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2016-2017 学年湖南省张家界市桑植县八年级（上）期中数学试
卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）下列各式： ， ， ， ， （x﹣y）中，是分式的共有（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）若分式 的值为零，则x等于（ ）
A．0B．2C．±2 D．﹣2
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． •
C．x÷y• D．
4．（3分）已知am=2，an=3，则a4m﹣3n的值是（ ）
A．﹣ B．C．﹣ D．
5．（3分）若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB=5，BC=8，则DF长为（ ）
A．5B．8C．7D．5或8
6．（3分）A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地
逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中
的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A． B．
C． +4=9 D．
7．（3分）若分式方程 有增根，则a的值是（ ）
A．1B．0C．﹣1 D．3
8．（3分）有下列命题：①两点之间，线段最短； ②相等的角是对顶角； ③内错角
互补，两直线平行．其中真命题的有（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．0个
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）计算：（a﹣2）3= ．
第1页（共16页）10．（3分）计算： + = ．
11．（3分）用科学记数法表示：﹣0.00002016= ．
12．（3分）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，
则AC= ．
13．（3分）将命题“互为相反数的两个数之和等于零”写成：如果 那么 ．
14．（3分）化简： = ．
15．（3分）已知 ﹣ =3，则分式 的值为 ．
16．（3分）等腰三角形的两边的长分别为5cm和7cm，则此三角形的周长是 ．
三、解答题（共8小题，满分52分）
17．（8分）计算：
（1） ﹣2+（π﹣3.14）0
（2） ÷ ．
18．（8分）解下列分式方程：
（1）
（2） ．
19．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂
足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC长．
第2页（共16页）20．（5分）先化简，再求值： 选一个你所喜欢的数带入求值．
21．（6分）观察下面的变形规律：
=1﹣ ； = ﹣ ； = ﹣ ；…解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想 = ；
（2）求和： + + ．（注：只能用上述结论做才能给分）；
（3）用上述相似的方法求和： + + +…+ ．
22．（5分）已知分式：A= ，B= ，其中x≠±2．学生甲说A与B相等，乙说A与B
互为倒数，丙说A与B互为相反数，她们三个人谁的结论正确？为什么？
23．（5分）去年入秋以来，某省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，
为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，
实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务．问原
计划每天修水渠多少米？
24．（10分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点
A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m
上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中 α 为任意锐角或钝角．请问结论
DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三
点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，
连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
第3页（共16页）2016-2017 学年湖南省张家界市桑植县八年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2015秋•海南校级期末）下列各式：，，，，（x﹣y）中，是分式的共
有（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
【考点】分式的定义．
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【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果
不含有字母则不是分式．
【解答】解： ， ， （x﹣y）是分式，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以 不是分式，是
整式．
2．（3分）（2016秋•桑植县期中）若分式 的值为零，则x等于（ ）
A．0B．2C．±2 D．﹣2
【考点】分式的值为零的条件．
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【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣4=0，2x﹣4≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x2﹣4=0，2x﹣4≠0，
解得：x=﹣2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分
子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
3．（3分）（2016秋•桑植县期中）下列计算正确的是（ ）
第4页（共16页）A． B． •
C．x÷y• D．
【考点】分式的乘除法．
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【专题】计算题；分式．
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式= • = ，错误；
B、原式= ，正确；
C、原式= ，错误；
D、原式= = ，错误，
故选B．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）（2016秋•桑植县期中）已知am=2，an=3，则a4m﹣3n的值是（ ）
A．﹣ B．C．﹣ D．
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据同底数幂的除法法则和积的乘方和幂的乘方的运算法则求解．
【解答】解：∵am=2，an=3
∴a4m﹣3n=a4m÷a3n=（am）4÷（an）3=16÷27= ．
故选B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法以及积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是
解答本题的关键．
5．（3分）（2016秋•桑植县期中）若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB=5，
BC=8，则DF长为（ ）
A．5B．8C．7D．5或8
【考点】全等三角形的性质．
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【分析】根据三角形的周长可得AC长，然后再利用全等三角形的性质可得DF长．
【解答】解：∵△ABC的周长为20，AB=5，BC=8，
∴AC=20﹣5﹣8=7，
∵△ABC≌△DEF，
第5页（共16页）∴DF=AC=7，
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相
等．
6．（3分）（2016•本溪一模）A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B
地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设
