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2．2 平行四边形
2．2.1 平行四边形的性质
第 1 课时 平行四边形的边、角的性质
1．理解平行四边形的概念；(重点) 证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2
2．掌握平行四边形边、角的性质；(重 ＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝
点) ∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，∵∠1
3．利用平行四边形边、角的性质解决问 ＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行
题．(难点) 四边形．
方法总结：平行四边形的定义是判断一
个四边形是平行四边形的重要方法．
一、情境导入 探究点二：平行四边形的边、角的性质
平行四边形是我们常见的一种图形，它 【类型一】 利用平行四边形的性质求边
具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称 长
图形呢？它又具有哪些基本性质呢？ 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，
点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的
点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则
AD＝________．
二、合作探究
探究点一：平行四边形的定义
如图，在四边形ABCD中，∠B＝ 解析：∵四边形ADEF为平行四边形，
∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行 ∴AD＝EF，AD∥EF，DE＝AF＝2，∴∠ACB
四边形． ＝∠FEB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，
解析：根据三角形内角和定理求出 ∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF，∴AD＝BF，
∠DAC＝∠ACB，从而可以推出AD∥BC， ∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.故答案
AB∥CD，再根据平行四边形的定义即可推 为7.
出结论． 方法总结：平行四边形对边平行且相等，
根据该性质可解决和边有关的问题．
【类型二】 利用平行四边形的性质求角
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度 出相应的等量关系，进而通过证明三角形的
全等得出结论．
【类型四】 判断直线的位置关系
如图，在平行四边形ABCD中，
AB＝2AD，M为AB的中点，如图连接DM、
MC，试问直线DM和MC有何位置关系？
如图，平行四边形 ABCD 中， 请证明．
CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度
数为( )
A．35° B．55°
C．25° D．30° 解析：由AB＝2AD，M是AB的中点的
解析：∵四边形ABCD是平行四边形， 位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC
∴ AB∥ CD ， ∠ A ＝ ∠ BCD ＝ 125°. 又 与∠BCD的角平分线，又由平行线的性质可
∵CE⊥AB，∴∠BEC＝∠ECD＝90°， 得∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出DM
∴∠BCE＝125°－90°＝35°.故选A. 与MC的位置关系．
方法总结：平行四边形对角相等，对边 解：DM与MC互相垂直，∵M是AB的
平行，所以利用该性质可以解决和角度有关 中点，∴AB＝2AM，又∵AB＝2AD，∴AM＝
的问题． AD，∴∠ADM＝∠AMD，∵四边形ABCD
【类型三】 利用平行四边形的性质证明 为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，
线段相等 ∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，
如图，点G、E、F分别在平行四边 即∠MDC＝∠ADC，同理∠MCD＝∠BCD，
形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC， ∵AD∥BC，∴∠BCD＋∠ADC＝180°，
CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP， ∴∠MDC＋∠MCD＝∠BCD＋∠ADC＝
EP.求证：FP＝EP. 90°，∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相垂
直．
方法总结：根据平行四边形对边平行、
对角相等，邻角互补等性质再结合三角形全
等、等腰三角形的知识可证明线段垂直、平
行等问题．
解析：根据平行四边形的性质推出 探究点三：两平行线间的距离
∠DGC＝∠GCB，再由等腰三角形性质求出 如图，已知l
1
∥l
2
，点E，F在l
1
上，
∠DGC＝∠DCG，即可推出∠DCG＝ 点G，H在l 上，试说明△EGO与△FHO面
2
∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP＝ 积相等．
∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可
得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB，∵DG＝
DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝ 解析：结合平行线间的距离相等和三角
∠GCB，∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB 形的面积公式即可证明．
＋∠FCP＝180°，∴∠ECP＝∠FCP，在 证明：∵l∥l，∴点E，F到l 之间的距
1 2 2
△ PCF 和 △ PCE 中 ， 离都相等，设为h.∴S ＝GH·h，S ＝
△EGH △FGH
∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE. GH·h，∴S ＝S ，∴S －S ＝
△EGH △FGH △EGH △GOH
方法总结：利用平行四边形的性质可得 S －S ，∴△EGO的面积等于△FHO
△FGH △GOH
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的面积．
方法总结：解题的关键是明确两平行线
间的距离相等；同底等高的两个三角形的面
积相等．
三、板书设计
1．平行四边形的定义
2．平行四边形的边、角的性质
3．两平行线间的距离
从现实生活中抽象出图形，理解和掌握平行
四边形边、角的性质，学生能很好的运用，只
是在推理过程中不是很完美，在以后的数学
中要根据不同的情况加强这方面的训练.
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