文档内容
2016-2017 学年湖南省邵阳市邵阳县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（30分）
1．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列说法正确的有（ ）
①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则
三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不
是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（
）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．四边相等的四边形是菱形
5．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且
AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（3分）如图所示，在 ▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中一定成立
的是（ ）
第1页（共24页）A．AC⊥BD B．OA=OC C．AC=BD D．AO=OD
7．（3分）如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B
间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直
接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间
的距离为（ ）
A．15m B．25m C．30m D．20m
8．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，若矩形ABCD
的周长为30cm，则AB的长为（ ）
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．7.5 cm
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点
F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
10．（3分）如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC
等于（ ）
第2页（共24页）A．45° B．60° C．70° D．75°
二、填空题（30分）
11．（3分）若多边形的每一个内角均为135°，则这个多边形的边数为 ．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a：b=3：4，c=20，则a= ，b= ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．
∠A=30°，AB=8，则DE的长度是 ．
14．（3分）如图，在 ▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的
度数为 ．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添
加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是 （写出一个
即可）．
16．（3分）如图所示，已知 ▱ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④
AB⊥BC中，能说明 ▱ABCD是矩形的有（填写序号） ．
第3页（共24页）17．（3分）若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm，则它的一组对边的
距离等于 cm，它的面积等于 cm2．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，CM=20cm，那么M
到AB的距离为 ．
19．（3分）如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与
CD相交于点F，则∠AFC= ．
20．（3分）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船
在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距
海里．
三、解答题（共6小题，满分60分）
21．（8分）已知：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线AD、BE交于
F，求∠AFB的度数．
22．（8分）如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，
第4页（共24页）求证：EF= BD．
23．（10分）如图所示， ▱ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是
DE、BF的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．
24．（10分）如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若
∠CAE=15°，求∠BOE的度数．
25．（12分）如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，且BE=CE，AB=2，求：
（1）∠BAD的度数；
（2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长．
26．（12分）如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角
尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），
另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．
第5页（共24页）（1）如图1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
（2）请你证明上述两种猜想？
第6页（共24页）2016-2017 学年湖南省邵阳市邵阳县八年级（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（30分）
1．（3分）（2017•香坊区一模）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形
的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心
旋转180度后与原图重合．
2．（3分）（2017春•邵阳县期中）下列说法正确的有（ ）
①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则
三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不
是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意，一一查看选项，根据勾股定理的逆定理或有一个角为直角的三
角形为直角三角形判断选项是否正确．
第7页（共24页）【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，得∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠A+∠B=∠C，由①知，该三角形是直角三角形，故
②正确；
③42=16，62=36，显然42+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，该三角形不是直角三
角形，故③正确；
④符合直角三角形的判定方法，故④正确；
所以4个结论都正确，故选D．
【点评】本题考查直角三角形的判定方法，此题中涉及到直角三角形的三种判定
方法：
①有一个角是直角的三角形是直角三角形；
②有两个锐角互余的三角形是直角三角形；
③勾股定理的逆定理；
属基础题．
