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2016-2017 学年湖南省衡阳市八年级（上）期末数学试卷
一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分.每道小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的
选项填在答题卷上相应题号下的方框内）
1．（3分）在实数 、﹣3、0、、3.1415、π、 、、2.123122312233…（不循环）中，无理
数的个数为（ ）
A．2个B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）9的算术平方根是（ ）
A．3B．±3 C．﹣3 D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2b3）3=a5b6D．（a2）3=a6
4．（3分）如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC的条件是（ ）
A．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC B．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC
C．BD=AC，∠BAD=∠ABCD．AD=BC，BD=AC
5．（3分）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是
（ ）
A．8、15、17 B．7、24、25 C．3、4、5 D．2、3、4
6．（3分）若（x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．8B．﹣8 C．0D．8或﹣8
7．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交
AB于E，下述结论错误的是（ ）
第1页（共23页）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC
C．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点
8．（3分）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（ ）
①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；
③分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①
9．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果|a|=1，那么a=1
B．三个内角分别对应相等的两个三角形全等
C．如果a是有理数，那么a是实数
D．两边一角对应相等的两个三角形全等
10．（3分）如图所示的扇形图是对某班学生知道父母生日情况的调查，A表示只
知道父亲生日，B表示只知道母亲生日，C表示知道父母两人的生日，D表示都不
知道，若该班有40名学生，则只知道母亲生日的人数有（ ）人．
A．25%B．10 C．22 D．25
二、细心填一填，一锤定音（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）因式分解：m2﹣mn= ．
12．（3分）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 （添加一个条
件即可）．
第2页（共23页）13．（3分）如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树
杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．
14．（3分）若xm=3，xn=2，则xm+n= ．
15．（3分）在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=3，BC=4，则斜边AC上的高BD= ．
16．（3分）已知：y= ，则x的取值范围是 ．
17．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是 ．
18．（3分）已知：x+ =3，则x2+ = ．
三、用心做一做，慧眼识金（本大题共4道小题，每小题6分，满分24分）
19．（6分）计算： ﹣ +2 ．
20．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1），其中x=1．
21．（6分）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求证：AB=AC．
22．（6分）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，
BC=ED，求证：AC=CD．
第3页（共23页）四、综合用一用，马到成功（本大题共2道小题，每小题7分，满分14分）
23．（7分）在世界环境日到来之际，希望中学开展了“环境与人类生存”主题研
讨活动，活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进行
评比．初三•三班将本班50篇学生调查报告得分进行整理（成绩均为整数），列出
了频率分布表，并画出了频率分布直方图（部分）如下：
分组
频
率
49.5 ～ 0.
59.5 04
59.5 ～ 0.
69.5 04
69.5 ～ 0.
79.5 16
79.5 ～ 0.
89.5 34
89.5 ～ 0.
99.5 42
合计 1.
