于
河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以
沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截
取BC＝CD，过D点作DE⊥BF，使E、C、A在一
条直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，
请说明理由．
解：∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD，∠B＝
∠EDC＝90°，
∴△ACB≌△ECD，
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