3．（3分）（2016•綦江区校级模拟）如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那
么这个多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解
即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n﹣2）•180°=5×360°，
解得n=12．
故选C．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数
无关，任何多边形的外角和都是360°．
4．（3分）（2016•大庆）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
第8页（共24页）C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．四边相等的四边形是菱形
【分析】直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即
可求得答案．
【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；
C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；
D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确．
故选D．
【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各
特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键．
5．（3分）（2010•南宁）如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC
于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距
离相等的性质解答．
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E．
∵∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD= = =3，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴点D到BC的距离=AD=3．
故选：A．
第9页（共24页）【点评】本题利用勾股定理和角平分线的性质．
6．（3分）（2006•中山）如图所示，在 ▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式
子中一定成立的是（ ）
A．AC⊥BD B．OA=OC C．AC=BD D．AO=OD
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分即可判断．
【解答】解：A、菱形的对角线才相互垂直．故不对．
B、根据平行四边形的对角线互相平分可知此题选B．
C、只有平行四边形为矩形时，其对角线相等，故也不对．
D、只有平行四边形为矩形时，其对角线相等且平分．故也不对．
故选B．
【点评】此题主要考查平行四边形的性质．即平行四边形的对角线互相平分．
7．（3分）（2015•怀柔区二模）如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小
聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先
在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的
长为10m，则A，B间的距离为（ ）
A．15m B．25m C．30m D．20m
第10页（共24页）【分析】利用三角形的中位线定理即可直接求解．
【解答】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴AB=2DE=20m．
故选D．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，理解定理是关键．
8．（3分）（2017春•邵阳县期中）如图所示，在矩形ABCD中，O是BC的中点，
∠AOD=90°，若矩形ABCD的周长为30cm，则AB的长为（ ）
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．7.5 cm
【分析】首先证明△ABO≌△DCO，推出 OA=OB，由∠AOD=90°，推出
∠OAD=∠ODA=45°，由∠BAD=∠CDA=90°，推出∠BAO=∠CDO=45°，推出
∠BAO=∠AOB，∠CDO=∠COD，推出AB=BO=OC=CD，设AB=CD=x，则BC=AD=2x，
由题意x+x+2x+2x=30，解方程即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
在△ABD和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO，
∴OA=OB，
∵∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠ODA=45°，
∵∠BAD=∠CDA=90°，
∴∠BAO=∠CDO=45°，
∴∠BAO=∠AOB，∠CDO=∠COD，
∴AB=BO=OC=CD，
第11页（共24页）设AB=CD=x，则BC=AD=2x，
由题意x+x+2x+2x=30，
∴x=5，
∴AB=5，
故选A．
【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会构建方程解决
问题，属于中考常考题型．
9．（3分）（2017春•邵阳县期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平
分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条
边都相等可得BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平
分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AF=BF，根据等边对等角求出
∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据
全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．
【解答】解：如图，连接BF，
在菱形ABCD中，∠BAC= ∠BAD= ×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，
∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
第12页（共24页）∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，
∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°，
∵在△BCF和△DCF中， ，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF=∠CBF=60°，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的
点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题
的关键．
10．（3分）（2017春•邵阳县期中）如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线
BD于点E，那么∠BEC等于（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
【分析】首先证明△AED≌△CED，即可证明∠ECF=∠DAF=25°，从而求得∠BEC，再
根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵AD=CD，∠ADE=∠CDE，DE=DE
∴△AED≌△CED
∴∠ECF=∠DAF=25°，
又∵在△DEC中，∠CDE=45°，
