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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
2015-2016学年湖南省永州市宁远县八年级（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2015秋•宁远县期末）计算： = ．
2．（3分）（2015秋•宁远县期末）计算： = ．
3．（3分）（2015秋•宁远县期末）在实数范围内规定a#b= ﹣ ，若x#（x﹣2）= ，则x=
．
4．（3分）（2014•山西模拟）如图，△ABC≌△DCB，AC与BD相交于点E，若∠A=∠D=80°，
∠ABC=60°，则∠BEC等于 ．
5．（3分）（2015秋•宁远县期末）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，点D在AC上，
BD=BC，则∠ABD的度数是 ．
6．（3分）（2015秋•宁远县期末）已知a，b为两个连续的整数，且a＞ ＞b，则a+b=
．
7．（3分）（2015秋•宁远县期末）若 ，求 = ．
8．（3分）（2015秋•宁远县期末）不等式组 的解集为3≤x≤6，则不等式ax+b＜0的
解集为 ．
二、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）（2015秋•宁远县期末）下列各式是最简分式的是（ ）
A． B．
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C． D．
10．（3分）（2015秋•宁远县期末）在下列方程①x2﹣x+ ；② ﹣3=a+4；③ +5x=6；④ +
=1中，是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（3分）（2013•内江）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（
）
A．125° B．120° C．140° D．130°
12．（3分）（2015秋•宁远县期末）如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且
S =S ，则AD为（ ）
△ABD △ADC
A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定
13．（3分）（2015秋•宁远县期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
14．（3分）（2015秋•宁远县期末）下列说法正确的是（ ）
A． 的平方根是±2 B． 的立方根是±
C．（﹣6）2的平方根是﹣6 D．﹣4是﹣16的平方根
15．（3分）（2015秋•宁远县期末）不等式9﹣3y≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．（3分）（2015秋•宁远县期末）已知三角形的三边长分别是4，6，x．若x的值为奇数，则x
的取值有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
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17．（3分）（2015秋•宁远县期末）已知不等式组 的解集是x≥2，则（ ）
A．a＜2 B．a=2 C．a＞2 D．a≤2
18．（3分）（2015秋•宁远县期末）函数y= 中x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x≠1 C．x≤3且x≠1D．1＜x≤3
三、解答题（本大题共8个小题，共76分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．（12分）（2015秋•宁远县期末）计算．
（1）解方程：
（2） ．
20．（12分）（2015秋•宁远县期末）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
（1）
（2） ．
21．（6分）（2015秋•宁远县期末）按要求尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，c和∠α．如图所示．
求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α．
22．（12分）（2015秋•宁远县期末）先化简，再求值．
（1）已知 ，并从0≤x≤2中选一个你认为合适的整数x
代入求值．
（2）已知 ，求 的值．
23．（6分）（2010•顺义区）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，
AE⊥BE，垂足为E．
求证：AD=AE．
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24．（8分）（2012•河源）如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，
连接OE．
（1）求证：△AOB≌△DOC；
（2）求∠AEO的度数．
25．（10分）（2015秋•宁远县期末）某商店用2000元购进一批圆规，很快销售一空；商店又用
3500元购进第二批该款圆规，购进时单价比第一批高25%，所购数量比第一批多100个．
（1）求第一批圆规购进时单价是多少？
（2）若商店以每个12元的价格将这两批圆规全部售出，可以盈利多少元？
26．（10分）（2015秋•宁远县期末）某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外
读物准备奖励给他们，如果每人奖4本，则剩余8本；如果每人奖5本，则最后一人得到了课
外读物但不足3本．设该校买了本课外读物，有x名学生获奖．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数．
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2015-2016 学年湖南省永州市宁远县八年级（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2015秋•宁远县期末）计算： = ．
【考点】分式的乘除法．
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【分析】直接利用分式乘除运算法则进而化简求出答案．
【解答】解：
= ×
= ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了分式的除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．
2．（3分）（2015秋•宁远县期末）计算： = ﹣ ．
【考点】分式的加减法．
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【分析】首先把异分母转化成同分母，然后进行加减运算．
【解答】解：原式=
=
=
=﹣ ，
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故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分
子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后
再相加减．
3．（3分）（2015秋•宁远县期末）在实数范围内规定a#b= ﹣ ，若x#（x﹣2）= ，则x= 1
．
【考点】解分式方程．
