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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
2015-2016学年湖南省湘潭市湘潭县八年级（上）期末数学试卷
一．选择题：（每小题4分，满分40分，请将正确答案的序号填写在选择题的答题栏内）
1．在下列各数中，无理数是( )
A．0B． C． D．7
2．若x＞y，则下列不等式成立的是( )
A．x﹣3＜y﹣3 B．x+5＞y+5 C． ＜ D．﹣2x＞﹣2y
3．若等腰三角形底角为72°，则顶角为( )
A．108° B．72° C．54° D．36°
4．当x=2015时，分式 的值是( )
A． B． C． D．
5．已知△ABC中，2（∠B+∠C）=3∠A，则∠A的度数是( )
A．54° B．72° C．108° D．144°
6．把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是( )
A． B． C． D．
7．不等式组 的最小整数解是( )
A．0B．﹣1 C．1D．2
8．如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形有( )
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A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．已知关于x的方程 的解为x=1，则a等于( )
A．0.5 B．2C．﹣2 D．﹣0.5
10．若a=1+ ，b=1﹣ ，则代数式 的值为( )
A．3B．±3 C．5D．9
二．填空题：（每小题3分，满分24分，请将答案填写在填空题的答题栏内）
11．化简： ﹣ =__________．
12．计算：5÷ × 所得的结果是__________．
13．金园小区有一块长为18m，宽为8m的长方形草坪，计划在草坪面积不变的情况下，把它
改造成正方形，则这个正方形的边长是__________m．
14．已知不等式2x+★＞2的解集是x＞﹣4，则“★”表示的数是__________．
15．一个工程队计划用6天完成300土方的工程，实际上第一天就完成了60方土，因进度需
要，剩下的工程所用的时间不能超过3天，那么以后几天平均至少要完成的土方数是
__________．
16．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD=__________°．
17．如图，在△ADC中，AD=BD=BC，∠C=30°，则∠ADB=__________．
18．A、B两地相距60km，甲骑自行车从A地到B地，出发1h后，乙骑摩托车从A地到B地，
且乙比甲早到3h，已知甲、乙的速度之比为1：3，则甲的速度是__________．
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三．解答题：（请写出主要的推导过程）
19．解不等式组 并将其解集在数轴上表示出来．
20．已知x= +1，y= ﹣1，求 的值．
21．已知：2x+y+7的立方根是3，16的算术平方根是2x﹣y，求：
（1）x、y的值；
（2）x2+y2的平方根．
22．若不等式组 的解集为﹣2＜x＜3，求a+b的值．
23．如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE与
∠AEC的度数．
24．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超
过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台．
（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？
（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？
25．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
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2015-2016 学年湖南省湘潭市湘潭县八年级（上）期末数
学试卷
一．选择题：（每小题4分，满分40分，请将正确答案的序号填写在选择题的答题栏内）
1．在下列各数中，无理数是( )
A．0B． C． D．7
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有
理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理
数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、0是整数，是有理数，选项错误；
B、 是分数，是有理数，选项错误；
C、 是无理数，选项错误；
D、7是整数，是有理数，选项错误．
故选C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不
尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．若x＞y，则下列不等式成立的是( )
A．x﹣3＜y﹣3 B．x+5＞y+5 C． ＜ D．﹣2x＞﹣2y
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或
除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改
变．
【解答】解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都加5，不等号的方向不变，故B正确；
C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C错误；
D、不等式的两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故D错误；
故选：B．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，
应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）
同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向
不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．若等腰三角形底角为72°，则顶角为( )
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A．108° B．72° C．54° D．36°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以计算其顶角的度数．
【解答】解：∵等腰三角形底角为72°
∴顶角=180°﹣（72°×2）=36°
故选D．
【点评】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质来计算．
4．当x=2015时，分式 的值是( )
A． B． C． D．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= = ，
当x=2015时，原式= ．
故选C
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．已知△ABC中，2（∠B+∠C）=3∠A，则∠A的度数是( )
A．54° B．72° C．108° D．144°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理和已知条件得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵2（∠B+∠C）=3∠A，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2（180°﹣∠A）=3∠A，
解得：∠A=72°．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
6．把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是( )
A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
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【分析】本题根据数轴可知x的取值为：﹣1≤x＜4，将不等式变形，即可得出关于x的不等式
组．把各个选项的解的集合写出，进行比较就可以得到．
【解答】解：依题意得这个不等式组的解集是：﹣1≤x＜4．
A、 无解，故A错误；