00
根据以上信息回答下列问题：
（1）该班90分以上（含90分）的调查报告共有 篇；
（2）该班被评为优秀等级（80分及80分以上）的调查报告占 %；
（3）补全频率分布直方图．
第4页（共23页）24．（7分）如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮
船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达 B、A两
点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？
五、耐心解一解，再接再厉（本大题共1道小题，满分8分）
25．（8分）某学校的操场是一个长方形，长为2x米，宽比长少5米，实施“阳光体
育”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体育活动，
将操场的长和宽都增加4米．
（1）求操场原来的面积是多少平方米（用代数式表示）？
（2）若x=20，求操场面积增加后比原来多多少平方米？
六、探究试一试，超越自我（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）
26．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD
于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
（1）试说明AH=BH
（2）求证：BD=CG．
（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系．
第5页（共23页）27．（10分）如图所示，在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P沿AB边从
点A开始向点B以1厘米/秒的速度移动，点 Q沿BC从点B开始向点C以2厘
米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）当PB=2厘米时，求点P移动多少秒？
（2）t为何值时，△PBQ为等腰直角三角形？
（3）求四边形PBQD的面积，并探究一个与计算结果有关的结论．
第6页（共23页）2016-2017 学年湖南省衡阳市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分.每道小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的
选项填在答题卷上相应题号下的方框内）
1．（3分）（2016秋•衡阳期末）在实数 、﹣3、0、 、3.1415、π、 、 、
2.123122312233…（不循环）中，无理数的个数为（ ）
A．2个B．3个 C．4个 D．5个
【考点】无理数．
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【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有
π的数，找出无理数的个数．
【解答】解： =﹣1， =12，
所给数据中无理数有： ，π， ，2.123122312233…（不循环）共4个．
故选C．
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①
开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
2．（3分）（2015•诏安县校级模拟）9的算术平方根是（ ）
A．3B．±3 C．﹣3 D．
【考点】算术平方根．
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【分析】根据开方运算，可得一个正数的算术平方根．
【解答】解：9的算术平方根是3．
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．
3．（3分）（2007•日照）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2b3）3=a5b6D．（a2）3=a6
第7页（共23页）【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
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【分析】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项进行计算即
可．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项不能合并，故本选项错误；
B、应为a2•a3=a5，故本选项错误；
C、应为（a2b3）3=a6b9，故本选项错误；
D、（a2）3=a6，正确；
故选D．
【点评】本题主要考查了幂的乘方法则：底数不变指数相乘；同底数幂的乘法法则：
底数不变指数相加；同类项的概念：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项
是同类项，不是同类项的一定不能合并．
4．（3分）（2016秋•衡阳期末）如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD≌△BAC
的条件是（ ）
A．∠D=∠C，∠BAD=∠ABC B．∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC
C．BD=AC，∠BAD=∠ABCD．AD=BC，BD=AC
【考点】全等三角形的判定．
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【分析】本题已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或
有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，必须是这边和公共
边的夹角对应相等，只有符合以上条件，才能根据三角形全等判定定理得出结论
【解答】解：A、符合AAS，能判断△ABD≌△BAC；
B、符合ASA，能判断△ABD≌△BAC；
C、符合SSA，不能判断△ABD≌△BAC；
D、符合SSS，能判断△ABD≌△BAC．
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等判定定理中，最易出错的
第8页（共23页）是“边角边”定理，这里强调的是夹角，不是任意一对角．
5．（3分）（2016秋•衡阳期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直
角三角形的是（ ）
A．8、15、17 B．7、24、25 C．3、4、5 D．2、3、4
【考点】勾股定理的逆定理．
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【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵82+152=172，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵72+242=252，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵32+42=52，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
6．（3分）（2016秋•衡阳期末）若（x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（
）
A．8B．﹣8 C．0D．8或﹣8
【考点】多项式乘多项式．
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【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开式子，并合并，不含x的一次项就是含
x项的系数等于0，求解即可．
【解答】解：∵（x+m）（x﹣8）=x2﹣8x+mx﹣8m=x2+（m﹣8）x﹣8m，
又结果中不含x的一次项，
∴m﹣8=0，
∴m=8．
故选：A．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据不含某一项就是说这一项的
系数等于0得出是解题关键．