该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A． B．
C． +4=9 D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】应用题．
【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间=9小时．
【解答】解：顺流时间为： ；逆流时间为： ．
所列方程为： + =9．
故选A．
【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述
语，找到等量关系是解决问题的关键．
7．（3分）（2016秋•桑植县期中）若分式方程 有增根，则a的值是（ ）
A．1B．0C．﹣1 D．3
【考点】分式方程的增根．
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【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整
式方程计算即可求出a的值．
【解答】解：去分母得：1+3x﹣6=a﹣x，
由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，
把x=2代入得：1+6﹣6=a﹣2，
解得：a=3，
故选D
第6页（共16页）【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方
程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．（3分）（2016秋•桑植县期中）有下列命题：①两点之间，线段最短； ②相等的
角是对顶角； ③内错角互补，两直线平行．其中真命题的有（ ）
A．1个B．2个 C．3个 D．0个
【考点】命题与定理．
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【分析】利用线段公理对①进行判断；根据对顶角的定义对②进行判断；根据平行
线的判定方法对③进行判断．
【解答】解：两点之间，线段最短，所以①为真命题；
相等的角不一定是对顶角，所以②为假命题；
内错角互补，两直线平行．所以③为真命题．
故选B．
【点评】本题考查了命题与定义：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是
由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一
个命题可以写成“如果…那么…”形式．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2016秋•桑植县期中）计算：（a﹣2）3= a ﹣ 6 ．
【考点】负整数指数幂．
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【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（a﹣2）3=a﹣6．
故答案为：a﹣6．
【点评】此题考查了负整数指数幂，熟知负整数指数幂的计算法则是解答此题的
关键．
10．（3分）（2016秋•桑植县期中）计算： + = 0 ．
【考点】分式的加减法．
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【专题】计算题．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
第7页（共16页）【解答】解：原式= ﹣ =0，
故答案为：0
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（3分）（2016秋•桑植县期中）用科学记数法表示：﹣0.00002016= ﹣
2.016 × 10 ﹣5 ．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
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【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：﹣0.00002016=﹣2.016×10﹣5，
故答案为：﹣2.016×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|
＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）（2016秋•桑植县期中）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB
交于点D，BF=12，CF=3，则AC= 1 5 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
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【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到FA=BF，代入计算即可得到答案．
【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴FA=BF=12，
∴AC=AF+FC=15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点
到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
第8页（共16页）13．（3分）（2016秋•桑植县期中）将命题“互为相反数的两个数之和等于零”写
成：如果 两个数互为相反数 那么 这两个数之和等于 0 ．
【考点】命题与定理．
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【分析】分清题设和结论即可写成如果…，那么…的形式．
【解答】解：互为相反数的两个数之和等于0”的题设是两个数互为相反数，结论是
这两个数的和为0，
改写成如果…，那么…的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等
于0，
故答案为：两个数互为相反数，这两个数之和等于0．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二
个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫
做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
14．（3分）（2016秋•桑植县期中）化简： = ．
【考点】约分．
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【分析】先利用完全平方公式进行因式分解，再约分求解即可．
【解答】解： = = ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了约分，解题的关键是正确的因式分解．
15．（3分）（2010•青羊区校级自主招生）已知 ﹣ =3，则分式 的值为 ．
【考点】分式的值．
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【专题】压轴题；整体思想．
【分析】由已知条件可知xy≠0，根据分式的基本性质，先将分式 的分子、分母
同时除以xy，再把 ﹣ =3代入即可．
【解答】解：∵ ﹣ =3，
∴x≠0，y≠0，
∴xy≠0．
∴ = = = = = ．
第9页（共16页）故答案为： ．
【点评】本题主要考查了分式的基本性质及求分式的值的方法，把 ﹣ =3作为一个
整体代入，可使运算简便．
16．（3分）（2016秋•桑植县期中）等腰三角形的两边的长分别为5cm和7cm，则
此三角形的周长是 17cm 或 19cm ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
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【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为5cm时，②当腰长为
7cm时，解答出即可．
【解答】解：根据题意，
①当腰长为5cm时，周长=5+5+7=17（cm）；
②当腰长为7cm时，周长=5+7+7=19（cm）；
故答案为：17cm或19cm．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质定理，本题重点是要分两种情况解答．
三、解答题（共8小题，满分52分）
17．（8分）（2016秋•桑植县期中）计算：
（1） ﹣2+（π﹣3.14）0
（2） ÷ ．
【考点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
