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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
2015-2016学年湖南省永州市祁阳县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分．把每小题唯一正确的选项填在下面表格里）
1．（3分）（2015•贺州一模）若分式 的值为零，那么x的值为（ ）
A．x=1或x=﹣1 B．x=1 C．x=﹣1D．x=0
2．（3分）（2015秋•祁阳县期末）下列说法中正确的是（ ）
A．有理数和数轴上的点一一对应
B．不带根号的数是有理数
C．无理数就是开方开不尽的数
D．实数与数轴上的点一一对应
3．（3分）（2015秋•祁阳县期末）下列各组线段，不能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．5，12，13
4．（3分）（2009•河池）一个不等式的解集为﹣1＜x≤2，那么在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2015秋•祁阳县期末）给出四个命题：①互补的两个角必不相等；②在同一平面内
垂直于同一直线的两直线平行；③命题“如果ab＜0，那么a+b＜0”的逆命题是真命题；④全
等三角形对应边上的中线相等．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）（2015秋•祁阳县期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2015•深圳模拟）A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即
从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速
度为x千米/时，则可列方程（ ）
A． B．
C． +4=9 D．
8．（3分）（2015秋•祁阳县期末）在△ABC中，AC=5，中线AD=4，那么边AB的取值范围为（
）
A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13 C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜13
二、填空题（每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2011•德化县校级模拟）当 时，二次根式 有意义．
10．（3分）（2015秋•祁阳县期末）如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需补充一个
条件，则这个条件可以是 ．
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11．（3分）（2015秋•祁阳县期末）分式 ， 的最简公分母是 ．
12．（3分）（2007•金华） 的相反数是 ．
13．（3分）（2015秋•祁阳县期末）用四舍五入法，对0.0070991取近似值，若要求保留三个有
效数字，并用科学记数法表示，则该数的近似值为 ． （用科学记数法表示）
14．（3分）（2015秋•祁阳县期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：
a※b= ，如3※2= = ，那么6※3= ．
15．（3分）（2014•祁阳县校级模拟）不等式组 的整数解是 ．
16．（3分）（2015秋•祁阳县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交
AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为 ．
三、解答题（共69分）
17．（10分）（2015秋•祁阳县期末）计算或化简
（1）（ ）﹣2﹣（π﹣3.14）0+2﹣1+| ﹣ |
（2） ﹣ ．
18．（10分）（2015秋•祁阳县期末）解方程或不等式组：
（1） ﹣ = ．
（2） ．
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19．（6分）（2015秋•祁阳县期末）化简求值： ，其
中 ．
20．（6分）（2015秋•祁阳县期末）画图（不用写作法，要保留作图痕迹）尺规作图：求作
∠AOB的角平分线OC．
21．（8分）（2015秋•祁阳县期末）如图，已知点D、E是△ABC的边BC上两点，且BD=CE，
∠1=∠2．试证：△ABC是等腰三角形．
22．（9分）（2014•枣庄模拟）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，
每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本，求
打折前每本笔记本的售价是多少元？
23．（10分）（2015秋•祁阳县期末）阅读下面问题：
= = ﹣1；
= = ﹣ ；
= = ﹣2．
试求：
（1） （n为正整数）的值．
（2）利用上面所揭示的规律计算： + + +…+ +
．
24．（10分）（2011•湘乡市模拟）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用
这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A产品需用甲种原料9千克，乙种原
料3千克；生产一件B产品需用甲种原料4千克，乙种原料10千克．
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（1）请你根据要求，设计出A、B两种产品的生产方案；
（2）如果生产一件A产品可获利700元，生产一件B产品可获利1200元，那么上述哪种生产
方案获得的总利润最大？
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2015-2016 学年湖南省永州市祁阳县八年级（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分．把每小题唯一正确的选项填在下面表格里）
1．（3分）（2015•贺州一模）若分式 的值为零，那么x的值为（ ）
A．x=1或x=﹣1 B．x=1 C．x=﹣1D．x=0
【考点】分式的值为零的条件．
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【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意，得
x2﹣1=0，且x+1≠0，
解得x=1．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为
0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
2．（3分）（2015秋•祁阳县期末）下列说法中正确的是（ ）
A．有理数和数轴上的点一一对应
B．不带根号的数是有理数
C．无理数就是开方开不尽的数
D．实数与数轴上的点一一对应
【考点】实数与数轴；实数．
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【分析】根据实数与数轴的关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、实数和数轴上的点一一对应关系，故本选项错误；
B、带根号的数不一定是无理数，例如 ，故本选项错误；
C、开方开不尽的数是无理数，故本选项错误；
