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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
2015-2016学年湖南省益阳市南县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题只有一个结果符合要求，每小题5分，共40分）
1．（5分）要使分式 有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≠0 C．x≠﹣2D．
2．（5分）把0.00025用科学记数法表示出来，正确的是（ ）
A．2.5×10﹣3 B．2.5×10﹣4 C．2.5×10﹣5 D．25×10﹣3
3．（5分）（2014秋•广丰县期末）计算： =（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2015秋•南县期末）计算（﹣ ）﹣2的结果为（ ）
A． B．﹣2 C． D．16
5．（5分）（2014•莱芜）已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从
A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙
车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2014•湘西州）已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（
）
A．7B．8C．6或8 D．7或8
7．（5分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
8．（5分）（2013•德州）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（
）
A．68° B．32° C．22° D．16°
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）（2014•郴州）若 ，则 = ．
10．（5分）（2014•济南）若代数式 和 的值相等，则x= ．
11．（5分）（2014•天水）若关于x的方程 ﹣1=0有增根，则a的值为 ．
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12．（5分）（2014•贺州）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交
AC于点D，则∠A的度数是 ．
13．（5分）（2014•齐齐哈尔）如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使
△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可）
14．（5分）（2014•毕节市）观察下列一组数： ， ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，
那么这一组数的第n个数是 ．
三、解答题（每题9分，共18分）
15．（9分）填写下列证明过程中的推理根据：已知：如图所示，AC，BD相交于O，DF平分
∠CDO与AC相交于F，BE平分∠ABO与AC相交于E，∠A=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=∠C（ ），
∴AB∥CD（ ）．
∴∠ABO=∠CDO（ ）．
又∵∠1= ∠CDO，∠2= ∠ABO（ ），
∴∠1=∠2（ ）．
16．（9分）计算：（﹣x）﹣3•（2x﹣1）2．
四、解答题（每题12分，共36分）
17．（12分）先化简 ，再在﹣2，0，1，2四个数中选一个合
适的数作为x代入求值．
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18．（12分）（2014•张家界）国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．
每购买一台，客户每购买一台可获得补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后
可购买的台数比补贴前前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
19．（12分）（2015秋•南县期末）如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延
长线上的一点，且BE=BD．
（1）求∠BAD和∠BDE的度数；
（2）求证：AD=DE．
五、解答题（每题13分，共26分）
20．（13分）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号“ ”称为二阶行列式，规定它的运
算法则为： =ad﹣bc．
（1）按照这个规定请你计算 的值；
（2）请你根据上述规定求出等式 =1中x的值．
21．（13分）（2010•泰安校级模拟）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，
图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试说明：DC⊥BE．
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2015-2016 学年湖南省益阳市南县八年级（上）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个结果符合要求，每小题5分，共40分）
1．（5分）要使分式 有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≠0 C．x≠﹣2D．
【考点】分式有意义的条件．
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【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得，x≠2，
故选：A．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的
关键．
2．（5分）把0.00025用科学记数法表示出来，正确的是（ ）
A．2.5×10﹣3 B．2.5×10﹣4 C．2.5×10﹣5 D．25×10﹣3
【考点】科学记数法—表示较小的数．
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【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科
学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0
的个数所决定．
【解答】解：0.00025用科学记数法表示出来2.5×10﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原
数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（5分）（2014秋•广丰县期末）计算： =（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式的加减法．
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【分析】先通分，再计算，选择答案即可．
【解答】解： = ，
故选D．
【点评】本题考查了分式的加减，题目比较简单，要熟练掌握．
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4．（5分）（2015秋•南县期末）计算（﹣ ）﹣2的结果为（ ）
A． B．﹣2 C． D．16
【考点】负整数指数幂．
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【分析】首先把﹣ 化成﹣2﹣2，然后利用幂的乘方法则计算即可．
【解答】解：原式=（﹣2﹣2）﹣2
=（﹣2）4
=24
=16．
故选D．
【点评】本题考查了负整数指数次幂的计算，负指数次幂的计算与正指数次幂的计算方法相
同，同样可以利用幂的运算性质．
5．（5分）（2014•莱芜）已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从