∴∠CED=180°﹣25°﹣45°=110°，
第13页（共24页）∴∠BEC=180°﹣110°=70°．
故选C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，正确理解，证明△AED≌△CED是解题的
关键．
二、填空题（30分）
11．（3分）（2016•扬州）若多边形的每一个内角均为135°，则这个多边形的边数
为 8 ．
【分析】先求出每一外角的度数是45°，然后用多边形的外角和为360°÷45°进行
计算即可得解．
【解答】解：∵所有内角都是135°，
∴每一个外角的度数是180°﹣135°=45°，
∵多边形的外角和为360°，
∴360°÷45°=8，
即这个多边形是八边形．
故答案为：8．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的
方法之一．
12．（3分）（2017春•邵阳县期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a：b=3：4，c=20，则
a= 1 2 ，b= 1 6 ．
【分析】根据a与b的比值设出a与b，利用勾股定理列出关系式，即可求出a与b
的值．
【解答】解：根据题意得：a=3k，b=4k，k＞0，
∵c=20，
∴根据勾股定理得：9k2+16k2=400，即k2=16，
解得：k=4，
则a=12，b=16．
故答案为：12；16
【点评】此题考查了勾股定理，以及比例的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关
第14页（共24页）键．
13．（3分）（2014•邵阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于
点E．∠A=30°，AB=8，则DE的长度是 2 ．
【分析】根据D为AB的中点可求出AD的长，再根据在直角三角形中，30°角所对
的直角边等于斜边的一半即可求出DE的长度．
【解答】解：∵D为AB的中点，AB=8，
∴AD=4，
∵DE⊥AC于点E，∠A=30°，
∴DE= AD=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于
斜边的一半．
14．（3分）（2016•河南）如图，在 ▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若
∠1=20°，则∠2的度数为 110 ° ．
【分析】首先由在 ▱ABCD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三
角形外角的性质，求得∠2的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠1=20°，
∵BE⊥AB，
第15页（共24页）∴∠ABE=90°，
∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．
故答案为：110°．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形
的对边互相平行．
15．（3分）（2014•三明）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是
AB=AD （写出一个即可）．
【分析】利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱
形．
【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴添加的条件是AB=AD（答案不唯一），
故答案为：AB=AD．
【点评】本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键．
16．（3分）（2010•巴中）如图所示，已知 ▱ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，
③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明 ▱ABCD是矩形的有（填写序号） ①④ ．
【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形没有的特征是：矩形的四
个内角是直角；矩形的对角线相等且互相平分；可根据这些特点来选择条件．
【解答】解：能说明 ▱ABCD是矩形的有：
第16页（共24页）①对角线相等的平行四边形是矩形；
④有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点评】此题主要考查的是矩形的判定方法．
17．（3分）（2017春•邵阳县期中）若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为
20cm，则它的一组对边的距离等于 cm，它的面积等于 2 4 cm2．
【分析】根据菱形的周长即可求菱形的边长，根据对角线的比为3：4，即可求两条
对角线的值，根据菱形的面积即可计算菱形的高，根据对角线的长即可计算菱形
的面积．
【解答】解：设BO=4x，则AO=3x，
菱形周长为20cm，则AB=5cm，
菱形对角线互相垂直平分，
∴（3x）2+（4x）2=52
得x=1，即AO=3cm，BO=4cm，
∴菱形的面积为S= ×6cm×8cm=24cm2，
故AE= = cm，
故答案为 、24．
【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本
题中根据勾股定理求AO、BO的值是解题的关键．
18．（3分）（2017春•邵阳县期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AM是∠CAB的平
分线，CM=20cm，那么M到AB的距离为 20cm ．
第17页（共24页）【分析】过点D作DM⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得
DM=CM．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥AB于D，
∵∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，
∴DM=CM=20cm，
即M到AB的距离为20cm．
故答案为：20cm．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解
题的关键．
19．（3分）（2017春•邵阳县期中）如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长
线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC= 112.5 ° ．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠E=∠CAE，然后根据正方形的对角线平分一
组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出
∠E=22.5°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算
即可得解．
【解答】解：∵CE=AC，
∴∠E=∠CAE，
第18页（共24页）∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=45°，
∴∠E+∠CAE=45°，
∴∠E= ×45°=22.5°，
在△CEF中，∠AFC=∠E+∠ECF=22.5°+90°=112.5°．
故答案为：112.5°．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角
线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和的性质，熟记性质是解题的关键．
20．（3分）（2017春•邵阳县期中）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南
方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个
半小时后两船相距 3 0 海里．
【分析】根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答．