D、实数和数轴上的点一一对应，符合实数与数轴的关系，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数和数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关
键．
3．（3分）（2015秋•祁阳县期末）下列各组线段，不能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．5，12，13
【考点】三角形三边关系．
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【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵1+2=3，∴1，2，3不能组成三角形，故本选项正确；
B、∵2+3=5＞4，∴2，3，4能组成三角形，故本选项错误；
C、∵3+4=7＞5，∴3，4，5能组成三角形，故本选项错误；
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D、∵5+12=17＞13，∴5，12，13能组成三角形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键．
4．（3分）（2009•河池）一个不等式的解集为﹣1＜x≤2，那么在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
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【分析】根据数轴上的点表示的数，右边的总是大于左边的数．这个解集就是不等式x＞﹣1
和x≤2的解集的公共部分．
【解答】解：数轴上﹣1＜x≤2表示﹣1与2之间的部分，并且包含2，不包含﹣1，在数轴上可表
示为：
故选A．
【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点
把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么
这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表
示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）（2015秋•祁阳县期末）给出四个命题：①互补的两个角必不相等；②在同一平面内
垂直于同一直线的两直线平行；③命题“如果ab＜0，那么a+b＜0”的逆命题是真命题；④全
等三角形对应边上的中线相等．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理．
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【分析】利用互补的定义、平行线的判定、不等式的性质及全等三角形的性质分别判断后即可
确定正确的选项．
【解答】解：①互补的两个角必不相等，错误；
②在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，正确；
③命题“如果ab＜0，那么a+b＜0”的逆命题是真命题，错误；
④全等三角形对应边上的中线相等，正确，
故选B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解互补的定义、平行线的判定、不等
式的性质及全等三角形的性质，难度不大．
6．（3分）（2015秋•祁阳县期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
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【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个
条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、 =10，含有开得尽得因数，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C正确；
D、 含有开的尽得因式，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两
个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
7．（3分）（2015•深圳模拟）A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即
从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速
度为x千米/时，则可列方程（ ）
A． B．
C． +4=9 D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】应用题．
【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间=9小时．
【解答】解：顺流时间为： ；逆流时间为： ．
所列方程为： + =9．
故选A．
【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量
关系是解决问题的关键．
8．（3分）（2015秋•祁阳县期末）在△ABC中，AC=5，中线AD=4，那么边AB的取值范围为（
）
A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13 C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜13
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．
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【分析】作辅助线（延长AD至E，使DE=AD=4，连接BE）构建全等三角形△BDE≌△ADC
（SAS），然后由全等三角形的对应边相等知BE=AC=5；而三角形的两边之和大于第三边、两
边之差小于第三边，据此可以求得AB的取值范围．
【解答】解：延长AD至E，使DE=AD=4，连接BE．则AE=8，
∵AD是边BC上的中线，D是中点，
∴BD=CD；
又∵DE=AD，∠BDE=∠ADC，∴△BDE≌△ADC，
∴BE=AC=5；
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由三角形三边关系，得AE﹣BE＜AB＜AE+BE，
即8﹣5＜AB＜8+5，
∴3＜AB＜13；
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．解答该题时，围绕结论寻找全等三角形，运用
全等三角形的性质判定对应线段相等．
二、填空题（每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2011•德化县校级模拟）当 x≥﹣ 2 时，二次根式 有意义．
【考点】二次根式有意义的条件．
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【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
【解答】解：由题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根
式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（3分）（2015秋•祁阳县期末）如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需补充一个