A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙
车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】行程问题．
【分析】设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，根据用相同的时间
甲走40千米，乙走50千米，列出方程．
【解答】解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，
由题意得， = ．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，
找出合适的等量关系，列出方程．
6．（5分）（2014•湘西州）已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（
）
A．7B．8C．6或8 D．7或8
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
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【分析】因为等腰三角形的两边分别为2和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，
需要分类讨论．
【解答】解：当2为底时，三角形的三边为3，2、3可以构成三角形，周长为8；
当3为底时，三角形的三边为3，2、2可以构成三角形，周长为7．
故选：D．
【点评】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边
是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
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7．（5分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
【考点】等腰三角形的性质．
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【专题】分类讨论．
【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．
【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．
8．（5分）（2013•德州）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（
）
A．68° B．32° C．22° D．16°
【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质．
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【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠C的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即
可．
【解答】解：∵CD=CE，
∴∠D=∠DEC，
∵∠D=74°，
∴∠C=180°﹣74°×2=32°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C=32°．
故选B．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性
质是解题的关键．
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）（2014•郴州）若 ，则 = ．
【考点】比例的性质．
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【分析】先用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵ = ，
∴a= ，
∴ = ．
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故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键，也是本题的难点．
10．（5分）（2014•济南）若代数式 和 的值相等，则x= 7 ．
【考点】解分式方程．
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【专题】计算题；转化思想．
【分析】根据题意列出分式方程，求出分式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
【解答】解：根据题意得： = ，
去分母得：2x+1=3x﹣6，
解得：x=7，
经检验x=7是分式方程的解．
故答案为：x=7．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
11．（5分）（2014•天水）若关于x的方程 ﹣1=0有增根，则a的值为 ﹣ 1 ．
【考点】分式方程的增根．
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【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让
最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得
ax+1﹣（x﹣1）=0，
∵原方程有增根
∴最简公分母x﹣1=0，即增根为x=1，
把x=1代入整式方程，得a=﹣1．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．（5分）（2014•贺州）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交
AC于点D，则∠A的度数是 50 ° ．
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【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
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【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得
∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据
三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，
熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键．
13．（5分）（2014•齐齐哈尔）如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使
△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是 BD=CE ．（只填一个即可）
【考点】全等三角形的判定．
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【专题】开放型．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD=CE，根据SAS推出即可；也可以
∠BAD=∠CAE等．
【解答】解：BD=CE，
理由是：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△ACE中， ，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故答案为：BD=CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，
AAS，SSS，题目比较好，难度适中．
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14．（5分）（2014•毕节市）观察下列一组数： ， ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，
那么这一组数的第n个数是 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】规律型．
【分析】观察已知一组数发现：分子为从1开始的连续奇数，分母为从2开始的连续正整数的
