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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
2015-2016学年湖南省常德市澧县八年级（上）期中数学试卷
一、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2012•杭州）化简 得 ；当m=﹣1时，原式的值为
．
2．（3分）（2015秋•澧县期中）分式 与 的最简公分母是 ．
3．（3分）（2015秋•澧县期中）在△ABC中，若∠A=80°，∠B=∠C，则∠C= 度．
4．（3分）（2015秋•澧县期中）已知方程 =3的解为x=1，那么m的值为 ．
5．（3分）（2015秋•澧县期中）下列四个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③两点之间的线
段最短；④若OA=OB，则点O是AB的中点，其中真命题有 个．
6．（3分）（2014•淮安）如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为
．
7．（3分）（2012秋•安龙县期末）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中
点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB= ．
8．（3分）（2010春•安阳县校级期末）三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少
要钉上 根木条．
二、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，把正确答案题号填入下表）
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9．（3分）（2015•温州一模）已知分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．2B．﹣2 C．3D．﹣3
10．（3分）（2015秋•澧县期中）计算﹣ ÷（﹣ ）的结果是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
11．（3分）（2015秋•澧县期中）等式（x+4）0=1成立的条件是（ ）
A．x为有理数 B．x≠0 C．x≠4 D．x≠﹣4
12．（3分）（2010•潍坊）将5.62×10﹣8用小数表示（ ）
A．0.00000000562 B．0.0000000562
C．0.000000562 D．0.000000000562
13．（3分）（2013•沈阳）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
14．（3分）（2015•杭州模拟）分式方程 = +2的解为（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=﹣12
15．（3分）（2014秋•开县期末）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下
列各式中错误的是（ ）
A．AB=2BF B．∠ACE= ∠ACB C．AE=BE D．CD⊥BE
16．（3分）（2015秋•澧县期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．亮亮同学是初三（甲）班的学生
B．2是质数
C．不知道亮亮今天数学作业做完了没有
D．如果a＞b，a＞c，那么b＞c
三、解答题（本题共7个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2015秋•澧县期中）化简 ÷ ．
18．（6分）（2015秋•澧县期中）已知am•an=a4，am÷an=a2，则m= ，n=
．
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19．（7分）（2015秋•澧县期中）若 ﹣ =0，则A表示的式子是什么？
20．（7分）（2015秋•澧县期中）已知两线段b，c（b＜c）及∠α，求作△ABC，使得AB=c，
∠BAC=∠α，∠BAC的平分线AD=b．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
21．（9分）（2011•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，
∠DAB=45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DC=AB．
22．（8分）（2015•绿园区一模）为了减少雾霾，美化环境，小王上班的交通方式由驾车改为骑
自行车，小王家距单位的路程是15千米，在相同的路线上，小王驾车的速度是骑自行车速度
的4倍，小王每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小
王骑自行车的速度．
23．（9分）（2012•柳州模拟）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，
点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠BCD的度数．
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2015-2016 学年湖南省常德市澧县八年级（上）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2012•杭州）化简 得 ；当m=﹣1时，原式的值为 1 ．
【考点】约分；分式的值．
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【专题】计算题．
【分析】先把分式的分子和分母分解因式得出 ，约分后得出 ，把m=﹣
1代入上式即可求出答案．
【解答】解： ，
= ，
= ，
当m=﹣1时，原式= =1，
故答案为： ，1．
【点评】本题主要考查了分式的约分，关键是找出分式的分子和分母的公因式，题目比较典型，
难度适中．
2．（3分）（2015秋•澧县期中）分式 与 的最简公分母是 6 y 2 ．
【考点】最简公分母．
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【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式 与 的分母分别是3y、2y2，故最简公分母是6y2；
故答案为6y2．
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【点评】本题考查了简公分母的定义以及求法，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式
的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①字母的最高次幂，所
有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母
数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次
幂．
3．（3分）（2015秋•澧县期中）在△ABC中，若∠A=80°，∠B=∠C，则∠C= 5 0 度．
【考点】三角形内角和定理．
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【分析】由三角形内角和定理可知．
【解答】解：∵∠A=80°，∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴80°+2∠C=180°，
∴∠C=50°．
【点评】本题利用了三角形内角和定理求解．三角形的内角和是180°．
4．（3分）（2015秋•澧县期中）已知方程 =3的解为x=1，那么m的值为 3 ．
【考点】分式方程的解．
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【分析】把x=1代入方程 =3得出关于m的方程，解方程求得m的数值即可．
【解答】解：把x=1代入方程 =3得
=3
解得：m=3．
故答案为：3．
【点评】此题考查分式方程的解，把解代入原方程，得出关于m的一元一次方程是解决问题的
关键．
5．（3分）（2015秋•澧县期中）下列四个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③两点之间的线
段最短；④若OA=OB，则点O是AB的中点，其中真命题有 2 个．
【考点】命题与定理．
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【分析】根据对顶角的性质对①进行判断；根据平行线的性质对②进行判断；根据线段公理对
