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2017 年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）﹣2的倒数是（ ）
A．2B．﹣2 C．﹣ D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3m﹣2m=1 B．（m3）2=m6 C．（﹣2m）3=﹣2m3 D．m2+m2=m4
3．（4分）为了贯彻习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，怀化市2016年
共扶贫149700人，将149700用科学记数法表示为（ ）
A．1.497×105 B．14.97×104 C．0.1497×106 D．1.497×106
4．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．要了解某大洋的海水污染质量情况，宜采用全面调查方式
B．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
C．为了解怀化市6月15日到19日的气温变化情况，应制作折线统计图
D．“打开电视，正在播放怀化新闻节目”是必然事件
5．（4分）如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．130° B．50° C．40° D．150°
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（
）
第1页（共23页）A．B．C．D．
7．（4分）若x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x •x 的值是（ ）
1 2 1 2
A．2B．﹣2 C．4D．﹣3
8．（4分）一次函数y=﹣2x+m的图象经过点P（﹣2，3），且与x轴、y轴分别交于
点A、B，则△AOB的面积是（ ）
A．B．C．4D．8
9．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，
则AB的长是（ ）
A．3cmB．6cmC．10cmD．12cm
10．（4分）如图，A，B两点在反比例函数y= 的图象上，C，D两点在反比例函数y=
的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k ﹣k 的值是（
1 2
）
A．6B．4C．3D．2
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
11．（4分）因式分解：m2﹣m= ．
12．（4分）计算： = ．
13．（4分）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，
OE=5cm，则AD的长是 cm．
第2页（共23页）14．（4分）如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB=90°，则阴影部分的面
积为 ．
15．（4分）如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件： ，使得
△ABC≌△DEC．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或
边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重
合）两点间的最短距离为 cm．
三、解答题（本大题共8小题，共86分.解答应写出文字说l明、证明过程或演算步
骤.）
17．（8分）计算：| ﹣1|+（2017﹣π）0﹣（ ）﹣1﹣3tan30°+ ．
18．（8分）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
第3页（共23页）19．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠AED的度数．
20．（10分）为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现
优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球
拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1480元，则最多能
够购买多少副羽毛球拍？
21．（12分）先化简，再求值：（2a﹣1）2﹣2（a+1）（a﹣1）﹣a（a﹣2），其中a= +1．
22．（12分）“端午节”是我国流传了上千年的传统节日，全国各地举行了丰富多
彩的纪念活动，为了继承传统，减缓学生考前的心理压力，某班学生组织了一次
拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪刀、布”的手势方式选择场地位置，规
则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．
（1）用列表或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况；
（2）裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
23．（12分）如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上
一点，且AB=AD，AC=CD．
（1）求证：△ACD∽△BAD；
（2）求证：AD是⊙O的切线．
第4页（共23页）24．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A
（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D
的坐标；
（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，
过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处
时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分
别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．
第5页（共23页）2017 年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）（2017•怀化）﹣2的倒数是（ ）
A．2B．﹣2 C．﹣ D．
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：﹣2得到数是﹣ ，
故选：C．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一数的倒数的关键．
2．（4分）（2017•怀化）下列运算正确的是（ ）
