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2．2.2 平行四边形的判定
第 1 课时 平行四边形的判定定理 1、2
行且相等的四边形是平行四边形可证出结
论．
1．掌握“一组对边平行且相等的四边 解：四边形ABCD是平行四边形，证明：
形是平行四边形”的判定方法；(重点) ∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB，又∵AF＝
2．掌握“对边分别相等的四边形是平 CE、DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，
行四边形”的判定方法；(重点) ∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴
3．平行四边形判定定理的综合应用． 四边形ABCD是平行四边形．
(难点) 方法总结：此题主要考查了平行四边形
的判定，以及三角形全等的判定与性质，解
题的关键是根据条件证出三角形全等．
一、情境导入 探究点二：两组对边分别相等的四边形
我们已经知道，如果一个四边形是平行 是平行四边形
四边形，那么它就具有如下的一些性质： 如图，在Rt△MON中，∠MON＝
1．两组对边分别平行且相等； 90°.求证：四边形PONM是平行四边形．
2．两组对角分别相等；
3．两条对角线互相平分．
那么，怎样判定一个四边形是否是平行
四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形 解析：在Rt△MON中，由勾股定理建立
的原始定义：两组对边分别平行的四边形是 方程，求出x的值，进而得出四边形PONM
平行四边形加以判定．那么是否存在其他的 各边的长，然后再根据平行四边形的判定定
判定方法呢？ 理即可得证．
二、合作探究 证明：Rt△MON中，由勾股定理，得(x
探究点一：一组对边平行且相等的四边 －5)2＋42＝(x－3)2，解得x＝8.∴PM＝11－x
形是平行四边形 ＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.∴PM＝
已知，如图E、F是四边形ABCD ON，OP＝MN.∴四边形PONM是平行四边
的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE， 形．
DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？ 方法总结：要依据图形的特点及已知条
请说明理由． 件选择适当的方法来证明一个四边形是平
行四边形．
探究点三：平行四边形的判定定理与性
质的综合应用
【类型一】 利用性质与判定证明
解 析 ： 首 先 根 据 条 件 证 明 如图，已知四边形ABCD是平行
△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝ 四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
∠BCE，可证出AD∥CB，根据一组对边平
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＝∠F＝120°，联想到它们的邻补角(即外角)
均为60°，如果能够组成三角形的话，则必为
等边三角形．事实上，设BC、ED的延长线交
于点N，则△DCN为等边三角形．由∠E＝
(1)求证：△ABE≌△CDF； 120°，∠N＝60°，可知EF∥BN.同理可知
(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE ED∥AB，于是从平行四边形入手，找出解题
是什么样的四边形？写出你的结论并予以 思路．
证明． 解：延长ED、BC交于点N，延长 EF 、
解 析 ： (1) 根 据 “ AAS” 可 证 出 BA 交于点 M.∵∠EDC＝∠BCD＝120°，
△ ABE≌△CDF ； (2) 首 先 根 据 ∴∠NDC＝∠NCD＝60°.∴∠N＝60°.同理，
△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF，再 ∠M＝60°.∴△DCN、△FMA均为等边三角
利用已知得出△ADE≌△BCF，进而得出 形．∴∠E＋∠N＝180°.同理∠E＋∠M＝
DE＝BF，即可得出四边形BFDE是平行四 180°.∴EM∥BN，EN∥MB.∴四边形EMBN
边形． 是平行四边形．∴BN＝EM，MB＝EN.∵CD
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，
∴ AB ＝ CD ， AB∥ CD.∴∠BAC ＝ ∴CN＝DN＝2cm，AM＝FM＝5cm.∴BN＝
∠DCA.∵BE⊥AC 于 E，DF⊥AC 于 F， EM＝8＋2＝10(cm)，MB＝EN＝8＋5＝
∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF 13(cm)．∴EF＋FA＋AB＋BC＋CD＋DE＝
中，∴△ABE≌△CDF(AAS)； EF＋FM＋AB＋BC＋DN＋DE＝EM＋AB＋
(2)解：四边形BFDE是平行四边形，理 BC＋EN＝10＋8＋8＋13＝39(cm)，∴此六
由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE 边形的周长为39cm.
＝DF，∵四边形 ABCD 是平行四边形， 方法总结：解此题的关键是作辅助线，
∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAC＝∠BCA.在 将“不规则”的六边形变成“规则”的平
△ADE和△CBF中， 行四边形，从而利用平行四边形的知识来解
∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四边 决．
形BFDE是平行四边形． 三、板书设计
方法总结：平行四边形对边相等，对角 1．一组对边平行且相等的四边形是平
相等，对角线互相平分及它的判定，是我们 行四边形
证明直线的平行、线段相等、角相等的重要 2．两组对边分别相等的四边形是平行
方法，若要证明两直线平行和两线段相等、 四边形
两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分
别置于一个四边形的对边或对角的位置上，
通过证明四边形是平行四边形达到上述目 本节课，学习了平行四边形的两种判定方法，
的． 对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进
【类型二】 利用性质与判定计算 理解，提高认识水平，从而促进数学观点的
如图，已知六边形ABCDEF的六 形成和发展，更好地进行知识建构，实现良
个内角均为120°，且CD＝2cm，BC＝8cm， 性循环.
AB＝8cm，AF＝5cm.试求此六边形的周长．
解析：由∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E
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