文档内容
2016-2017 学年湖南省常德市澧县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（ ）
A．4B． C．4或 D．2
2．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC=BC
3．（3分）下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）不能使两个直角三角形全等的条件（ ）
A．一条直角边及其对角对应相等
B．斜边和一条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等
D．两个锐角对应相等
5．（3分）菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（ ）
A．6cm2B．12cm2 C．24cm2 D．48cm2
6．（3分）经过两点A（2，3）、B（﹣4，3）作直线AB，则直线AB（ ）
A．平行于x轴 B．平行于y轴 C．.经过原点 D．无法确定
7．（3分）点P在第二象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，那么点P的
坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
8．（3分）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，将斜边
AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（
第1页（共20页））
A．1cmB．1.5cm C．2cmD．3cm
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=16，则BC的长是 ．
10．（3分）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8．若
S =28，则DE= ．
△ABC
11．（3分）六边形的内角和是 °．
12．（3分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则AC的长为
．
13．（3分）已知三角形ABC三条中位线的长分别为2，3，4，则此三角形ABC的周
长为 ．
14．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点
E，DF=BE，则∠1= ．
第2页（共20页）15．（3分）已知点P（2﹣m，m）在第四象限，则m的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，BC=1，点P ，M 分别是AB，AC边的中点，点P ，M
1 1 2 2
分别是AP ，AM 的中点，点P ，M 分别是AP ，AM 的中点，按这样的规律下去，
1 1 3 3 2 2
P M 的长为 （n为正整数）．
n n
三、解答题（本题共7小题，共52分，解答时应写出文字说明、证明过程或颜色步
骤）
17．（6分）已知：点P是 ▱ABCD的对角线AC的中点，经过点P的直线EF交AB于
点E，交DC于点F．求证：AE=CF．
18．（6分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，已
知AC=8cm，BD=6cm，求OE的长．
19．（7分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作
DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
第3页（共20页）（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
20．（8分）如图，在 ▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．
21．（8分）平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，若CE=2，
DF=1，∠EBF=60°，求平行四边形ABCD的面积．
22．（8分）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北
偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，
此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A
与办公楼B之间的距离（结果精确到0.1米）．（供选用的数据： ≈1.414，
≈1.732）
23．（9分）如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分
第4页（共20页）∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD=AC．
第5页（共20页）2016-2017 学年湖南省常德市澧县八年级（下）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2016春•柳江县期末）一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（
）
A．4B． C．4或 D．2
【分析】因为在本题中，不知道谁是斜边，谁是直角边，所以此题要分情况讨论．
【解答】解：①当5是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是4；
②当5是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是 = ．
故选C．
【点评】注意此类题一点要分情况进行讨论，熟练运用勾股定理进行求解．
2．（3分）（2016•海南模拟）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（
）
A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC=BC
【分析】根据平行四边形对边相等，对角相等，对边平行，可得AB∥CD，进而得到
∠1=∠2，因此A、B、C正确．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠2，故A正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
第6页（共20页）∴∠BAD=∠BCD，故B正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，故C正确；
D、AC=BC错误，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等且
平行，对角相等．
3．（3分）（2015•葫芦岛）下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
B、不是中心对称图形，故选项错误；
C、是中心对称图形，故选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误．
故选C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，
旋转180度后两部分重合．
4．（3分）（2017春•澧县期中）不能使两个直角三角形全等的条件（ ）
A．一条直角边及其对角对应相等
B．斜边和一条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等
D．两个锐角对应相等
【分析】根据各选项提供的已知条件，结合直角三角形全等的判定方法，对选项逐
一验证，选项D只有两个锐角对应相等是不符合直角三角形判定方法的，所以不
能判定三角形全等．
第7页（共20页）【解答】解：A、符合AAS，正确；
B、符合HL，正确；
C、符合ASA，正确；
D、因为判定三角形全等必须有边的参与，错误．
故选D．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定方法的掌握情况．判断全等时必须要有
边对应相等的关系．
5．（3分）（2011秋•仪征市校级期末）菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则
它的面积是（ ）
A．6cm2B．12cm2 C．24cm2 D．48cm2
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【解答】解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据S= ab= ×6cm×8cm=24cm2．
