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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
湖南省郴州市2016届九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过点M（﹣2，2），则k的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4
2．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1=0 B．x2﹣2x+1=0 C．x2﹣1=0 D．x2+2x+3=0
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（ ）
A．B． C． D．
4．某班为调查每个学生用于课外作业的平均时间，从该班学生中随机抽取了10名学生进行
调査，得到他们用于课外作业的时间（单位：min ）如下：75，80，85，65，95，80，85，85，80，90．
由此估计该班的学生用于课外作业的平均时间是（ ）
A．80 B．81 C．82 D．83
5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积
是2，则△A′B′C′的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
6．已知点A（﹣1，y ），B（1，y ），C（2，y ）是函数y=﹣ 图象上的三点，则y ，y ，y 的大小关
1 2 3 1 2 3
系是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．无法确定
1 2 3 2 3 1 3 2 1
7．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A
的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（ ）
A． 米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米
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8．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点
A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A．B．2C．3D．4
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．已知 = ，则 的值为 ．
10．一元二次方程x2﹣2x=0的解是 ．
11．已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k
的值为 ．
12．在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB= ．
13．已知某实验区甲、乙品种水稻的平均产量相等．且甲、乙品种水稻产量的方差分別为S
甲
2=79.6，S 2=68.5．由此可知：在该地区 种水稻更具有推广价值．
乙
14．关于x的方程（m﹣3）xm2﹣7﹣3x﹣4=0是一元二次方程，则m= ．
15．如图，在 ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=
▱
..
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16．如图，已知函数y = ，y = 在第一象限的图象．过函数y = 的图象上的任意
1 2 1
一点A作x轴的平行线交函数y = 的图象于点B，交y轴于点C，若△AOB的面积S=1，则k
2
的值为 ．
三、解答题（17～19每题6分，20～23每题8分，24～25每题10分，26题12分，共82分）
17．计算：2 cos30°+tan45°﹣4sin260°．
18．如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：
△ABC∽△CDE．
19．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（﹣4，﹣2）和B（a，4）．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？
20．某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协
助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科
普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解
答下列问题：
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（1）求被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？
21．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米．
（1）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
（2）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
22．如图，郴州北湖公园的小岛上有为了纪念唐代著名诗人韩愈而建的韩愈铜像，其底部为
A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东60°的方向上，然后沿岸边直行200米到达C处，
再次测得A在C的北偏东30°的方向上（其中A，B，C在同一平面上）．求这个铜像底部A到
岸边BC的距离（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.732）
23．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0，其中a，b，c分別为△ABC三边长．
（1）若方程有两个相等的实数根．试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
24．如图，反比例函数y= 与一次函数y=k x+b图象的交点为A（m，1），B（﹣2，n），OA与x
2
轴正方向的夹角为α，且tanα= ．
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（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）设直线AB与x轴交于点C，且AC与x轴正方向的夹角为β，求tanβ的值．
25．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），DP交
AC于点Q．
（1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）当PD⊥AC时，求线段PA的长度；
（3）当点P在线段AC的垂直平分线上时，求sin∠CPB的值．
26．如图，在Rt△ABC中，AB=10cm，sinA= ．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同
时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动．已知点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．连
接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤5）
（1）求AC，BC的长；
（2）当t为何值时，△APQ的面积为△ABC面积的 ；
（3）当t为何值时，△APQ与△ABC相似．
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湖南省郴州市 2016 届九年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过点M（﹣2，2），则k的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】把点（﹣2，2）代入反比例函数y= （k≠0）中，可直接求k的值．
【解答】解：把点（﹣2，2）代入反比例函数y= （k≠0）中得2=
所以，k=xy=﹣4，
故选A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的比例系数等于在函数
图象上面的点的横纵坐标的乘积．
2．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1=0 B．x2﹣2x+1=0 C．x2﹣1=0 D．x2+2x+3=0
【考点】根的判别式．
【分析】直接利用根的判别式的知识分别对各选项进行分析求解即可求得答案，注意排除法
在解选择题中的应用．
【解答】解：A、∵△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，
∴有不相等的实数根；
B、∵△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
∴有相等的实数根；
C、∵△=b2﹣4ac=02﹣4×1×（﹣1）=4＞0，
∴有不相等的实数根；
D、∵△=b2﹣4ac=22﹣4×1×3=﹣8＜0，
∴没有实数根．
故选D．
【点评】此题考查了根的判别式．注意△＞0 方程有两个不相等的实数根；△=0 方程有两
个相等的实数根；△＜0 方程没有实数根．
⇔ ⇔
⇔
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（ ）
A．B． C． D．