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【专题】计算题；新定义；转化思想；分式方程及应用．
【分析】先把x#（x﹣2）= ，转化为 ，解该分式方程即可．
【解答】解：∵x#（x﹣2）=
∴
去分母得：x﹣2﹣x=2（x﹣2）
去括号得：x﹣2﹣x=2x﹣4
移项、合并同类项得：2x=2
系数化为1得：x=1
经检验x=1是原分式方程的解．
故答案是：x=1．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法，首先根据新定义转化为分式方程来求解是本题的
关键，题型新颖．
4．（3分）（2014•山西模拟）如图，△ABC≌△DCB，AC与BD相交于点E，若∠A=∠D=80°，
∠ABC=60°，则∠BEC等于 100 ° ．
【考点】全等三角形的性质．
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【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ACB，再根据全等三角形对应角相等可得
∠CBD=∠ACB，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠A=80°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣80°﹣60°=40°，
∵△ABC≌△DCB，
∴∠CBD=∠ACB=40°，
在△BCE中，∠BEC=180°﹣∠CBD﹣∠ACB=180°﹣40°﹣40°=100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟记性质与定理并准确识图是解
题的关键．
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5．（3分）（2015秋•宁远县期末）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，点D在AC上，
BD=BC，则∠ABD的度数是 45 ° ．
【考点】等腰三角形的性质．
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【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠C，再求出∠CBD，然后根据
∠ABD=∠ABC﹣∠CBD代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠C= （180°﹣30°）=75°，
∵BD=BC，
∴∠CBD=180°﹣75°×2=30°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD
=75°﹣30°
=45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识
图是解题的关键．
6．（3分）（2015秋•宁远县期末）已知a，b为两个连续的整数，且a＞ ＞b，则a+b= 1 3
．
【考点】估算无理数的大小．
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【分析】先估算 的范围，即可求出a、b的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵7＞ ＞6，
∴a=7，b=6，
∴a+b=13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，能正确估算出 的范围是解此题的关键．
7．（3分）（2015秋•宁远县期末）若 ，求 = 2 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
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【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：由题意得，3x﹣9=0，3y﹣4=0，
解得x=3，y= ，
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则 = =2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，注意算术
平方根的概念的应用．
8．（3分）（2015秋•宁远县期末）不等式组 的解集为3≤x≤6，则不等式ax+b＜0的
解集为 x ＞ 1 ．
【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式．
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【分析】首先计算出两个不等式的解集x≤﹣a，x ，再根据不等式组 的解集为
3≤x≤6可得 =3，﹣a=6，计算出a、b的值，然后代入ax+b＜0，再解不等式即可．
【解答】解： ，
由①得：x ，
由②得：x≤﹣a，
∵解集为3≤x≤6，
∴ =3，﹣a=6，
解得：b=6，a=﹣6，
把b=6，a=﹣6代入ax+b＜0可得：﹣6x+6＜0，
解得：x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式（组），关键是正确计算出两个不等式的解集，根据
不等式组的解集确定a、b的值．
二、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）（2015秋•宁远县期末）下列各式是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】最简分式．
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【分析】根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可．
【解答】解：A、 ，原式不是最简分式，故本选项错误；
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B、 原式不是最简分式，故本选项错误；
C、 中分子、分母不含公因式，原式是最简分式，故本选项正确；
D、 原式不是最简分式，故本选项错误；
故选C
【点评】此题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
10．（3分）（2015秋•宁远县期末）在下列方程①x2﹣x+ ；② ﹣3=a+4；③ +5x=6；④ +
=1中，是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】分式方程的定义．
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【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
【解答】解：①x2﹣x+ 是代数式；
② ﹣3=a+4是分式方程；
③ +5x=6是一元一次方程；
④ + =1是分式方程，
故选：B．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含
有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
11．（3分）（2013•内江）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（
）
A．125° B．120° C．140° D．130°
【考点】平行线的性质；直角三角形的性质．
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【分析】根据矩形性质得出EF∥GH，推出∠FCD=∠2，代入∠FCD=∠1+∠A求出即可．