故选C．
【点评】本题考查了根据对角线计算菱形的面积的方法，本题中根据菱形对角线
求得菱形的面积是解题的关键．
6．（3分）（2017春•繁昌县期中）经过两点A（2，3）、B（﹣4，3）作直线AB，则直线
AB（ ）
A．平行于x轴 B．平行于y轴 C．.经过原点 D．无法确定
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等解答．
【解答】解：∵A（2，3）、B（﹣4，3）的纵坐标都是3，
∴直线AB平行于x轴．
故选A．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等
是解题的关键．
7．（3分）（2017春•澧县期中）点P在第二象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的
第8页（共20页）距离是3，那么点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
【分析】应先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断具体
坐标．
【解答】解：第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0；
到x轴的距离是2，说明点的纵坐标为2，到y轴的距离为3，说明点的横坐标为﹣
3，
因而点P的坐标是（﹣3，2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号特点以及
点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值等
知识点．
8．（3分）（2006•遵义）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4cm，
BC=3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为
AD，则CE的长为（ ）
A．1cmB．1.5cm C．2cmD．3cm
【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB，已知AC
的长，可将CE的长求出．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB= = =5
根据折叠的性质可知：AE=AB=5
∵AC=4
第9页（共20页）∴CE=AE﹣AC=1
即CE的长为1
故选A．
【点评】将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2017春•澧县期中）在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=16，则BC的长
是 8 ．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC= AB．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC= AB= ×16=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记
性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
10．（3分）（2013•青神县一模）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
AB=6，BC=8．若S =28，则DE= 4 ．
△ABC
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后根据三角
形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
第10页（共20页）∵AB=6，BC=8，
∴S = AB•DE+ BC•DF= ×6DE+ ×8DE=28，
△ABC
即3DE+4DE=28，
解得DE=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面
积，是基础题，熟记性质是解题的关键．
11．（3分）（2016•东台市模拟）六边形的内角和是 72 0 °．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式计算即可得解．
【解答】解：（6﹣2）•180°=720°．
故答案为：720．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，熟记内角和公式是解题的关键．
12．（3 分）（2017 春•澧县期中）如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，
∠AOB=60°，AB=4，则AC的长为 8 ．
【分析】根据等边三角形的性质首先证明△AOB是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OD=OB，
∴OA=OB，∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=2OA=8，
故答案为8．
【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现
△AOB是等边三角形，属于基础题，中考常考题型．
第11页（共20页）13．（3分）（2017春•澧县期中）已知三角形ABC三条中位线的长分别为2，3，4，
则此三角形ABC的周长为 1 8 ．
【分析】根据三角形中位线定理进行计算即可．
【解答】解：由三角形中位线定理得，三角形ABC三条边长分别为4，6，8，
∴此三角形ABC的周长为4+6+8=18，
故答案为：18．
【点评】本题考查的是三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半是解题的关键．
14．（3分）（2017春•澧县期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平
分∠BAD交BC于点E，DF=BE，则∠1= 50 ° ．
【分析】由在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD，即可求得∠EAF的度
数，又由DF=BE，即可判定四边形AECF是平行四边形，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠BAD=180°﹣∠B=180°﹣80°=100°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAF= ∠BAD=50°，
∵DF=BE，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴∠1=∠EAF=50°．
故答案为：50°．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．注意证得四边形AECF是平行四边
第12页（共20页）形是解此题的关键．
15．（3分）（2017春•澧县期中）已知点P（2﹣m，m）在第四象限，则m的取值范
围是 m ＜ 0 ．
【分析】根据第四象限内的点的横坐标大于0，而纵坐标小于0即可列不等式求解．
【解答】解：根据题意得 ，
解得m＜0．
故答案是：m＜0．
【点评】本题考查了点的坐标以及一元一次不等式组的解法，正确理解第四象限
内的点的横、纵坐标的符合是关键．
16．（3分）（2015•云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P ，M 分别是AB，AC边的中
1 1
点，点P ，M 分别是AP ，AM 的中点，点P ，M 分别是AP ，AM 的中点，按这样的
2 2 1 1 3 3 2 2
规律下去，P M 的长为 （n为正整数）．
n n
【分析】根据中位线的定理得出规律解答即可．
【解答】解：在△ABC中，BC=1，点P ，M 分别是AB，AC边的中点，点P ，M 分别是
1 1 2 2
AP ，AM 的中点，点P ，M 分别是AP ，AM 的中点，
1 1 3 3 2 2
可得：P M = ，P M = ，故P M = ，
1 1 2 2 n n
故答案为：
【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．
三、解答题（本题共7小题，共52分，解答时应写出文字说明、证明过程或颜色步
骤）
第13页（共20页）17．（6分）（2012•郴州）已知：点P是 ▱ABCD的对角线AC的中点，经过点P的直
