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2．7 正方形
由BC＝1，可列出方程，可求得BE.
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
1．掌握正方形的概念、性质，并会运用； ∴∠B＝90°，∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°，
(重点) ∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF，又∵AC平分
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱 ∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝
形的联系和区别；(难点) ∠FCE，∴EF＝FC，∴BE＝CF；
3．掌握正方形的判定条件；(重点) (2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，在
4．合理地利用正方形的判定进行有关 Rt△CEF中，CE＝＝x，∵BC＝1，∴x＋x＝
的论证和计算．(难点) 1，解得x＝－1，即BE的长为－1.
方法总结：矩形被每条对角线分成两个
直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直
一、情境导入 角三角形，因此正方形的计算问题可以转化
做一做：用一张长方形的纸片(如图所 到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．
示)折出一个正方形．学生在动手过程中对 【类型二】 利用正方形的性质求角度或
正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形 证明
的关系．问题：什么样的四边形是正方形？ 在正方形ABCD中，点F是边AB
上一点，连接DF，点E为DF中点．连接
BE、CE、AE.
二、合作探究
探究点一：正方形的性质
【类型一】 利用正方形的性质求线段长
或证明
(1)求证：△AEB≌△DEC；
(2)当EB＝BC时，求∠AFD的度数．
解析：(1)根据正方形的四条边都相等可
得AB＝CD，每一个角都是直角可得∠BAD
＝∠ADC＝90°，再根据直角三角形斜边上
如图所示，正方形ABCD的边长 的中线等于斜边的一半可得 AE＝EF＝DE
为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC ＝DF，根据等边对等角可得∠EAD＝
于点F. ∠EDA，再求出∠BAE＝∠CDE，然后利用
(1)求证：BE＝CF； “边角边”证明即可；
(2)求BE的长． (2)根据全等三角形对应边相等可得EB
解析：(1)由角平分线的性质可得到BE ＝EC，再求出△BCE是等边三角形，根据等
＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，可 边三角形的性质可得∠EBC＝60°，然后求
证明BE＝CF； 出∠ABE＝30°，再根据等腰三角形两底角
(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE， 相等求出∠BAE，然后根据等边对等角可得
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∠AFD＝∠BAE. ∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于
(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝CD， 点D，交AB于点E，且CF＝AE；
∠BAD＝∠ADC＝90°，∵点E为DF的中点， (1)试判断四边形BECF是什么四边形
∴AE＝EF＝DE＝DF，∴∠EAD＝∠EDA， 并说明理由；
∵∠BAE＝∠BAD－∠EAD，∠CDE＝ (2)当∠A的大小满足什么条件时，四边
∠ADC－∠EDA，∴∠BAE＝∠CDE，在 形BECF是正方形？请回答并证明你的结
△AEB和△DEC中， 论．
∴△AEB≌△DEC(SAS)；
(2)解：∵△AEB≌△DEC，∴EB＝EC，
∵EB＝BC，∴EB＝BC＝EC，∴△BCE是等
边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝90°－
60°＝30°，∵EB＝BC＝AB，∴∠BAE＝(180°
－30°)＝75°，又∵AE＝EF，∴∠AFD＝
∠BAE＝75°.
方法总结：正方形是最特殊的平行四边
形，在正方形中进行计算时，要注意计算出 解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上
相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些 的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝
相等的线段． EC，BF＝FC，又因为CF＝AE，可得出BE＝
探究点二：正方形的判定 EC＝BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱
【类型一】 利用 “ 一组邻边相等的矩形 形，所以四边形BECF是菱形；
是正方形 ” 判定 (2)由菱形的性质知，对角线平分一组对
已知：如图，在 Rt△ABC 中， 角，即当∠ABC＝45°时，∠EBF＝90°，得出
∠ACB＝90°，CD 为∠ACB 的平分线， 菱形EBFC为正方形，根据直角三角形中两
DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F. 个锐角互余得∠A＝45°.