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【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】直接根据三角函数的定义求解即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，
∴sinA= = ．
故选A．
【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：
正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即
sinA=∠A的对边：斜边=a：c．
4．某班为调查每个学生用于课外作业的平均时间，从该班学生中随机抽取了10名学生进行
调査，得到他们用于课外作业的时间（单位：min ）如下：75，80，85，65，95，80，85，85，80，90．
由此估计该班的学生用于课外作业的平均时间是（ ）
A．80 B．81 C．82 D．83
【考点】用样本估计总体；加权平均数．
【分析】根据平均数的定义解答即可．
【解答】解：（75+80+85+65+95+80+85+85+80+90）÷10=82，
故选C
【点评】本题考查数据的分析．解题的关键是理解平均数的意义．
5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积
是2，则△A′B′C′的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【考点】位似变换．
【分析】利用位似比得出三角形面积比，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，
∴ = ，
∵△ABC的面积是2，∴△A′B′C′的面积是：8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，利用位似比得出面积比是解题关键．
6．已知点A（﹣1，y ），B（1，y ），C（2，y ）是函数y=﹣ 图象上的三点，则y ，y ，y 的大小关
1 2 3 1 2 3
系是（ ）
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A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．无法确定
1 2 3 2 3 1 3 2 1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，求得y 、y 、y 的值，然后比较它们的大小．
1 2 3
【解答】解：∵点A（﹣1，y ），B（1，y ），C（2，y ）是函数y=﹣ 图象上的三点，
1 2 3
∴y =﹣ =5，y =﹣ =﹣5，y =﹣ =﹣2.5．
1 2 3
∵﹣5＜﹣2.5＜5，
∴y ＜y ＜y
2 3 1
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象上点坐标都满足该函数解析
式．
7．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A
的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（ ）
A． 米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】根据题意，在Rt△ABO中，BO=30米，∠ABO为α，利用三角函数求解．
【解答】解：在Rt△ABO中，
∵BO=30米，∠ABO为α，
∴AO=BOtanα=30tanα（米）．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用
三角函数求解．
8．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点
A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
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A．B．2C．3D．4
【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】计算题．
【分析】△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，可得∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，所以，
△ACB∽△ AED，A′为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求得．
【解答】解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，
∴∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，
∴DE∥BC
∴△ACB∽△AED，
又A′为CE的中点，
∴AE=A′E=A′C= AC，
∴ ，
即 ，
∴ED=2．
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换和相似三角形的判定与性质，翻折变换后的图形全等及两三角
形相似，各边之比就是相似比．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．已知 = ，则 的值为 ．
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质，可得5a与6b的关系，根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：由比例的性质，得5a=6b．
两边都除以6a，得
= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，等式的性质．
10．一元二次方程x2﹣2x=0的解是 x =0 ， x =2 ．
1 2
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【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）=0，将原式化为两式相乘的
形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解．
【解答】解：原方程变形为：x（x﹣2）=0，
x =0，x =2．
1 2
故答案为：x =0，x =2．
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方
法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
11．已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k
的值为 1 ．
【考点】反比例函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象在第一，三象限，则k＞0，符合上述条件的k
的一个值可以是1．（正数即可，答案不唯一）
【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴k＞0，
只要是大于0的所有实数都可以．
例如：1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0
时，图象是位于二、四象限．
12．在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB= ．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【分析】解答此题要利用互余角的三角函数间的关系：sin（90°﹣α）=cosα，cos（90°﹣α）=sinα．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA= ．
【点评】能考查互余两角的三角函数关系式．
13．已知某实验区甲、乙品种水稻的平均产量相等．且甲、乙品种水稻产量的方差分別为S
甲
2=79.6，S 2=68.5．由此可知：在该地区 乙 种水稻更具有推广价值．
乙
【考点】方差．
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【分析】首先根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，然后比较出它们的方差的大小，
再根据方差越小，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出产量稳定，适合推广
的品种为哪种即可．
【解答】解：根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，
∵68.5＜79.6，
∴S 2＜S 2，
乙 甲
即乙种水稻的产量稳定，
∴产量稳定，适合推广的品种为乙种水稻．
故答案为：乙
【点评】此题主要考查了方差的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越
大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定
性越好．
14．关于x的方程（m﹣3）xm2﹣7﹣3x﹣4=0是一元二次方程，则m= ﹣ 3 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；
含有一个未知数．
【解答】解：由x的方程（m﹣3）xm2﹣7﹣3x﹣4=0是一元二次方程，得
m2﹣7=2且m﹣3≠0．
解得m=﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否
是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
15．如图，在 ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=
▱
..