平方，写出第n个数即可．
【解答】解：根据题意得：这一组数的第n个数是 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
三、解答题（每题9分，共18分）
15．（9分）填写下列证明过程中的推理根据：已知：如图所示，AC，BD相交于O，DF平分
∠CDO与AC相交于F，BE平分∠ABO与AC相交于E，∠A=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=∠C（ 已知 ），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠ABO=∠CDO（ 两直线平行，内错角相等 ）．
又∵∠1= ∠CDO，∠2= ∠ABO（ 角平分线定义 ），
∴∠1=∠2（ 等量代换 ）．
【考点】平行线的判定与性质．
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【专题】推理填空题．
【分析】根据已知，结合图形，利用平行线的判定定理和性质定理即可解答．
【解答】证明：∵∠A=∠C（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠ABO=∠CDO（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1= ∠CDO，∠2= ∠ABO（角平分线的定义），
∴∠1=∠2（等量代换）．
故答案是：已知；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线定义；等量代
换．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，正确理解定理的内容是本题的关键．
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16．（9分）计算：（﹣x）﹣3•（2x﹣1）2．
【考点】负整数指数幂．
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【分析】首先计算乘方，然后进行乘法运算，最后化成正指数次幂的形式即可．
【解答】解：原式=﹣x﹣3•4x﹣2
=﹣4x﹣5
=﹣ ．
【点评】本题考查了负指数次幂的计算，负指数次幂的计算与正指数次幂的计算方法相同，同
样可以利用幂的运算性质．
四、解答题（每题12分，共36分）
17．（12分）先化简 ，再在﹣2，0，1，2四个数中选一个合
适的数作为x代入求值．
【考点】分式的化简求值．
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【专题】计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分
得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= • =3x+6﹣x+2=2x+8，
当x=1时，2x+8=10．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（12分）（2014•张家界）国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．
每购买一台，客户每购买一台可获得补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后
可购买的台数比补贴前前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
【考点】分式方程的应用．
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【专题】应用题．
【分析】设该款空调补贴前的售价为每台x元，根据补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，
可建立方程，解出即可．
【解答】解：设该款空调补贴前的售价为每台x元，
由题意，得： ×（1+20%）= ，
解得：x=3000．
经检验得：x=3000是原方程的根．
答：该款空调补贴前的售价为每台3000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
19．（12分）（2015秋•南县期末）如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延
长线上的一点，且BE=BD．
（1）求∠BAD和∠BDE的度数；
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（2）求证：AD=DE．
【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质．
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【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠DAB=30°，∠ABD=60°，根据BE=BD可
得∠BDE=∠BED，根据∵∠BDE+∠BED=∠ABD即可求得∠BDE=30°．
（2）根据等角对等边即可证得结论．
【解答】解：（1）∵等边三角形三线合一，
∴BD为∠ABC的角平分线，
∴∠BAD=30°，∠ABD=60°，
∵BE=BD，
∴∠BDE=∠BED，
∵∠BDE+∠BED=∠ABD，
∴∠BED=∠BDE=30°，
∴∠BAD=∠BDE=30°；
（2）∵∠BAD=∠BDE=30°
∴AD=DE．
【点评】本题考查了等边三角形各边相等的性质，等腰三角形底角相等的性质，本题中求证
∠BAD=∠BDE=30°是解题的关键．
五、解答题（每题13分，共26分）
20．（13分）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号“ ”称为二阶行列式，规定它的运
算法则为： =ad﹣bc．
（1）按照这个规定请你计算 的值；
（2）请你根据上述规定求出等式 =1中x的值．
【考点】解分式方程．
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【专题】新定义．
【分析】（1）原式利用题中的新法则计算即可得到结果；
（2）已知等式利用题中的新法则变形，求出解即可得到x的值．
【解答】解：（1）根据题中新法则得：原式=5×（﹣8）﹣7×6=﹣40﹣42=﹣82；
（2）由题意得：2× ﹣ =1，即 + =1，
去分母得：3=x﹣1，
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解得：x=4，
检验：当x=4时，x﹣1≠0，
∴x=4为原方程的解．
∴x的值为4．
【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新法则是解本题的关键．
21．（13分）（2010•泰安校级模拟）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，
图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试说明：DC⊥BE．
【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
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【专题】证明题．
【分析】①可以找出△BAE≌△CAD，条件是AB=AC，DA=EA，∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE．
②由①可得出∠DCA=∠ABC=45°，则∠BCD=90°，所以DC⊥BE．
【解答】解：（1）∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE，
在△BAE和△DAC中
∴△BAE≌△CAD（SAS）．
（2）由（1）得△BAE≌△CAD．
∴∠DCA=∠B=45°．
∵∠BCA=45°，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°，
∴DC⊥BE．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；充分利用等腰直角三
角形的性质是解答本题的关键．
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