7．（3分）（2011•河池）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE
第9页（共23页）交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（ ）
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC
C．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
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【专题】压轴题．
【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即
可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的
性质，即可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得
△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答
案；注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C= =72°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，
∴BD平分∠ABC，故A正确；
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，故C正确；
∵BD＞CD，
∴AD＞CD，
第10页（共23页）∴点D不是线段AC的中点，故D错误．
故选D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角
和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想
的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．
8．（3分）（2016秋•衡阳期末）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法
的合理顺序是（ ）
①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；
③分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①
【考点】作图—基本作图．
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【分析】找出依据即可依此画出．
【解答】解：角平分线的作法是：在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；
分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C；
作射线OC．
故其顺序为②③①．
故选C．
【点评】本题很简单，只要找出其作图依据便可解答．
9．（3分）（2016秋•衡阳期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果|a|=1，那么a=1
B．三个内角分别对应相等的两个三角形全等
C．如果a是有理数，那么a是实数
D．两边一角对应相等的两个三角形全等
【考点】命题与定理．
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【分析】根据绝对值的性质，三角形全等的判定方法，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、如果|a|=1，那么a=1，是假命题，应为：如果|a|=1，那么a=±1，故
本选项错误；
B、三个内角分别对应相等的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误；
第11页（共23页）C、如果a是有理数，那么a是实数，是真命题，故本选项正确；
D、两边一角对应相等的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命
题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．（3分）（2016秋•衡阳期末）如图所示的扇形图是对某班学生知道父母生日情
况的调查，A表示只知道父亲生日，B表示只知道母亲生日，C表示知道父母两人
的生日，D表示都不知道，若该班有 40名学生，则只知道母亲生日的人数有
（ ）人．
A．25%B．10 C．22 D．25
【考点】扇形统计图．
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【分析】因为B表示只知道母亲生日，所以只知道母亲生日的人数所占百分比为
25%，又因为该班有40名学生，则只知道母亲生日的人数可求．
【解答】解：∵只知道母亲生日的人数所占百分比为25%，
∴只知道母亲生日的人数为40×25%=10（人）．
故选B．
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆
内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚
的表示出各部分数量同总数之间的关系．
二、细心填一填，一锤定音（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2012•湘潭）因式分解：m2﹣mn= m （ m﹣n ） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
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【分析】提取公因式m，即可将此多项式因式分解．
【解答】解：m2﹣mn=m（m﹣n）．
第12页（共23页）故答案为：m（m﹣n）．
【点评】此题考查了提公因式分解因式的知识．此题比较简单，注意准确找到公因
式是解此题的关键．
12．（3分）（2013•娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是
∠ B = ∠ C 或 AE=AD （添加一个条件即可）．
【考点】全等三角形的判定．
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【专题】开放型．
【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，则可以添加一个边从而利用
SAS来判定其全等，或添加一个角从而利用AAS来判定其全等．
【解答】解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．
故答案为：∠B=∠C或AE=AD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添
加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
13．（3分）（2016秋•衡阳期末）如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折
断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 8 米．
【考点】勾股定理的应用．
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【专题】计算题．
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜
边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【解答】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆
第13页（共23页）底部4米处，
∴折断的部分长为 =5，
∴折断前高度为5+3=8（米）．
故答案为8．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的
运用能力．
14．（3分）（2016秋•衡阳期末）若xm=3，xn=2，则xm+n= 6 ．
【考点】同底数幂的乘法．
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【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可得答案．