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，
根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE：BE=4：3，
∴BE：AB=3：7，
∴BE：CD=3：7．
∵AB∥CD，
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∴△BEF∽△DCF，
∴BF：DF=BE：CD=3：7，
即2：DF=3：7，
∴DF= ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关
键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．
16．如图，已知函数y = ，y = 在第一象限的图象．过函数y = 的图象上的任意
1 2 1
一点A作x轴的平行线交函数y = 的图象于点B，交y轴于点C，若△AOB的面积S=1，则k
2
的值为 6 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据y = ，过y 上的任意一点A，得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为
1 1
3，即可得出k的值．
【解答】解∵y = ，过y 上的任意一点A，作x轴的平行线交y 于B，交y轴于C，
1 1 2
∴S = ×4=2，
△AOC
又∵S =1，
△AOB
∴△CBO面积为3，
∴k=xy=6，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知得出△CAO的面积为2，进
而得出△CBO面积为3是解决问题的关键．
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三、解答题（17～19每题6分，20～23每题8分，24～25每题10分，26题12分，共82分）
17．计算：2 cos30°+tan45°﹣4sin260°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】首先利用特殊角的三角函数值代入进而求出答案．
【解答】解：2 cos30°+tan45°﹣4sin260°
=2 × +1﹣4×（ ）2
=3+1﹣4×
=1．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18．如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：
△ABC∽△CDE．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】证出∠A=∠ECD，再由∠B=∠D=90°，即可得出△ABC∽△CDE．
【解答】证明：∵∠B=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∵C为线段BD上一点，且AC⊥CE，
∴∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠A=∠ECD，
∵∠B=∠D=90°，
∴△ABC∽△CDE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟记两角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
19．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（﹣4，﹣2）和B（a，4）．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？
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【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】计算题．
【分析】（1）设反比例函数解析式为y= ，把点A的坐标代入解析式，利用待定系数法求反比
例函数解析式即可，把点B的坐标代入反比例函数解析式进行计算求出a的值，从而得到点
B的坐标；
（2）写出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y= （k≠0），
∵反比例函数图象经过点A（﹣4，﹣2），
∴﹣2= ，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y= ，
∵B（a，4）在y= 的图象上，
∴4= ，
∴a=2，
∴点B的坐标为B（2，4）；
（2）根据图象得，当x＞2或﹣4＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据点A的坐标求出反比例函数解
析式是解题的关键．
20．某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协
助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科
普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解
答下列问题：
（1）求被调查的学生人数；
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（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】图表型．
【分析】（1）利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；
（2）利用（1）中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；
（3）首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数．
【解答】解：（1）被调查的学生人数为：12÷20%=60（人）；
（2）喜欢艺体类的学生数为：60﹣24﹣12﹣16=8（人），
如图所示：
；
（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200× =480（人）．
【点评】此题主要考查了条形统计图的应用以及扇形统计图应用、利用样本估计总体等知识，
利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键．
21．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米．
（1）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
（2）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
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【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2﹣x，根据矩形的面积的计
算方法列出方程求解；
（2）同（1）列出方程，利用根的判别式进行判断方程的根的情况即可．
【解答】解：（1）设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得
x2+16x=60，即（x﹣6）（x﹣10）=0．
解得 x =6，x =10，
1 2
即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；
（2）不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：
由（1）知，﹣x2+16x=70，即x2﹣16x+70=0
因为△=（﹣16）2﹣4×1×70=﹣24＜0，
所以 该方程无解．
即：不能围成面积为70平方米的养鸡场．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是熟悉矩形的周长与面积的求法，以及
一元二次方程的根的判别式．
22．如图，郴州北湖公园的小岛上有为了纪念唐代著名诗人韩愈而建的韩愈铜像，其底部为
A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东60°的方向上，然后沿岸边直行200米到达C处，
再次测得A在C的北偏东30°的方向上（其中A，B，C在同一平面上）．求这个铜像底部A到
岸边BC的距离（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据已知条件和方向角得出∠ABC=∠BAC，从而得出
AC=BC=200，在Rt△ACD中，根据sin∠ACD= ，求出AD即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的距离，
∵在岸边的B处测得A在B的北偏东60°的方向上，