B、 解集是：﹣1≤x＜4，故B正确；
C、 解集是：x＞4，故C错误；
D、解集是：﹣1＜x≤4，故D错误；
故选：B．
【点评】考查不等式组解集的表示方法．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右、＜
向左．
7．不等式组 的最小整数解是( )
A．0B．﹣1 C．1D．2
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】计算题；一元一次不等式(组)及应用．
【分析】求出不等式组的解集，确定出最小的整数解即可．
【解答】解：不等式组整理得： ，
解得：﹣ ＜x≤4，
则不等式组的最小整数解是0，
故选A．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大
取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
8．如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【考点】全等三角形的判定．
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【分析】根据平行的性质及全等三角形的判定方法来确定图中存在的全等三角形共有三对：
△ABC≌△DCB，△ABE≌△CDE，△BFE≌△CFE．再分别进行证明．
【解答】解：∵AB∥EF∥DC，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
∵ ，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；
在△ABE和△CDE中，
∵ ，
∴△ABE≌△CDE（AAS）；
在△BFE和△CFE中，
∵ ，
∴△BFE≌△CFE．
∴图中的全等三角形共有3对．
故选C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的
参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．已知关于x的方程 的解为x=1，则a等于( )
A．0.5 B．2C．﹣2 D．﹣0.5
【考点】分式方程的解．
【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为
含a的新方程，解此新方程可以求得a的值．
【解答】解：把x=1代入方程 得：
= ，
解得：a=﹣0.5；
经检验a=﹣0.5是原方程的解；
故选D．
【点评】此题考查了分式方程的解，关键是要掌握方程的解的定义，由已知解代入原方程得到
新方程，然后再解答．
10．若a=1+ ，b=1﹣ ，则代数式 的值为( )
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A．3B．±3 C．5D．9
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】首先把所求的式子化成 的形式，然后代入数值计算即可．
【解答】解：原式= = = =3．
故选A．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键．
二．填空题：（每小题3分，满分24分，请将答案填写在填空题的答题栏内）
11．化简： ﹣ = ．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】直接根据分式的加减法则进行计算即可．
【解答】解：原式=
= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．
12．计算：5÷ × 所得的结果是1．
【考点】二次根式的乘除法．
【分析】由于二次根式的乘除运算是同级运算，从左到右依次计算即可．
【解答】解：原式= × =1．
【点评】此题考查的是二次根式的乘除法运算；由于后两项互为倒数，有些同学往往先将它们
约分，从而得出结果为5的错误结论，需注意的是同级运算要从左到右依次计算．
13．金园小区有一块长为18m，宽为8m的长方形草坪，计划在草坪面积不变的情况下，把它
改造成正方形，则这个正方形的边长是12m．
【考点】算术平方根．
【专题】计算题；实数．
【分析】设这个正方形的边长是xm，根据题意列出方程，利用平方根定义开方即可得到结果．
【解答】解：设这个正方形的边长是xm，
根据题意得：x2=18×8=144，
开方得：x=12（负值舍去），
则这个正方形的边长是12m，
故答案为：12
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
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14．已知不等式2x+★＞2的解集是x＞﹣4，则“★”表示的数是10．
【考点】不等式的解集．
【分析】设“★”表示的数a，则不等式是2x+a＞2，解不等式利用a表示出不等式的解集，则
可以得到一个关于a的方程，求得a的值．
【解答】解：设“★”表示的数a，则不等式是2x+a＞2，
移项，得2x＞2﹣a，
则x＞ ．
根据题意得： =﹣4，
解得：a=10．
故答案是：10．
【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，解答此题的关键是掌握不等式的性质，在
不等式两边同加或同减一个数或式子，不等号的方向不变，在不等式两边同乘或同除一个正
数或式子，不等号的方向不变在不等式两边同乘或同除一个负数或式子，不等号的方向改变．
15．一个工程队计划用6天完成300土方的工程，实际上第一天就完成了60方土，因进度需
要，剩下的工程所用的时间不能超过3天，那么以后几天平均至少要完成的土方数是80．
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】假设以后几天平均每天完成x土方，一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，
第一天完成了60土方，那么该土方工程还剩300﹣60=240土方，利用剩下的工程所用的时间
不能超过3天，则列不等式方程 ≤3，解得x即可知以后平均每天至少完成多少土方．
【解答】解：设以后几天平均每天完成x土方．
由题意得：3x≥300﹣60
解得：x≥80
答：以后几天平均至少要完成的土方数是80土方．
故答案为：80．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解本类工程问题，主要是找准正确的工程不
等式（如本题 ≤3以天数做为基准列不等式）．
16．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD=80°．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACD=∠A+∠B=30°+50°=80°．
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故答案为：80．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质是解题的
关键．
17．如图，在△ADC中，AD=BD=BC，∠C=30°，则∠ADB=60°．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】首先利用等腰三角形的性质得到∠C=∠BDC，利用三角形的外角的性质得到∠A和
∠ABD的度数，从而确定∠ADB的度数．
【解答】解：∵BD=BC，∠C=30°，
∴∠C=∠BDC=30°，
∴∠ABD=∠C+∠BDC=60°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA=60°，
∴∠ADB=180°﹣∠A﹣∠DBA=60°，
答案为：60°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解答过程中两次运用“等边对等角”，难度不大．
18．A、B两地相距60km，甲骑自行车从A地到B地，出发1h后，乙骑摩托车从A地到B地，
且乙比甲早到3h，已知甲、乙的速度之比为1：3，则甲的速度是10km/h．
【考点】分式方程的应用．
【分析】本题的等量关系是路程=速度×时间，根据“甲骑自行车从A地出发到B地，出发1h
后，乙骑摩托车从A地到B地，且乙比甲早到3h”可知：甲比乙多用了4小时，可根据此条件
列出方程求解．
【解答】解：设甲的速度为xkm/h，则乙的速度为3xkm/h，
依题意，有 +4，
解这个方程，得x=10，
经检验，x=10是原方程的解，
当x=10时，3x=30．
答：甲的速度为10km/h，乙的速度为30km/h．
故答案为：10km/h
【点评】此题考查分式方程的应用问题，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重
