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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
2015-2016学年湖南省娄底市冷水江市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题设要求的）
1．（3分）（2016春•冷水江市期末）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．6，8，11 D．5，12，13
2．（3分）（2016春•冷水江市期末）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）（2016春•冷水江市期末）点P（﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，3 ）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）
4．（3分）（2015•齐齐哈尔）下列汉字或字母中既是中心对称图形又是轴对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2014•娄底）下列命题中，错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直平分
C．矩形的对角线相等且互相垂直平分
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
6．（3分）（2016春•冷水江市期末）矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积
为（ ）
A．56 B．192
C．20 D．以上答案都不对
7．（3分）（2016春•冷水江市期末）将直线y=kx﹣1向上平移2个单位长度，可得直线的解析
式为（ ）
A．y=kx﹣3 B．y=kx+1 C．y=kx+3 D．y=kx﹣1
8．（3分）（2014•滕州市校级模拟）一次函数y=（k﹣3）x+2，若y随x的增大而增大，则k的值
可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（3分）（2016春•冷水江市期末）已知一次函数的图象过点（0，3）和（﹣2，0），那么直线必
过下面的点（ ）
A．（4，6）B．（﹣4，﹣3）C．（6，9）D．（﹣6，6）
10．（3分）（2016春•冷水江市期末）一次函数y=kx+k的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
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11．（3分）（2016春•冷水江市期末）如图所示，小明从坡角为30°的斜坡的山底（A）到山顶
（B）共走了200米，则山坡的高度BC为______米．
12．（3分）（2009•郴州）如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，再添加一个条件______（写
出一个即可），则四边形ABCD是平行四边形．（图形中不再添加辅助线）
13．（3分）（2015•乐山）函数 的自变量x的取值范围是______．
14．（3分）（2013•温州二模）已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分
别是10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频率是______．
15．（3分）（2016春•冷水江市期末）函数y=（k+1）x+k2﹣1中，当k满足______时，它是一次
函数．
16．（3分）（2008•如皋市校级自主招生）菱形的周长是20，一条对角线的长为6，则它的面积
为______．
17．（3分）（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是______．
18．（3分）（2009•德城区）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个
按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则a =______．（用含
n
n的代数式表示）
所剪次数 1 2 3 4 … n
正三角形个 4 7 10 13 … a
n
数
三、解答题（本大题共2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）（2016春•冷水江市期末）如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，
∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
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20．（6分）（2016春•冷水江市期末）已知y+6与x成正比例，且当x=3时，y=﹣12，求y与x
的函数关系式．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分）
21．（8分）（2014•黄石）为创建“国家园林城市”，某校举行了以“爱我黄石”为主题的图片
制作比赛，评委会对200名同学的参赛作品打分发现，参赛者的成绩x均满足50≤x＜100，
并制作了频数分布直方图，如图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全频数分布直方图；
（2）若依据成绩，采取分层抽样的方法，从参赛同学中抽40人参加图片制作比赛总结大会，
则从成绩80≤x＜90的选手中应抽多少人？
（3）比赛共设一、二、三等奖，若只有25%的参赛同学能拿到一等奖，则一等奖的分数线是多
少？
22．（8分）（2016春•冷水江市期末）有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，满分18分）
23．（9分）（2013•衡阳）为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7
月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量
不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如右折
线图，请根据图象回答下列问题；
（1）当用电量是180千瓦时时，电费是______元；
（2）第二档的用电量范围是______；
（3）“基本电价”是______元/千瓦时；
（4）小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？
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24．（9分）（2012•湛江）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
六、综合探究题（本大题共2个小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）（2016春•冷水江市期末）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB
的中点，DE⊥AB．
（1）求∠ABC的度数；
（2）如果 ，求DE的长．
26．（10分）（2013•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出
发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒
的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运
动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
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2015-2016 学年湖南省娄底市冷水江市八年级（下）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题设要求的）
1．（3分）（2016春•冷水江市期末）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．6，8，11 D．5，12，13
【考点】勾股定理的逆定理．
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【分析】欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验
证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故错误；
B、42+52≠62，故是直角三角形，故错误；
C、62+82≠112，故不是直角三角形，故错误；
D、52+122=132，故不是直角三角形，故正确．