【解答】解：xm•xn=xm+n=3×2=6，
故答案为：6．
【点评】本题考察了同底数幂的乘法，注意底数不变，指数相加．
15．（3分）（2016秋•衡阳期末）在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=3，BC=4，则斜边
AC上的高BD= 2. 4 ．
【考点】勾股定理．
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【分析】根据勾股定理即可求AC的长度，根据面积法即可求BD的长度．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=3，BC=4，
AC= =5，
△ABC的面积S= AB•BC= AC•BD
解得BD= =2.4，
故答案为2.4．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积的
计算，本题中正确的计算AC的长是解题的关键．
16．（3分）（2016秋•衡阳期末）已知：y= ，则x的取值范围是 x ≥ 1 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
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【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
第14页（共23页）解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式
是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不
能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
17．（3分）（2016秋•扬州期末）一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角
形的周长是 1 7 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
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【专题】计算题．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给
出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨
论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于3+3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7+7+3=17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考
查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相
加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
18．（3分）（2016秋•衡阳期末）已知：x+ =3，则x2+ = 7 ．
【考点】完全平方公式．
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【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵x+ =3，
∴（x+ ）2=x2+2+ =9，
∴x2+ =7，
故答案为：7．
第15页（共23页）【点评】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．
三、用心做一做，慧眼识金（本大题共4道小题，每小题6分，满分24分）
19．（6分）（2016秋•衡阳期末）计算： ﹣ +2 ．
【考点】实数的运算．
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【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用算术平方根、立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=5﹣3+1=3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）（2016秋•衡阳期末）先化简，再求值：（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1），其中
x=1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
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【分析】先化简题目中的式子，然后将x=1代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1）
=x2+2x+1﹣x2+1
=2x+2，
当x=1时，原式=2×1+2=4．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是明确整式的混合运
算的计算方法．
21．（6分）（2012•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求证：AB=AC．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定．
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【专题】证明题；压轴题．
第16页（共23页）【分析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得
∠1=∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C，从而得到∠B=∠C，然后根据等
角对等边即可得证．
【解答】证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠1=∠2，
∵AE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，是基础题，熟记性质是解
题的关键．
22．（6分）（2014•大兴区二模）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两
侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED，求证：AC=CD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
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【专题】证明题．
【分析】由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△CED，则该全等三角形的对
应边相等，即AC=CD．
【解答】证明：如图，∵AB∥ED，
∴∠ABC=∠CED．
∵在△ABC与△CED中， ，
∴△ABC≌△CED（SAS），
∴AC=CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．此题是利用平行四边形的性质结
合三角形全等来解决有关线段相等的证明
第17页（共23页）四、综合用一用，马到成功（本大题共2道小题，每小题7分，满分14分）
23．（7分）（2003•青岛）在世界环境日到来之际，希望中学开展了“环境与人类
生存”主题研讨活动，活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的
调查报告进行评比．初三•三班将本班50篇学生调查报告得分进行整理（成绩均
为整数），列出了频率分布表，并画出了频率分布直方图（部分）如下：
分组
频
率
49.5 ～ 0.
59.5 04
59.5 ～ 0.
69.5 04
69.5 ～ 0.
79.5 16
79.5 ～ 0.
89.5 34
89.5 ～ 0.
99.5 42
合计 1.
00
根据以上信息回答下列问题：