③进行判断；根据线段的中点定义对④进行判断．
【解答】解：对顶角相等，所以①正确；
两直线平行，同位角相等，所以②错误；
两点之间的线段最短，所以③正确；
当点O在线段AB上，若OA=OB，则点O是AB的中点，所以④错误．
故答案为2．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结
论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如
果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
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6．（3分）（2014•淮安）如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为
130° ．
【考点】全等三角形的性质．
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【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠A，再根据四边形的内角和定理列式计算即可
得解．
【解答】解：∵△ABD≌△CBD，
∴∠C=∠A=80°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．
故答案为：130°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，四边形的内角和定理，根据对应顶点的字母写在对应
位置上确定出∠C=∠A是解题的关键．
7．（3分）（2012秋•安龙县期末）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中
点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB= 2 0 米 ．
【考点】全等三角形的应用．
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【分析】根据题目中的条件可证明△ACB≌△DCE，再根据全等三角形的性质可得AB=DE，进
而得到答案．
【解答】解：∵点C是AD的中点，也是BE的中点，
∴AC=DC，BC=EC，
∵在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴DE=AB=20米，
故答案为：20米．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键掌握全等三角形的判定定理和性质定理．
8．（3分）（2010春•安阳县校级期末）三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少
要钉上 3 根木条．
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【考点】三角形的稳定性．
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【分析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一
个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
【解答】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6﹣3=3条对角线，所以至少要钉上3根木条．
故答案为：3．
【点评】规律：过n边形的一个顶点作对角线，可以做（n﹣3）条．
二、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，把正确答案题号填入下表）
9．（3分）（2015•温州一模）已知分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．2B．﹣2 C．3D．﹣3
【考点】分式的值为零的条件．
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【分析】根据分式的分子为零，分母不为零，分式的值为零，可得答案．
【解答】解：由分式 的值为0，得
，解得x=2，
故选：A．
【点评】本题考查了分式值为零的条件，分式的分子为零，分母不为零，分式的值为零，注意不
要遗漏分母不为零．
10．（3分）（2015秋•澧县期中）计算﹣ ÷（﹣ ）的结果是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【考点】分式的乘除法．
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【专题】计算题．
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式= • = ，
故选D
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（3分）（2015秋•澧县期中）等式（x+4）0=1成立的条件是（ ）
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A．x为有理数 B．x≠0 C．x≠4 D．x≠﹣4
【考点】零指数幂．
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【专题】计算题．
【分析】根据零指数幂的意义进行计算．
【解答】解：∵（x+4）0=1成立，
∴x+4≠0，
∴x≠﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了零指数幂的意义，即任何非0实数的0次幂等于1．
12．（3分）（2010•潍坊）将5.62×10﹣8用小数表示（ ）
A．0.00000000562 B．0.0000000562
C．0.000000562 D．0.000000000562
【考点】科学记数法—原数．
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【分析】科学记数法的标准形式为a×10（n 1≤|a|＜10，n为整数），本题把数据5.62×10﹣8中5.62
的小数点向左移动8位就可以得到．
【解答】解：把数据5.62×10﹣8中5.62的小数点向左移动8位就可以得到0.000 000 056 2．
故选B．
【点评】本题考查写出用科学记数法表示的原数．
将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位
所得到的数．
把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为
检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
13．（3分）（2013•沈阳）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式的加减法．
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【专题】计算题．
【分析】先通分，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．
【解答】解：原式= ﹣
=
= ．
故选B．
【点评】本题考查的是分式的加减法，异分母分式加减把分母不相同的几个分式化成分母相
同的分式，再把分子相加减即可．
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14．（3分）（2015•杭州模拟）分式方程 = +2的解为（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=﹣12
【考点】解分式方程．
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【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
【解答】解：去分母得：2=3+12x，
解得：x=﹣ ，
经检验x=﹣ 是分式方程的解．
故选B
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
15．（3分）（2014秋•开县期末）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下
列各式中错误的是（ ）
A．AB=2BF B．∠ACE= ∠ACB C．AE=BE D．CD⊥BE
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
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【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的