∴∠ABC=30°，
∵A在C的北偏东30°的方向上，
∴∠ACD=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠BAC，
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∴AC=BC=200，
∵在Rt△ACD中，sin∠ACD= ，
∴sin60°= ，
∴AD=200sin60°=100 ≈173.2（米）；
答：这个铜像底部A到岸边BC的距离是173.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角
形是解题的关键．
23．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0，其中a，b，c分別为△ABC三边长．
（1）若方程有两个相等的实数根．试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【考点】根的判别式；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理．
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根得出△=0，即可得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆
定理判断即可；
（2）根据等边进行得出a=b=c，代入方程化简，即可求出方程的解．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由是：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
即（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a=b=c，
∴方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0可整理为2ax2﹣2ax=0，
∴x2﹣x=0，
解得：x =0，x =1．
1 2
【点评】此题考查了根的判别式，等边三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理的逆定理的
应用，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不
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相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根；等边三
角形的三边相等等．
⇔ ⇔
24．如图，反比例函数y= 与一次函数y=k x+b图象的交点为A（m，1），B（﹣2，n），OA与x
2
轴正方向的夹角为α，且tanα= ．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）设直线AB与x轴交于点C，且AC与x轴正方向的夹角为β，求tanβ的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，根据tanα= 可得出m的值，进而得出反比例函数的解
析式，根据B（﹣2，n）在反比例函数y= 的图象上得出B点坐标，再把A、B两点的坐标代入
直线y=k x+b即可得出其解析式；
2
（2）先求出C点坐标，再由A点坐标可得出AE的长，根据锐角三角函数的定义即可得出结
论．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，
∵tan∠AOE=tanα= ，
∴OE=4AE．
∵A（m，1），
∴AE=1，
∴OE=4，
∴A（4，1）．
∵点A在反比例函数y= 的图象上，
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∴k =4，
1
∴反比例函数的解析式为y= ．
∵B（﹣2，n）在反比例函数y= 的图象上，
∴n=2，
∴B（﹣2，﹣2）．
将A、B两点的坐标代入直线y=k x+b得，
2
，解得 ，
∴直线AB的解析式为y= x﹣1．
（2）∵直线AB的解析式为y= x﹣1，令y=0，则x=2，
∴C（2，0）．
∵A（4，1），
∴CE=2，AE=1，
∴tanβ= = ．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意作出辅助线，构造出直角
三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
25．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），DP交
AC于点Q．
（1）求证：△APQ∽△CDQ；
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（2）当PD⊥AC时，求线段PA的长度；
（3）当点P在线段AC的垂直平分线上时，求sin∠CPB的值．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义、相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）连接PC，根据线段垂直平分线的性质得到PC=PA，设PA=x，根据勾股定理列出关于x的
方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠QAP=∠QCD，∠QPA=∠QDC，
∴△APQ∽△CDQ；
（2）解：∵PD⊥AC，
∴∠QDC+∠QCD=90°，又∠QDC+∠QDA=90°，
∴∠QCD=∠QDA，又∠DAP=∠CDA=90°，
∴△DAP∽△CDA，
∴ = ，即 = ，
解得，AP= ；
（3）解：连接PC，
∵点P在线段AC的垂直平分线上，
∴PC=PA，
设PA=x，则PC=x，PB=10﹣x，
由勾股定理得，PC2=PB2+BC2，即x2=（10﹣x）2+25，
解得，x= ，
∴PC=PA= ，
∴sin∠CPB= = ．
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【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及锐
角三角函数的定义，掌握相关的定理、性质、定义是解题的关键．
26．如图，在Rt△ABC中，AB=10cm，sinA= ．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同
时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动．已知点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．连
接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤5）
（1）求AC，BC的长；
（2）当t为何值时，△APQ的面积为△ABC面积的 ；
（3）当t为何值时，△APQ与△ABC相似．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据正弦的定义和勾股定理求出AC，BC的长；
（2）作PE⊥AC于E，根据相似三角形的性质用t表示出PE，根据三角形的面积公式和题意列
出方程，解方程即可；
（3）分△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB两种情况，根据相似三角形的性质列出方程，解方程
即可．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，AB=10cm，sinA= ，
∴ = ，
∴BC=6cm，
则AC= =8cm，
∴AC=8cm，BC=6cm；
（2）作PE⊥AC于E，
由题意得，BP=2tcm，AQ=tcm，
则AP=（10﹣2t）cm，
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∵PE∥BC，
∴ = ，即 = ，
解得，PE=6﹣ t，
∴△APQ的面积= ×t×（6﹣ t），△ABC面积= ×6×8=24，
由题意得， ×t×（6﹣ t）= ×24，
解得，t =1，t =4，
1 2
则当t为1s或4s时，△APQ的面积为△ABC面积的 ；
（3）当△APQ∽△ABC时， = ，即 = ，
解得，t= ，
当△APQ∽△ACB时， = ，即 = ，
解得，t= ，
故当t为 s或 s时，△APQ与△ABC相似．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、一元二次方程的解法，
灵活运用相关的定理、定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
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