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【专题】计算题．
【分析】（1）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则
计算即可得到结果；
（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=﹣2﹣2+1=﹣3；
（2）原式= • = ．
【点评】此题考查了分式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本
题的关键．
第10页（共16页）18．（8分）（2016秋•桑植县期中）解下列分式方程：
（1）
（2） ．
【考点】解分式方程．
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【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检
验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：3x﹣3=2x，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解；
（2）去分母得：3x﹣3+x+1=6，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（5分）（2011•株洲）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB
于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC长．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
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【专题】计算题；几何图形问题．
【分析】（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE=EC；∠A=∠C；已知∠A=36，即可求
得；
（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得
BC=EC=5；
第11页（共16页）【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；
（2）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，
∴∠BEC=∠B，
∴BC=EC=5．
答：（1）∠ECD的度数是36°；
（2）BC长是5．
【点评】本题考查了等腰三角形、线段垂直平分线的性质，应熟记其性质：线段的
垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
20．（5分）（2016秋•桑植县期中）先化简，再求值： 选一个你所喜欢的数带
入求值．
【考点】分式的化简求值．
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【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入
进行计算即可．
【解答】解：
原式= × ﹣ ，
= ﹣ ，
=﹣ ，
当a=0时，原式=﹣ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
21．（6分）（2015秋•滕州市校级期末）观察下面的变形规律：
=1﹣ ； = ﹣ ； = ﹣ ；…解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想 = ﹣ ；
（2）求和： + + ．（注：只能用上述结论做才能给分）；
第12页（共16页）（3）用上述相似的方法求和： + + +…+ ．
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】规律型．
【分析】（1）观察题目所给等式可直接写出．
（2）利用 = ﹣ 把 + + 转换成1﹣ + ﹣ + ﹣ 后直接计算即可．
（3）仿照（2）将： + + +…+ 转换成 ×（1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）就可轻易算
出结果．
【解答】解：（1）答案为： ﹣ ；
（2） + +
=1﹣ + ﹣ + ﹣
=1﹣
=
（3） + + +…+
= ×（1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
= ×（1﹣ ）
= ×
=
【点评】本题考查了数字的变换规律问题，解题的关键是能够总结出规律等式 =
﹣ 并应用于求和运算．
22．（5分）（2016秋•桑植县期中）已知分式：A= ，B= ，其中x≠±2．学生甲说
A与B相等，乙说A与B互为倒数，丙说A与B互为相反数，她们三个人谁的结论
正确？为什么？
【考点】分式的加减法；相反数；倒数．
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【分析】将分式B进行通分化简后即可判断．
【解答】解：B= = = ；
∴A+B=0，
故A与B互为相反数
【点评】本题考查分式的加减运算，涉及相反数、倒数等定义，属于基础题型．
第13页（共16页）23．（5分）（2016秋•桑植县期中）去年入秋以来，某省发生了百年一遇的旱灾，连
续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，
为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前
20天完成修水渠任务．问原计划每天修水渠多少米？
【考点】分式方程的应用．
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【分析】设原计划每天修水渠x米．根据原计划工作用的时间﹣实际工作用的时间
=20等量关系列出方程．
【解答】解：设原计划每天修水渠x米．
根据题意得： ﹣ =20，
解得：x=80．
经检验：x=80是原分式方程的解．
答：原计划每天修水渠80米．
【点评】本题考查了分式方程的应用．此题中涉及的公式：工作时间=工作量÷工
效．
24．（10分）（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直
线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m
上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中 α 为任意锐角或钝角．请问结论
DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三
点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，
连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．
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【专题】压轴题．
第14页（共16页）【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，
根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，
则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）与（1）的证明方法一样；
（3）由前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形
的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，
利用“ SAS” 可判断 △DBF≌△ EAF，所以 DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是
∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到
△DEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）成立．
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
第15页（共16页）（3）△DEF是等边三角形．
由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有
“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角
形的判定与性质．
第16页（共16页）