【解答】解：如图，由已知得，OB=16×1.5=24海里，OA=12×1.5=18海里，
在△OAB中
∵∠AOB=90°，
由勾股定理得OB2+OA2=AB2，
即242+182=AB2，
AB= =30（海里）．
故答案为：30．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾
股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理
这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
第19页（共24页）三、解答题（共6小题，满分60分）
21．（8分）（2017春•邵阳县期中）已知：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B
的平分线AD、BE交于F，求∠AFB的度数．
【分析】先根据C=90°，求得∠CAB+∠CBA=90°，再根据AD、BE平分∠CAB、∠CBA，
即可得到∠FAB+∠FBA=45°，最后根据三角形内角和定理即可得到∠AFB=135°．
【解答】解：∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵AD、BE平分∠CAB、∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA=45°，
∴∠AFB=135°．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质以及三角形内角和定理的运用，解题
时注意：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
22．（8分）（2017春•邵阳县期中）如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，
CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF= BD．
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得F是AD中点，再根据三角形的中位线定
理可得EF= BD．
【解答】证明：∵CD=CA，CF平分∠ACB，
∴F是AD中点，
第20页（共24页）∵AE=EB，
∴E是AB中点，
∴EF= BD．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理，以及等腰三角形的性质，关键是掌握
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
23．（10分）（2002•聊城）如图所示， ▱ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，
AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．
【分析】首先根据平行四边形ABCD的性质得到AB和CD平行且相等，结合已知条
件发现DF和BE平行且相等．证明四边形DEBF为平行四边形．得到DE和BF平行
且相等，再结合中点的概念，所以四边形MENF为平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C．
又∵AE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴∠AED=∠CFB，DE=BF．
由四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB．
∴∠CFB=∠ABF．
∴∠AED=∠ABF．
∴ME∥FN．
又∵M、N分别是DE、BF的中点，且DE=BF，
∴ME=FN．
∴四边形ENFM是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是
解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法
第21页（共24页）都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
24．（10分）（2016春•西宁期末）如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分
∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数．
【分析】先根据AE平分∠BAD交BC于E可得∠AEB=45°，再根据三角形的外角性
质求出∠ACB=30°，然后判断出△AOB是等边三角形，从而可以得出△BOE是等腰
三角形，然后根据三角形的内角和是180°进行求解即可．
【解答】解：∵AE平分∠BAD交BC于E，
∴∠AEB=45°，AB=BE，
∵∠CAE=15°，
∴∠ACB=∠AEB﹣∠CAE=45°﹣15°=30°，
∴∠BAO=60°，
又∵OA=OB，
∴△BOA是等边三角形，
∴OA=OB=AB，
即OB=AB=BE，
∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE=∠OCB=30°，
∴∠BOE= （180°﹣30°）=75°．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定及性质，求出∠ACB=30°，然后
判断出等边三角是解本题的关键．
25．（12分）（2017春•邵阳县期中）如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，
且BE=CE，AB=2，求：
（1）∠BAD的度数；
（2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长．
第22页（共24页）【分析】（1）由在菱形ABCD在，AE⊥BC，BE=CE，易证得△ABC是等边三角形，继
而求得∠BAD的度数；
（2）由（1），可求得AC的长，由菱形的性质可知其四边相等，进而可求出其周长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=2∠BAC=120°；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=2，
∵AB=BC=CD=AD=2，
∴菱形ABCD的周长=2×4=8．
【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性
质，此题难度不大，熟记菱形的各种性质是解题关键．
26．（12分）（2017春•邵阳县期中）如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延
长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点E在AB边上滑动
（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．
（1）如图1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 DE=E F ；
第23页（共24页）②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 NE=B F ；
（2）请你证明上述两种猜想？
【分析】可利用两角夹一边求解△DNE≌△EBF（ASA），进而可得出线段相等．
【解答】解：（1）DE=EF；
（2）NE=BF；
证明：∵四边形ABCD是正方形N，E分别为AD，AB的中点
∴DN=EB，AN=AE
∵BF平分∠CBM
∴∠EBF=90°+45°=135°
又∵AN=AE，∠A=90°
∴∠DNE=180°﹣45°=135°
∴∠EBF=∠DNE
又∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°
∴∠NDE=∠BEF，
在△DNE和△EBF中
，
∴△DNE≌△EBF（ASA）
∴DE=EF，NE=BF．
故答案为：（1）①DE=EF；②NE=BF．
【点评】此题考查正方形的性质问题，能够利用正方形的性质求解一些三角形的
全等问题的解题关键．
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