条件，则这个条件可以是 AB=AC （答案不唯一） ．
【考点】全等三角形的判定．
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【专题】开放型．
【分析】题中已有条件∠1=∠2，公共边AD=AD，再补充条件AB=AC可利用SAS定理证明
△ABD≌△ACD．
【解答】解：补充的条件是AB=AC，理由如下：
∵在△ABD和△ACD中， ，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
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故答案为：AB=AC（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有
两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11．（3分）（2015秋•祁阳县期末）分式 ， 的最简公分母是 12 x 3 y ．
【考点】最简公分母．
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【分析】先回顾一下如何找最简公分母（系数找最小公倍数，相同字母找最高次幂），根据以上
方法找出即可．
【解答】解：分式 ， 的最简公分母是12x3y，
故答案为：12x3y．
【点评】本题考查了最简公分母的应用，主要考查学生对最简公分母定义的理解能力，注意：
找最简公分母的方法是：系数找最小公倍数，相同字母找最高次幂．
12．（3分）（2007•金华） 的相反数是 ﹣ ．
【考点】实数的性质．
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【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，由此求解即可．
【解答】解：根据概念（ 的相反数）+（ ）=0，则 的相反数是﹣ ．
故 的相反数﹣ ．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正
数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒
数的意义混淆．
13．（3分）（2015秋•祁阳县期末）用四舍五入法，对0.0070991取近似值，若要求保留三个有
效数字，并用科学记数法表示，则该数的近似值为 7.10×1 0 ﹣ 3 ． （用科学记数法表示）
【考点】科学记数法与有效数字．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：0.0070991=7.10×10﹣3，
故答案为：7.10×10﹣3．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方
法．
14．（3分）（2015秋•祁阳县期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：
a※b= ，如3※2= = ，那么6※3= 1 ．
【考点】算术平方根．
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【专题】新定义．
【分析】根据※的运算方法列式算式，再根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：6※3= =1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，读懂题目信息，理解※的运算方法是解题的关键．
15．（3分）（2014•祁阳县校级模拟）不等式组 的整数解是 ﹣ 1 ， 0 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解；不等式的性质；解一元一次不等式．
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【专题】计算题．
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解： ，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜1，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜1，
∴不等式组的整数解是﹣1，0．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式（组），一元一次不等式组的解集，不等式的性质等
知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
16．（3分）（2015秋•祁阳县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交
AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为 30 ° ．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
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【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠C=70°，根据线段的垂直平分线的性质得到
EA=EB，计算即可．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠EBA=30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端
点的距离相等．
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三、解答题（共69分）
17．（10分）（2015秋•祁阳县期末）计算或化简
（1）（ ）﹣2﹣（π﹣3.14）0+2﹣1+| ﹣ |
（2） ﹣ ．
【考点】实数的运算；分式的加减法；零指数幂；负整数指数幂．
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【专题】计算题；实数．
【分析】（1）原式第一、三项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，最
后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
（2）原式约分后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=3﹣1+ + ﹣ =2+ ；
（2）原式= ﹣ = ﹣ =﹣ ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（10分）（2015秋•祁阳县期末）解方程或不等式组：
（1） ﹣ = ．
（2） ．
【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．
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【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集．
【解答】解：（1）方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x﹣1），得：2（x+1）﹣（x﹣1）=3，