故选D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边
的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．（3分）（2016春•冷水江市期末）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】坐标确定位置．
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【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点（﹣1，2）在第二象限．
故选B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的
关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；
第四象限（+，﹣）．
3．（3分）（2016春•冷水江市期末）点P（﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，3 ）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
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【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标是（2，3），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．（3分）（2015•齐齐哈尔）下列汉字或字母中既是中心对称图形又是轴对称图形的是
（ ）
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A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重
合．
5．（3分）（2014•娄底）下列命题中，错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直平分
C．矩形的对角线相等且互相垂直平分
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【考点】命题与定理．
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【分析】根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性
质对C进行判断；根据角平分线的性质对D进行判断．
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项的说法正确；
B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项的说法正确；
C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项的说法错误；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项的说法正确．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命
题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
6．（3分）（2016春•冷水江市期末）矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积
为（ ）
A．56 B．192
C．20 D．以上答案都不对
【考点】矩形的性质．
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【分析】首先设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，可得（3x）2+（4x）2=202，继而求得矩形的两邻
边长，则可求得答案．
【解答】解：∵矩形的两邻边之比为3：4，
∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，
∵对角线长为20，
∴（3x）2+（4x）2=202，
解得：x=2，
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∴矩形的两邻边长分别为：12，16；
∴矩形的面积为：12×16=192．
故选：B．
【点评】此题考查了矩形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用．
7．（3分）（2016春•冷水江市期末）将直线y=kx﹣1向上平移2个单位长度，可得直线的解析
式为（ ）
A．y=kx﹣3 B．y=kx+1 C．y=kx+3 D．y=kx﹣1
【考点】一次函数图象与几何变换．
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【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化．
【解答】解：原直线的k=k，b=﹣1；向上平移2个单位长度，得到了新直线，
那么新直线的k=k，b=﹣1+2=1．
∴新直线的解析式为y=kx+1．
故选B．
【点评】本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后k值不变．
8．（3分）（2014•滕州市校级模拟）一次函数y=（k﹣3）x+2，若y随x的增大而增大，则k的值
可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】一次函数的性质．
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【分析】根据一次函数的性质，当y随x的增大而增大时，求得k的范围，在选项中找到范围
内的值即可．
【解答】解：根据一次函数的性质，对于y=（k﹣3）x+2，
当（k﹣3）＞0时，即k＞3时，y随x的增大而增大，
分析选项可得D选项正确．
答案为D．
【点评】本题考查一次函数的性质，掌握一次项系数及常数项与图象间的关系．
9．（3分）（2016春•冷水江市期末）已知一次函数的图象过点（0，3）和（﹣2，0），那么直线必
过下面的点（ ）
A．（4，6）B．（﹣4，﹣3）C．（6，9）D．（﹣6，6）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】计算题．
【分析】根据“两点法”确定一次函数解析式，再检验直线解析式是否满足各点的横纵坐标．
【解答】解：设经过两点（0，3）和（﹣2，0）的直线解析式为y=kx+b，
则 ，解得 ，∴y= x+3；
A、当x=4时，y= ×4+3=9≠6，点不在直线上；
B、当x=﹣4时，y= ×（﹣4）+3=﹣3，点在直线上；
C、当x=6时，y= ×6+3=12≠9，点不在直线上；
D、当x=﹣6时，y= ×（﹣6）+3=﹣6≠6，点不在直线上；
故选B．
【点评】本题考查用待定系数法求直线解析式以及一定经过某点的函数应适合这个点的横纵
坐标．
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10．（3分）（2016春•冷水江市期末）一次函数y=kx+k的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象．
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【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：当k＞0时，函数图象经过一、二、三象限；
当k＜0时，函数图象经过二、三、四象限，故B正确．
故选B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时，函
数图象经过二、三、四象限是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2016春•冷水江市期末）如图所示，小明从坡角为30°的斜坡的山底（A）到山顶
（B）共走了200米，则山坡的高度BC为 10 0 米．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
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【分析】直接利用坡角的定义以及结合直角三角中30°所对的边与斜边的关系得出答案．
【解答】解：由题意可得：AB=200m，∠A=30°，
则BC= AB=100（m）．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出BC与AB的数量关系是解题关键．
12．（3分）（2009•郴州）如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，再添加一个条件 AD=BC
（写出一个即可），则四边形ABCD是平行四边形．（图形中不再添加辅助线）
【考点】平行四边形的判定．
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【专题】开放型．
