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解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法
类型一 特殊四边形中求最值、定值问题
一、利用对称性求最值【方法10】
1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD
上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．
第1题图 第2题图
2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形
ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．
二、利用面积法求定值
3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC
＝8，则PE＋PF的值为________．
【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和
(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分
别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．
变式题(1)图 变式题(2)图
(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE上
一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．
类型二 正方形中利用旋转性解题
4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形
ABCD的面积是18，则DP的长是__________．
5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S ＝S
△AEF △ABE
＋S .
△ADF
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6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且
BP⊥CP，连接OP.
求证：BP＋CP＝OP.
参考答案与解析
1. 解析：如图，过点Q作QE⊥AC交AB于点E，则PQ＝PE.∴DP＋PQ＝DP＋PE.
当点D，P，E三点共线的时候DP＋PQ＝DP＋PE＝DE最小，且DE即为所求．当DE⊥AB时，
DE最小．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，∴AB＝5.∵S
菱形
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＝AC·BD＝AB·DE，∴×8×6＝5·DE，∴DE＝.∴DP＋PQ的最小值为.
ABCD
2．6 解析：如图，设BE与AC交于点P，连接BD.∵点B与D关于AC对称，∴PD＝
PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，即P为AC与BE的交点时，PD＋PE最小，为BE的长度．∵
正方形ABCD的边长为6，∴AB＝6.又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝6.故所求最小值
为6.故答案为6.
3. 解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴OB
＝OC＝AC＝5.如图，连接OP，∵S ＋S ＝S ，∴＋＝S ，∴＋＝S .∵S ＝S
△OBP △OCP △OBC △OBC △OBC △OBC
＝AB·BC＝×6×8＝12，∴＋＝12，∴PE＋PF＝.
矩形ABCD
【变式题】(1) 解析：∵菱形ABCD的周长为40，面积为25，∴AB＝AD＝10，S ＝.连
△ABD
接AP，则S ＝S ＋S ，∴×10(PE＋PF)＝，∴PE＋PF＝.
△ABD △ABP △ADP
(2) 解析：连接BP，过点E作EH⊥BC于H.∵S ＋S ＝S ，∴＋＝.又∵BE＝
△BPE △BPC △BEC
BC，∴＋＝，即PM＋PN＝EH.∵△BEH为等腰直角三角形，且BE＝BC＝1，∴EH＝，∴PM
＋PN＝EH＝.
4．3
5．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH
＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合，∴AH＝AF，
∠BAH＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝
45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S ＝
△AEF
S ＝S ＋S ＝S ＋S .
△AEH △ABE △ABH △ABE △ADF
6．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°
至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，
∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，
∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE
＝＝＝OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝OP.
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