线EF交AB于点E，交DC于点F．求证：AE=CF．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，易得∠PAE=∠PCF，由点P是 ▱ABCD的对
角线AC的中点，可得PA=PC，又由对顶角相等，可得∠APE=∠CPF，即可利用ASA
证得△PAE≌△PCF，即可证得AE=CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠PAE=∠PCF，
∵点P是 ▱ABCD的对角线AC的中点，
∴PA=PC，
在△PAE和△PCF中，
，
∴△PAE≌△PCF（ASA），
∴AE=CF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度不
大，注意掌握数形结合思想的应用，注意能利用ASA证得△PAE≌△PCF是解此题
的关键．
18．（6分）（2010春•靖安县期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点
O，点E是AB的中点，已知AC=8cm，BD=6cm，求OE的长．
第14页（共20页）【分析】根据菱形的性质及中位线定理解答．
【解答】解：∵ABCD是菱形
∴OA=OC，OB=OD，OB⊥OC（3分）
又∵AC=8cm，BD=6cm
∴OA=OC=4cm，OB=OD=3cm（5分）
在直角△BOC中，
由勾股定理，得BC= =5cm（6分）
∵点E是AB的中点
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE= cm．（7分）
【点评】本题考查菱形的性质及三角形的中位线的运用．
19．（7分）（2013•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点
D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
【分析】（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可
（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
第15页（共20页）（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形
性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
20．（8分）（2015•湘西州）如图，在 ▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．
【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平
行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；
（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个
角为直角的四边形为矩形即可的值．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB=180°，
∵∠DEB=90°，
第16页（共20页）∴∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，
则四边形BFDE为矩形．
【点评】此题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性
质，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．
21．（8分）（2017春•澧县期中）平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别
为E、F，若CE=2，DF=1，∠EBF=60°，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】根据四边形的内角和等于360°，求出∠D=120°，根据平行四边形的性质得
到∠A=∠C=60°，进一步求出∠ABF=∠EBC=30°，根据CE=2，DF=1，求出BC、AB的
长，根据勾股定理求出BE的长，根据平行四边形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：∵BE⊥CD，BF⊥AD，
∴∠BEC=∠BFD=90°，
∵∠EBF=60°，
∵∠D+∠BED+∠BFD+∠EBF=360°，
∴∠D=120°，
∵平行四边形ABCD，
∴DC∥AB，AD∥BC，∠A=∠C
∴∠A=∠C=180°﹣120°=60°，
∴∠ABF=∠EBC=30°，
∴AD=BC=2EC=4
在△BEC中由勾股定理得：BE=2 ，
在△ABF中AF=4﹣1=3，
∵∠ABF=30，
∴AB=6，
∴平行四边形ABCD的面积是AB•BE=6×2 =12 ．
第17页（共20页）答：平行四边形ABCD的面积是12 ．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，四边形的内角
和定理，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是综合
运用性质求出BE和AB的长．
22．（8分）（2009•十堰）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教
学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进
60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方
向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0.1米）．（供选用的数据：
≈1.414， ≈1.732）
【分析】由已知可得△ABP中∠A=60°∠B=45°且PC=60m，要求AB的长，可以先求
出AC和BC的长就可转化为运用三角函数解直角三角形．
【解答】解：由题意可知：
∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°．
在Rt△BPC中，
∵∠BCP=90°，∠B=∠BPC=45°，
∴BC=PC=60．
在Rt△ACP中，
∵∠ACP=90°，∠APC=30°，
tan30°= ，
∴AC=PC•tan30°=tan30°×60=60× =20 （米）．
∴AB=AC+BC=60+20 ≈60+20×1.732=94.64≈94.6（米）．
第18页（共20页）答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为94.6米．
【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法
就是作高线．
23．（9分）（2017春•澧县期中）如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为
BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD=AC．
【分析】（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等
可得OB=OE，从而求出OE=OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线
上证明；
（2）利用“HL”证明△ABO 和△AEO 全等，根据全等三角形对应角相等可得
∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，再根据垂直的定义
即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，CD=CE，然后证明即可．
【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，
∴OB=OE，
第19页（共20页）∵点O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC平分∠ACD；
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE= ×180°=90°，
∴OA⊥OC；
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE，
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边
距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅
助线构造出全等三角形是解题的关键．
第20页（共20页）