（1）该班90分以上（含90分）的调查报告共有 2 1 篇；
（2）该班被评为优秀等级（80分及80分以上）的调查报告占 7 6 %；
（3）补全频率分布直方图．
【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．
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【专题】图表型．
【分析】（1）由频率分布表可知：该班90分以上（含90分）的调查报告的频率
第18页（共23页）=0.42，则由总数=频数÷该组的频率可知：该班90分以上（含90分）的调查报告
的频数=总数×该班90分以上（含90分）的调查报告的频数=50×0.42=21；
（2）由频率分布表可知：80分及80分以上的调查报告的频率为0.34+0.42=0.76，
则该班被评为优秀等级（80分及80分以上）的调查报告占0.76÷1=76%；
（3）59.5﹣69.5段的频率为0.04，49.5﹣59.5段的频率也为0.04，则第一组和第二
组小长方形的高是相等的；据此可以绘制直方图．
【解答】解：（1）该班90分以上（含90分）的调查报告的频率=0.42，
90分以上（含90分）的调查报告的频数=50×0.42=21；
（2）80分及80分以上的调查报告的频率为0.34+0.42=0.76，则该班被评为优秀等
级（80分及80分以上）的调查报告占0.76÷1=76%；
（3）图如右边：
【点评】本题考查频率及频数的计算，记住公式：频率=频数÷总人数是解决本题
的关键．同时还考查了动手绘制频率直方图的能力．
24．（7分）（2016秋•衡阳期末）如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O
向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小
时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？
第19页（共23页）【考点】勾股定理的应用．
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【专题】应用题．
【分析】根据题目提供的方位角判定AO⊥BO，然后根据甲轮船的速度和行驶时间
求得OB的长，利用勾股定理求得OA的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度．
【解答】解：∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，
∴AO⊥BO，
∵甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时，
∴OB=16×1.5=24海里，AB=30海里，
∴在Rt△AOB中，AO= = =18，
∴乙轮船航行的速度为：18÷1.5=12海里．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是根据题目提供的方位角
判定直角三角形．
五、耐心解一解，再接再厉（本大题共1道小题，满分8分）
25．（8分）（2016秋•衡阳期末）某学校的操场是一个长方形，长为2x米，宽比长
少5米，实施“阳光体育”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能
更好地进行体育活动，将操场的长和宽都增加4米．
（1）求操场原来的面积是多少平方米（用代数式表示）？
（2）若x=20，求操场面积增加后比原来多多少平方米？
【考点】列代数式；代数式求值．
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【分析】（1）根据等式“操场原来的面积=操场的长×宽”列出代数式即可；
（2）根据等式“操场增加的面积=（操场的原来的长+4）×（操场原来的宽+4）﹣操
场原来的面积”列出代数式，再把x=20代入即可求出．
【解答】解：（1）根据题意得：操场原来的面积=2x（2x﹣5）；
（2）根据题意：操场增加的面积=（2x+4）（2x﹣5+4）﹣2x（2x﹣5）=16x﹣4；
则x=20时，16x﹣4=316．
答：操场面积增加后比原来多316平方米．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
六、探究试一试，超越自我（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）
第20页（共23页）26．（10分）（2016秋•衡阳期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边上
AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于
G．
（1）试说明AH=BH
（2）求证：BD=CG．
（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
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【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）证明△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质证明；
（3）证明△ACE≌△CBF即可．
【解答】证明：（1）∵AC=BC，CH⊥AB，
∴AH=BH；
（2）∵ABC为等腰直角三角形，CH⊥AB，
∴∠ACG=45°，
∵∠CAG+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠CAG=∠BCF，
在△ACG和△CBD中，
，
∴△ACG≌△CBD（ASA），
∴BD=CG；
（3）AE=EF+BF，
理由如下：在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF，
∴AE=CF，CE=BF，
∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．
第21页（共23页）【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和
性质定理是解题的关键．
27．（10分）（2016秋•衡阳期末）如图所示，在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=12
厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q沿BC从点B
开始向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用（t 秒）表示移动的时
间（0≤t≤6）．
（1）当PB=2厘米时，求点P移动多少秒？
（2）t为何值时，△PBQ为等腰直角三角形？
（3）求四边形PBQD的面积，并探究一个与计算结果有关的结论．
【考点】四边形综合题．
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【分析】（1）由AB、PB的长可求得AP的长，则可求得t的值；
（2）根据等腰直角三角形的性质可求得PB=BQ，则可得到关于t的方程，可求得t
的值；
（3）可用t分别表示出S 、S ，再利用面积的和差可求得四边形PBQD的面
△APD △QCD
积，则可求得结论．
【解答】解：
（1）∵PB=2cm，AB=6cm，
∴AP=AB﹣PB=6﹣2=4（秒），
即点P移动4秒；
（2）∵△PBQ为等腰直角三角形，
∴PB=BQ，即6﹣t=2t，解得t=2
∴当t的值为2秒时，△PBQ为等腰直角三角形；
（3）由题意可知AP=t，AB=6，BQ=2t，BC=12，
∴PB=6﹣t，QC=12﹣2t，CD=6，AD=12，
∴S = AP•AD= t×12=6t，S = QC•CD= （12﹣2t）6=36﹣6t，
△APD △QCD
第22页（共23页）∴S =S ﹣S ﹣S =72﹣6t﹣（36﹣6t）=36，
四边形PBQD 矩形ABCD △APD △QCD
结论：不论P、Q怎样运动总有四边形PBQD的面积等于长方形ABCD面积的一半．
【点评】本题为四边形的综合应用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、方程
思想及转化思想．用t表示出相应线段的长度，化动为静是解决这类运动型问题
的一般思想．本题考查知识点不是太多，难度不大．
第23页（共23页）