点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．
三．解答题：（请写出主要的推导过程）
19．解不等式组 并将其解集在数轴上表示出来．
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【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：不等式组 ，
解①得：x≥﹣3，
解②得：x＜4，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜4．
【点评】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；
＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数
与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时
“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
20．已知x= +1，y= ﹣1，求 的值．
【考点】分式的化简求值；二次根式的化简求值．
【分析】由条件可得x+y，x﹣y，xy的值，再把以上数值代入化简的结果即可．
【解答】解：由题意得：x+y=2 ，x﹣y=2，xy=1，
原式=
=
=
=4 ．
【点评】本题考查了含有二次根式的分式化简求值，在其求值过程要注意：先把分式化简后，
再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的
化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
21．已知：2x+y+7的立方根是3，16的算术平方根是2x﹣y，求：
（1）x、y的值；
（2）x2+y2的平方根．
【考点】立方根；平方根；算术平方根 ．
【专题】计算题；实数．
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【分析】（1）利用立方根，算术平方根的定义求出x与y的值即可；
（2）把x与y的值代入原式，求出平方根即可．
【解答】解：（1）依题意 ，
解得： ；
（2）x2+y2=36+64=100，100的平方根是±10．
【点评】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
22．若不等式组 的解集为﹣2＜x＜3，求a+b的值．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】首先解不等式组，利用a和b表示出不等式组的解集，然后得到关于a和b的方程组，
从而解答a、b的值，代入求解．
【解答】解：由 得
∴
解得
∴a+b=﹣1．
【点评】本题考查了不等式组的解法以及二元一次方程组的解法，正确利用a和b表示出不等
式组的解集是关键．
23．如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE与
∠AEC的度数．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
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【分析】由∠B=75°，∠C=45°，利用三角形内角和求出∠BAC．又AE平分∠BAC，求出
∠BAE、∠CAE．再利用AD是BC上的高在△ABD中求出∠BAD，此时就可以求出∠DAE．
最后利用三角形的外角和内角的关系可以求出∠AEC．
【解答】解：方法1：
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=75°，∠C=45°，
∴∠BAC=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC= ×60°=30°，
∵AD是BC上的高，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣75°=15°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=30°﹣15°=15°，
在△AEC中，∠AEC=180°﹣∠C﹣∠CAE=180°﹣45°﹣30°=105°；
方法2：同方法1，得出∠BAC=60°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC= ∠BAC= ×60°=30°．
∵AD是BC上的高，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠CAD=90°﹣45°=45°，
∴∠DAE=∠CAD﹣∠CAE=45°﹣30°=15°．
∵∠AEC+∠C+∠EAC=180°，
∴∠AEC+30°+45°=180°，
∴∠AEC=105°．
答：∠DAE=15°，∠AEC=105°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角，外角以及和它们相关的一些结论，图形比较复杂，对
于学生的视图能力要求比较高．
24．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超
过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台．
（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？
（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器（50﹣x）台，根据两种显示器
的总价不超过77000元建立不等式，求出其解即可；
（2）由甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数可以建立不等式x≤50﹣x与（1）的结论构
成不等式组，求出其解即可．
【解答】解：（1）设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器（50﹣x）台，由题意，得
1000x+2000（50﹣x）≤77000
解得：x≥23．
∴该公司至少购进甲型显示器23台．
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（2）依题意可列不等式：
x≤50﹣x，
解得：x≤25．
∴23≤x≤25．
∵x为整数，
∴x=23，24，25．
∴购买方案有：
①甲型显示器23台，乙型显示器27台；
②甲型显示器24台，乙型显示器26台；
③甲型显示器25台，乙型显示器25台．
【点评】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，方
案设计的运用，解答时根据条件的不相等关系建立不等式是关键．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形 ．
【分析】（1）求出EC=DB，∠B=∠C，根据SAS推出△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得
出DE=EF即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠B=∠C=70°，根据全等得出∠BDE=∠FEC，求出
∠DEB+∠FEC=110°，即可得出答案；
（3）根据等腰直角三角形得出∠DEF=90°，求出∠B=90°，∠C=90°，根据三角形内角和定理即
可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD+EC=AB=AD+DB，
∴EC=DB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BED和△CFE中
∴△BED≌△CFE，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
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（2）解：∵∠A=40°，
∴∠B=∠C=70°，
∵由（1）知△BED≌△CFE，
∴∠BDE=∠FEC，
∴∠DEB+∠FEC=∠DEB+∠BDE=180°﹣∠B=110°，
∴∠DEF=180°﹣（∠DEB+∠FEC）=70°；
（3）解：∵若△DEF是等腰直角三角形，则∠DEF=90°，
∴∠DEB+∠BDE=90°，
∴∠B=90°，因而∠C=90°，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，
能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
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