线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE= ∠ACB，AB=2BF，无法确定AE=BE．
故选C．
【点评】考查了三角形的角平分线、中线和高，根据是熟悉它们的定义和性质．
16．（3分）（2015秋•澧县期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．亮亮同学是初三（甲）班的学生
B．2是质数
C．不知道亮亮今天数学作业做完了没有
D．如果a＞b，a＞c，那么b＞c
【考点】命题与定理．
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【分析】根据命题的概念作答．
【解答】解：A、B、D选项都对事情进行了判断，是命题，C选项是一个反问句，没有对事情进
行判断，故不是命题，
故选C．
【点评】主要考查了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题．
三、解答题（本题共7个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2015秋•澧县期中）化简 ÷ ．
【考点】分式的乘除法．
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【专题】计算题．
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式= • =﹣ ．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）（2015秋•澧县期中）已知am•an=a4，am÷an=a2，则m= 3 ，n= 1 ．
【考点】整式的除法．
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【分析】由同底数幂的乘除法内容可得：am•an=am+n=a4，即：m+n=4①，am÷an=am﹣n=a2，即：m﹣
n=2②，①②联立可求出m、n值．
【解答】解：由题意，得 ，
解得 ．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，对公式进行变形整理，形成关于m、n
的等式是解题的关键．
19．（7分）（2015秋•澧县期中）若 ﹣ =0，则A表示的式子是什么？
【考点】分式的加减法．
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【专题】计算题．
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，根据结果为0确定出A即可．
【解答】解：已知等式整理得： =0，
即x﹣1﹣Ax﹣A=0，
则A= ．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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20．（7分）（2015秋•澧县期中）已知两线段b，c（b＜c）及∠α，求作△ABC，使得AB=c，
∠BAC=∠α，∠BAC的平分线AD=b．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
【考点】作图—复杂作图．
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【专题】计算题．
【分析】先作∠MAN=α，再作∠MAN的角平分线，且在角平分线上截取AD=b，然后在AN上
截取AB=c，再连结BD并延长交AM于C，则△ABC满足条件．
【解答】解：如图，△ABC为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是
结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21．（9分）（2011•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，
∠DAB=45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DC=AB．
【考点】等腰三角形的性质．
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【专题】计算题．
【分析】（1）由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内
角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°；
（2）根据三角形外角性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根据等
腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论．
【解答】（1）解：∵AB=AC，
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∴∠B=∠C=30°，
∵∠C+∠BAC+∠B=180°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；
（2）证明：∵∠DAB=45°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴DC=AC，
∴DC=AB．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等
的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．
22．（8分）（2015•绿园区一模）为了减少雾霾，美化环境，小王上班的交通方式由驾车改为骑
自行车，小王家距单位的路程是15千米，在相同的路线上，小王驾车的速度是骑自行车速度
的4倍，小王每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小
王骑自行车的速度．
【考点】分式方程的应用．
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【分析】设骑自行车的速度为x千米/时，则驾车的速度为4x千米/时．依据“小王每天骑自行
车上班比驾车上班要早出发45分钟”列出方程并解答．
【解答】解：设骑自行车的速度为x千米/时，则驾车的速度为4x千米/时．
根据题意，得 = ．
解得x=15．
经检验，x=15是原方程的解，且符合题意．
答：骑自行车的速度为15千米/时．
【点评】本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关
系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一
个则用来设未知数．
23．（9分）（2012•柳州模拟）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，
点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠BCD的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
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【专题】计算题．
【分析】（1）由∠ABC为直角，得到∠CBD也为直角，得到一对角相等，再由AB=CB，
BE=BD，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形CBD全等，得证；
（2）由AB=BC，且∠ABC为直角，得到三角形ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角
形的性质得到∠BAC为45°，由∠CAB﹣∠CAE求出∠BAE的度数，根据全等三角形的对应
角相等得到∠BAE=∠BCD，即可求出∠BCD的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE=∠CBD=90°，…（1分）
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；…（2分）
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，…（3分）
又∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=15°．…（4分）
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=15°．…（5分）
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握
判定与性质是解本题的关键．
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