【分析】可再添加一个条件AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形
ABCD是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD=BC
故答案为：AD=BC（答案不唯一）．
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【点评】此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题
的关键．
13．（3分）（2015•乐山）函数 的自变量x的取值范围是 x ≥ 2 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
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【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
14．（3分）（2013•温州二模）已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分
别是10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频率是 0. 1 ．
【考点】频数与频率．
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【分析】根据频率=频数÷总数，以及第五组的频率是0.2，可以求得第五组的频数；
再根据各组的频数和等于1，求得第六组的频数，从而求得其频率．
【解答】解：根据第五组的频率是0.2，其频数是40×0.2=8；
则第六组的频数是40﹣（10+5+7+6+8）=4．
故第六组的频率是 ，即0.1．
【点评】本题是对频率=频数÷总数这一公式的灵活运用的综合考查．
注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．
15．（3分）（2016春•冷水江市期末）函数y=（k+1）x+k2﹣1中，当k满足 k ≠ ﹣ 1 时，它是
一次函数．
【考点】一次函数的定义．
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【专题】计算题；一次函数及其应用．
【分析】利用一次函数定义判断即可求出k的值．
【解答】解：函数y=（k+1）x+k2﹣1中，当k满足k≠﹣1时，它是一次函数．
故答案为：k≠﹣1
【点评】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数定义是解本题的关键．
16．（3分）（2008•如皋市校级自主招生）菱形的周长是20，一条对角线的长为6，则它的面积
为 2 4 ．
【考点】菱形的性质；勾股定理．
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【专题】计算题．
【分析】根据周长可求得其边长，再根据勾股定理可求得另一条对角线的长，从而利用面积公
式即可求得其面积．
【解答】解：∵菱形的周长是20
∴边长=5
∵一条对角线的长为6
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∴另一条对角线的长为8
∴菱形的面积= ×6×8=24．
故答案为24．
【点评】此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理．
17．（3分）（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 9 ．
【考点】多边形内角与外角．
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【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，
∴它的外角是：180°﹣140°=40°，
360°÷40°=9．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，
再利用外角和定理求出求边数．
18．（3分）（2009•德城区）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个
按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则a = 3 n + 1 ．（用
n
含n的代数式表示）
所剪次数 1 2 3 4 … n
正三角形个 4 7 10 13 … a
n
数
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】压轴题；规律型．
【分析】从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3（n﹣1）
=3n+1．
【解答】解：故剪n次时，共有4+3（n﹣1）=3n+1．
【点评】此类题的属于找规律，从所给数据中，很容易发现规律，再分析整理，得出结论．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）（2016春•冷水江市期末）如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，
∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
【考点】直角三角形的性质．
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【分析】在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，求得∠EBF的度数，在Rt△BCF中
∠FBC=40°求得∠FBC的度数．
【解答】解：在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，
∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，
又∵∠BCE=30°，
∴∠ACB=50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC=40°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解
题的关键．
20．（6分）（2016春•冷水江市期末）已知y+6与x成正比例，且当x=3时，y=﹣12，求y与x
的函数关系式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
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【专题】待定系数法．
【分析】先根据y+6与x成正比例关系，假设函数解析式，再根据已知的一对对应值，求得系
数k即可．
【解答】解：∵y+6与x成正比例，
∴设y+6=kx（k≠0），
∵当x=3时，y=﹣12，
∴﹣12+6=3k，
解得k=﹣2
∴y+6=﹣2x，
∴函数关系式为y=﹣2x﹣6．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解题时注意：求正比例函数，只要一
对x，y的对应值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y
的对应值．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分）
21．（8分）（2014•黄石）为创建“国家园林城市”，某校举行了以“爱我黄石”为主题的图片
制作比赛，评委会对200名同学的参赛作品打分发现，参赛者的成绩x均满足50≤x＜100，
并制作了频数分布直方图，如图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全频数分布直方图；
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（2）若依据成绩，采取分层抽样的方法，从参赛同学中抽40人参加图片制作比赛总结大会，
则从成绩80≤x＜90的选手中应抽多少人？
（3）比赛共设一、二、三等奖，若只有25%的参赛同学能拿到一等奖，则一等奖的分数线是多
少？
【考点】频数（率）分布直方图．
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【专题】图表型．
【分析】（1）利用总人数200减去其它各组的人数即可求得第二组的人数，从而作出直方图；
（2）设抽了x人，根据各层抽取的人数的比例相等，即可列方程求解；
（3）利用总人数乘以一等奖的人数，据此即可判断．
【解答】解：（1）200﹣（35+40+70+10）=45，如下图：
（2）设抽了x人，则 ，解得x=8；
（3）依题意知获一等奖的人数为200×25%=50（人）．
则一等奖的分数线是80分．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取