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【解答】解：
∵EF∥GH，
∴∠FCD=∠2，
∵∠FCD=∠1+∠A，∠1=40°，∠A=90°，
∴∠2=∠FCD=130°，
故选D．
【点评】本题考查了平行线性质，矩形性质，三角形外角性质的应用，关键是求出∠2=∠FCD
和得出∠FCD=∠1+∠A．
12．（3分）（2015秋•宁远县期末）如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且
S =S ，则AD为（ ）
△ABD △ADC
A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定
【考点】三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．
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【分析】三角形ABD和三角形ACD共用一条高，再根据S =S ，列出面积公式，可得
△ABD △ADC
出BD=CD．
【解答】解：设BC边上的高为h，
∵S =S ，
△ABD △ADC
∴ ，
故BD=CD，即AD是中线．故选C．
【点评】熟记三角形面积公式，并对其进行简单应用．
13．（3分）（2015秋•宁远县期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【考点】角平分线的性质．
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【分析】直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
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∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，得出EC=DE是解题关键．
14．（3分）（2015秋•宁远县期末）下列说法正确的是（ ）
A． 的平方根是±2 B． 的立方根是±
C．（﹣6）2的平方根是﹣6 D．﹣4是﹣16的平方根
【考点】平方根；立方根．
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【分析】根据平方根的定义和立方根的定义判断即可．
【解答】解：A、 的平方根是±2，正确；
B、 的立方根是 ，错误；
C、（﹣6）2的平方根是±6，错误；
D、﹣16没有平方根，错误；
故选A
【点评】此题考查平方根或立方根的问题，关键是根据平方根的定义和立方根的定义解答．
15．（3分）（2015秋•宁远县期末）不等式9﹣3y≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
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【分析】直接解不等式，进而在数轴上表示出解集．
【解答】解：9﹣3y≥3
解得：y≤2，
解集在数轴上表示，如图所示： ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集以及解不等式，正确解不等式是解题关
键．
16．（3分）（2015秋•宁远县期末）已知三角形的三边长分别是4，6，x．若x的值为奇数，则x
的取值有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【考点】三角形三边关系．
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【分析】首先根据三角形的三边关系可得：6﹣4＜x＜6+4，计算出x的范围，再根据x的值为
奇数确定x的值．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：6﹣4＜x＜6+4，
解得：2＜x＜10，
∵x的值为奇数，
∴x=3，5，7，9，共4个，
故选：A．
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【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的
差，而小于两边的和．
17．（3分）（2015秋•宁远县期末）已知不等式组 的解集是x≥2，则（ ）
A．a＜2 B．a=2 C．a＞2 D．a≤2
【考点】解一元一次不等式组．
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【分析】首先计算出不等式①解集，再根据大大取较大可得a的取值范围．
【解答】解： ，
由①得：x≥2，
∵解集是x≥2，
∴a≤2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；
大小小大中间找；大大小小找不到．
18．（3分）（2015秋•宁远县期末）函数y= 中x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x≠1 C．x≤3且x≠1D．1＜x≤3
【考点】函数自变量的取值范围．
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【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出
x的范围．
【解答】解：由题意得，3﹣x≥0且x﹣1＞0，
解得x≤3且x＞1，
所以1＜x≤3．
故选D．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
三、解答题（本大题共8个小题，共76分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．（12分）（2015秋•宁远县期末）计算．
（1）解方程：
（2） ．
【考点】解分式方程；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
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【专题】计算题；方程思想；实数；二次根式；分式方程及应用．
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【分析】（1）因为3﹣x=﹣（x﹣3），所以可确定方程最简公分母为：x﹣3，去分母时要注意符
号变化．
（2）第一项非零数0次幂、第二项根据负指数幂计算、第三项先利用根式性质化简再去绝对
值、第四项用乘方法则可计算．
【解答】解：（1）去分母得：1﹣x﹣2=x﹣3，
移项、合并同类项得：﹣2x=﹣2，
系数化为1得：x=1；
经检验x=1是方程的根，
∴原方程的解为x=1．
（2）解：原式=1+4﹣| |﹣1﹣
=5﹣（6﹣ ）﹣1﹣
=5﹣6+
=
【点评】此题考查了分式方程和实数的运算，熟练掌握解分式方程的步骤和易错点、运算法则
是解本题的关键，属基础题．
20．（12分）（2015秋•宁远县期末）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
（1）
（2） ．
【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式．
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【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）去分母得：3（1﹣3x）+12＜2（5﹣2x）