解：(1)四边形BECF是菱形．理由如下：
∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠3＝∠1，∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝
90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC＝
AE，∴BE＝AE，∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF
求证：四边形CEDF是正方形． ＝BF，∴四边形BECF是菱形；
解析：要证四边形CEDF是正方形，则 (2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
要先证明四边形DECF是矩形，再证明一组 证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠CBA
邻边相等即可． ＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，∴菱形
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC， BECF是正方形．
DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC 方法总结：正方形的判定方法：①先判
＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF 定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻
是矩形，∵DE＝DF，∴矩形DECF是正方 边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这
形． 个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四
方法总结：要注意判定一个四边形是正 边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
【类型二】 利用 “ 有一个角是直角的菱 探究点三：正方形的性质与判定的综合
形是正方形 ” 判定 已知：如图，△ABC中，点O是
如图，已知在四边形ABFC中， AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设
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MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的 方法总结：此题考查的是正方形和矩形
外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF. 的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等
腰三角形的判定等知识．解题的关键是由已
知得出EO＝FO，确定(2)(3)的条件．
(1)求证：∠ECF＝90°；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF
是矩形？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足条 如图，AE 是正方形 ABCD 中
件：________________________，则四边形 ∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、
AECF为正方形．(直接添加条件，无需证明) E，AC、BD相交于O.求证：
解析：(1)由已知 CE、CF 分别平分 (1)BE＝BF；
∠BCO和∠GCO，可推出∠BCE＝∠OCE， (2)OF＝CE.
∠GCF＝∠OCF，所以得∠ECF＝90°； 解析：(1)根据正方形的性质可求得
(2)由(1)可得出EO＝CO＝FO，点O运 ∠ABE＝∠AOF＝90°.由于 AE 是正方形
动到AC的中点时，则有EO＝CO＝FO＝ ABCD中∠BAC的平分线，根据“等角的余
AO，所以这时四边形AECF是矩形； 角相等”即可求得∠AFO＝∠AEB.根据
(3)由已知和(2)得到的结论，点O运动 “对顶角相等”即可求得∠BFE＝∠AEB，
到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直 BE＝BF；(2)连接O和AE的中点G.根据三
角的直角三角形时，则推出四边形AECF是 角形的中位线的性质即可证得OG∥BC，
矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正 OG＝CE.根据平行线的性质即可求得
方形． ∠OGF＝∠FEB，从而证得∠OGF＝
(1)证明：∵CE平分∠BCO，CF平分 ∠AFO，OG＝OF，进而证得OF＝CE.
∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝ 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∠GCF，∴∠ECF＝×180°＝90°； ∴ AC⊥ BD ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠ AOF ＝
(2)解：当点O运动到AC的中点时，四 90°.∵∠CAE＝∠BAE，∴∠AFO＝∠AEB，
边形AECF是矩形．理由如下：∵MN∥BC， 又∵∠AFO＝∠BFE，∴∠BFE＝∠AEB，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF，又 ∴BE＝BF；
∵CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO， (2)连接O和AE的中点G.∵AO＝CO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， AG＝EG，∴OG∥BC，OG＝CE，∴∠OGF
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO ＝∠FEB.∵∠AFO＝∠AEB，∴∠OGF＝
＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.又∵当点O运 ∠AFO，∴OG＝OF，∴OF＝CE.
动到 AC 的中点时，AO＝CO，∴四边形 方法总结：在正方形的条件下证明线段
AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴四 的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直
边形AECF是矩形； 平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定
(3)解：当点O运动到AC的中点时，且 理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有
满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方 时也利用全等三角形来解决．
形．∵由(2)知，当点O运动到AC的中点时， 三、板书设计
四边形AECF是矩形，已知MN∥BC，当 1．正方形的性质
∠ACB＝90°，则∠AOF＝∠COE＝∠COF 对边平行，四条边都相等；
＝∠AOE＝90°，即 AC⊥EF，∴四边形 四个角都是直角；
AECF是正方形．故答案为：∠ACB为直角． 对角线互相垂直、平分且相等，并且每
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一条对角线平分一组对角．
2．正方形的判定方法
一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形．
本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴
趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学
生动手动脑的机会，变被动学习为主动学习，
引导通过感官的思维去观察、探究、分析知
识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解
知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯.
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