解得：x=0，
检验：将x=0代入（x+1）（x﹣1）中，得（0+1）（0﹣1）=﹣1≠0，
∴x=0是原方程的解；
（2） ，
解不等式①得：x≥1；
解不等式②得：x＜3，
则原不等式组的解集是1≤x＜3．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
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19．（6分）（2015秋•祁阳县期末）化简求值： ，其
中 ．
【考点】分式的化简求值．
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【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m，n的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式= ÷ +
= • +
= +
= ，
当m= ，n=﹣3时，原式= =10﹣ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答解答此题的关键．
20．（6分）（2015秋•祁阳县期末）画图（不用写作法，要保留作图痕迹）尺规作图：求作
∠AOB的角平分线OC．
【考点】作图—基本作图．
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【分析】①以点O为圆心，以适当长为半径作弧交OA、OB于两点E、F；
②分别以点F、E为圆心，以大于 EF长为半径作弧，两弧相交于点N；
③作射线OC．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了基本作图，用到的知识点为：边边边可证得两三角形全等；全等三角
形的对应角相等．
21．（8分）（2015秋•祁阳县期末）如图，已知点D、E是△ABC的边BC上两点，且BD=CE，
∠1=∠2．试证：△ABC是等腰三角形．
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【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．
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【专题】证明题．
【分析】首先根据∠1=∠2可得AD=AE，∠ADB=∠AEC，然后再证明△ABD≌△ACE可得
AB=AC，进而可得△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴AD=AE，∠ADB=∠AEC，
在△ABD和△ACE中 ，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等边对等角，全等三角形的判定定理
和性质定理．
22．（9分）（2014•枣庄模拟）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，
每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本，求
打折前每本笔记本的售价是多少元？
【考点】分式方程的应用．
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【分析】设打折前售价为x元，则打折后售价为0.9x元，表示出打折前购买的数量及打折后购
买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可．
【解答】解：设打折前售价为x元，则打折后售价为0.9x元，
由题意得， +10= ，
解得：x=4，
经检验得：x=4是原方程的根，
答：打折前每本笔记本的售价为4元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出等量关系，再列出方程．
注意解方程后不要忘记检验．
23．（10分）（2015秋•祁阳县期末）阅读下面问题：
= = ﹣1；
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= = ﹣ ；
= = ﹣2．
试求：
（1） （n为正整数）的值．
（2）利用上面所揭示的规律计算： + + +…+ +
．
【考点】分母有理化．
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【专题】规律型．
【分析】（1）根据平方差公式，可分母有理化；
（2）根据分母有理化，可出现互为相反数的项，根据合并同类二次根式，可得答案．
【解答】解：（1） = = ﹣ ；
（2） + + +…+ +
= ﹣1+ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣
= ﹣1
=12 ﹣1．
【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次
根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的
特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
24．（10分）（2011•湘乡市模拟）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用
这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A产品需用甲种原料9千克，乙种原
料3千克；生产一件B产品需用甲种原料4千克，乙种原料10千克．
（1）请你根据要求，设计出A、B两种产品的生产方案；
（2）如果生产一件A产品可获利700元，生产一件B产品可获利1200元，那么上述哪种生产
方案获得的总利润最大？
【考点】一元一次不等式组的应用．
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【分析】（1）设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50﹣x）件B产品，根据不能多于原料的
做为不等量关系可列不等式组求解．
（2）可以分别求出三种方案比较即可，也可以根据B生产的越多，A少的时候获得利润最大．
【解答】（1）解：设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50﹣x）件B产品
由题意 ，
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30≤x≤32的整数．
∴有三种生产方案：①A30件，B20件；②A31件，B19件；③A32件，B18件；
（2）方法一：方案（一）A，30件，B，20件时，
20×1200+30×700=45000（元）．
方案（二）A，31件，B，19件时，
19×1200+31×700=44500 （元）．
方案（三）A，32件，B，18件时，
18×1200+32×700=44000 （元）．
故方案（一）A，30件，B，20件利润最大，
方法二：可以根据：B生产的越多，A少的时候获得利润最大，
得出答案，
方案（一）A，30件，B，20件时，
20×1200+30×700=45000（元）．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是根据有甲种原料360千克，乙种原料290千克，做
为限制列出不等式组求解，然后判断B生产的越多，A少的时候获得利润最大，从而求得解．
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