3﹣9x+12＜10﹣4x
﹣9x+4x＜10﹣3﹣12
﹣5x＜﹣5
x＞1
在数轴上表示不等式的解集为： ；
（2）
∵解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
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在数轴上表示不等式组的解集为： ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式或不等式
组的解集的应用，能求出不等式的解集和不等式组的解集是解此题的关键．
21．（6分）（2015秋•宁远县期末）按要求尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：线段a，c和∠α．如图所示．
求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α．
【考点】作图—复杂作图．
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【分析】首先根据一个角等于已知角的方法作∠B=∠α，再在角的两边分别截取BC=a，AB=c，
再连接AC．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
22．（12分）（2015秋•宁远县期末）先化简，再求值．
（1）已知 ，并从0≤x≤2中选一个你认为合适的整数x
代入求值．
（2）已知 ，求 的值．
【考点】分式的化简求值；二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值．
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【分析】（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计
算即可；
（2）先根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而可得出b的值，根据分式混合运算的法则
把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
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【解答】解：（1）原式=[ ﹣ •
]
= •
= •
= ，
当x=1时，原式= =﹣1；
（2）∵ 与 有意义，
∴a=3，
∴b=5，
∴原式=
= ，
当a=3，b=5时，原式= = ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
23．（6分）（2010•顺义区）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，
AE⊥BE，垂足为E．
求证：AD=AE．
【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．
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【专题】证明题．
【分析】求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB即可．
【解答】证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠ADB=90°，
∵AE⊥EB，
∴∠E=∠ADB=90°，
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∵AB平分∠DAE，
∴∠1=∠2；
在△ADB和△AEB中， ，
∴△ADB≌△AEB（AAS），
∴AD=AE．
【点评】此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先
根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，
再去证什么条件．
24．（8分）（2012•河源）如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，
连接OE．
（1）求证：△AOB≌△DOC；
（2）求∠AEO的度数．
【考点】全等三角形的判定．
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【专题】证明题；压轴题．
【分析】（1）由已知可以利用AAS来判定其全等；
（2）再根据等腰三角形三线合一的性质即可求得其为直角．
【解答】（1）证明：在△AOB和△DOC中
∵
∴△AOB≌△DOC（AAS）
（2）解：∵△AOB≌△DOC，
∴AO=DO
∵E是AD的中点
∴OE⊥AD
∴∠AEO=90°
【点评】此题考查了学生对全等三角形的判定及等腰三角形的性质的掌握，要熟练掌握这些
性质并能灵活运用．
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25．（10分）（2015秋•宁远县期末）某商店用2000元购进一批圆规，很快销售一空；商店又用
3500元购进第二批该款圆规，购进时单价比第一批高25%，所购数量比第一批多100个．
（1）求第一批圆规购进时单价是多少？
（2）若商店以每个12元的价格将这两批圆规全部售出，可以盈利多少元？
【考点】分式方程的应用．
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【分析】（1）首先设第一批圆规的单价是x元，根据题意可得等量关系：第一批圆规的数量
+100=第二批圆规的数量，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）利用第一批圆规的数量×每个的利润+第二批圆规的数量×每个的利润=总利润进行计算．
【解答】解：（1）设第一批圆规的单价是x元，
依题意得 ；
解得x=8；
经检验x=8是方程的根，且符合题意．
答：第一批圆规的单价是8元．
（2）（12﹣8）× +[12﹣8（1+25%） × =1700（元）．
答：盈利1700元． ]
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设
出未知数，列出方程．
26．（10分）（2015秋•宁远县期末）某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外
读物准备奖励给他们，如果每人奖4本，则剩余8本；如果每人奖5本，则最后一人得到了课
外读物但不足3本．设该校买了本课外读物，有x名学生获奖．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数．
【考点】一元一次不等式组的应用．
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【分析】（1）根据每人奖4本，则剩余8本，即本书比学生数的4倍多8，据此即可写出关系式；
（2）如果每人奖5本，则最后一人得到了课外读物但不足3本，即最后一人的本书大于0且小
于3，据此求得x的范围，再根据x是正整数求解．
【解答】解：（1）y=4x+8
（2）根据题意，得 ，
解不等式组，得10＜x＜13；
因为x取正整数，所以x=11或x=12；
当x=11时，y=4x+8=52；
当x=12时，y=4x+8=56；
所以该校有11人获奖，所买课外读物是52本．
或者该校有12人获奖，所买课外读物是56本．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂
题列出不等式关系式即可求解．
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