信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．（8分）（2016春•冷水江市期末）有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？
【考点】勾股定理的应用．
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【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程
最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，
在Rt△AEC中，AC= = =10m，
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故小鸟至少飞行10m．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，满分18分）
23．（9分）（2013•衡阳）为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7
月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量
不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如右折
线图，请根据图象回答下列问题；
（1）当用电量是180千瓦时时，电费是 10 8 元；
（2）第二档的用电量范围是 18 0 ＜ x ≤ 45 0 ；
（3）“基本电价”是 0. 6 元/千瓦时；
（4）小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？
【考点】一次函数的应用．
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【分析】（1）通过函数图象可以直接得出用电量为180千瓦时，电费的数量；
（2）从函数图象可以看出第二档的用电范围；
（3）运用总费用÷总电量就可以求出基本电价；
（4）结合函数图象可以得出小明家8月份的用电量超过450千瓦时，先求出直线BC的解析
式就可以得出结论．
【解答】解：（1）由函数图象，得
当用电量为180千瓦时，电费为：108元．
故答案为：108；
（2）由函数图象，得
设第二档的用电量为x千瓦时，则180＜x≤450．
故答案为：180＜x≤450；
（3）基本电价是：108÷180=0.6；
故答案为：0.6
（4）设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
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，
解得： ，
y=0.9x﹣121.5．
y=328.5时，
x=500．
答：这个月他家用电500千瓦时．
【点评】本题考查了运用函数图象求自变量的取值范围的运用，待定系数法求一次函数的解
析式的运用，由解析式通过自变量的值求函数值的运用，解答时读懂函数图象的意义是关键．
24．（9分）（2012•湛江）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
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【专题】证明题．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等，即可证
得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，
AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，
即可证得四边形BFDE是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
在△ABE和△CDF中，
∵ ，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD﹣AE=BC﹣CF，
即DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定．此题难度不大，注意数
形结合思想的应用，注意熟练掌握定理的应用．
六、综合探究题（本大题共2个小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）（2016春•冷水江市期末）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB
的中点，DE⊥AB．
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（1）求∠ABC的度数；
（2）如果 ，求DE的长．
【考点】菱形的性质．
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【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据菱形
的四条边都相等可得AB=AD，然后求出AB=AD=BD，从而得到△ABD是等边三角形，再根
据等边三角形的性质求出△DAB=60°，然后根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
（2）根据菱形的对角线互相平分求出AO，再根据等边三角形的性质可得DE=AO．
【解答】解：（1）∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD=DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴AD=DB=AB，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠DAB=60°．
∵菱形ABCD的边AD∥BC，
∴∠ABC=180°﹣∠DAB=180°﹣60°=120°，
即∠ABC=120°；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC于O，AO= AC= ×4 =2 ，
由（1）可知DE和AO都是等边△ABD的高，
∴DE=AO=2 ．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．
26．（10分）（2013•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出
发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒
的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运
动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
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【考点】相似形综合题．
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【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质
求得DF的长，即可证明；
（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程
求得t的值；
（3）分两种情况讨论即可求解．
【解答】（1）证明：∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF= CD=2t，
∴DF=AE；
解：（2）∵DF∥AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60﹣4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时， ▱AEFD是菱形；
（3）当t= 时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；
当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：
当∠EDF=90°时，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t+4t=60，
∴t= 时，∠EDF=90°．
当∠DEF=90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
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∴AD= AE，
AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF= CD=2t，
∴60﹣4t=t，
解得t=12．
综上所述，当t= 时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形
（∠DEF=90°）．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用t表示DF、AD的长是
关键．
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