A．3m﹣2m=1 B．（m3）2=m6 C．（﹣2m）3=﹣2m3 D．m2+m2=m4
【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方等计算法则进行解答．
【解答】解：A、原式=（3﹣2）m=m，故本选项错误；
B、原式=m3×2=m6，故本选项正确；
C、原式=（﹣2）3•m3=﹣8m3，故本选项错误；
D、原式=（1+1）m2=2m2，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，属于基础计算题，熟记计
算法则即可解题．
3．（4分）（2017•怀化）为了贯彻习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，怀
化市2016年共扶贫149700人，将149700用科学记数法表示为（ ）
A．1.497×105 B．14.97×104 C．0.1497×106 D．1.497×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
第6页（共23页）动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负
数．
【解答】解：将149700用科学记数法表示为1.497×105，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）（2017•怀化）下列说法中，正确的是（ ）
A．要了解某大洋的海水污染质量情况，宜采用全面调查方式
B．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
C．为了解怀化市6月15日到19日的气温变化情况，应制作折线统计图
D．“打开电视，正在播放怀化新闻节目”是必然事件
【分析】根据调查方式，中位数，折线统计图，随机事件，可得答案．
【解答】解：A、要了解某大洋的海水污染质量情况，宜采用抽样调查，故A不符合
题意；
B、如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是4.5，故B不符合题意；
C、为了解怀化市6月15日到19日的气温变化情况，应制作折线统计图，故C符
合题意；
D、“打开电视，正在播放怀化新闻节目”是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，利用调查方式，中位数，折线统计图，随机事件是解
题关键．
5．（4分）（2017•怀化）如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．130° B．50° C．40° D．150°
【分析】利用平行线的性质得出∠1=∠3=50°，再利用对顶角的定义得出即可．
第7页（共23页）【解答】解：如图：∵直线a∥直线b，∠1=50°，
∴∠1=∠3=50°，
∴∠2=∠3=50°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质的运用，熟练利用平行线的性质是解题关
键．
6．（4分）（2017•怀化）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么
sinα的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】作AB⊥x轴于B，如图，先利用勾股定理计算出OA=5，然后在Rt△AOB中
利用正弦的定义求解．
【解答】解：作AB⊥x轴于B，如图，
∵点A的坐标为（3，4），
∴OB=3，AB=4，
∴OA= =5，
在Rt△AOB中，sinα= = ．
故选C．
第8页（共23页）【点评】本题考查了解直角三角形：充分利用勾股定理和三角函数的定义计算三
角形的边或角．也考查了坐标与图形性质．
7．（4分）（2017•怀化）若x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x •x 的
1 2 1 2
值是（ ）
A．2B．﹣2 C．4D．﹣3
【分析】根据根与系数的关系，即可得出x •x =﹣3，此题得解．
1 2
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
1 2
∴x •x =﹣3．
1 2
故选D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于 是解题的关键．
8．（4分）（2017•怀化）一次函数y=﹣2x+m的图象经过点P（﹣2，3），且与x轴、y
轴分别交于点A、B，则△AOB的面积是（ ）
A．B．C．4D．8
【分析】首先根据待定系数法求得一次函数的解析式，然后计算出与x轴交点，与
y轴交点的坐标，再利用三角形的面积公式计算出面积即可．
【解答】解：∵一次函数y=﹣2x+m的图象经过点P（﹣2，3），
∴3=4+m，
解得m=﹣1，
∴y=﹣2x﹣1，
∵当x=0时，y=﹣1，
∴与y轴交点B（0，﹣1），
∵当y=0时，x=﹣ ，
第9页（共23页）∴与x轴交点A（﹣ ，0），
∴△AOB的面积： ×1× = ．
故选B．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握与x轴相交时
y=0，与y轴相交时，x=0．
9．（4分）（2017•怀化）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∠AOB=60°，AC=6cm，则AB的长是（ ）
A．3cmB．6cmC．10cmD．12cm
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由∠AOB=60°，判
断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3，
故选A．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出
△AOB是等边三角形是解题的关键．
10．（4分）（2017•怀化）如图，A，B两点在反比例函数y= 的图象上，C，D两点在
反比例函数y= 的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则
k ﹣k 的值是（ ）
1 2
第10页（共23页）A．6B．4C．3D．2
【分析】由反比例函数的性质可知 S =S = k ，S =S =﹣ k ，结合
△AOE △BOF 1 △COE △DOF 2
S =S +S 和S =S +S 可求得k ﹣k 的值．
△AOC △AOE △COE △BOD △DOF △BOF 1 2
【解答】解：连接OA、OC、OD、OB，如图：
由反比例函数的性质可知S =S = |k |= k ，S =S = |k |=﹣ k ，
△AOE △BOF 1 1 △COE △DOF 2 2
∵S =S +S ，
△AOC △AOE △COE
∴ AC•OE= ×2OE=OE= （k ﹣k ）…①，
1 2
∵S =S +S ，
△BOD △DOF △BOF
∴ BD•OF= ×（EF﹣OE）= ×（3﹣OE）= ﹣ OE= （k ﹣k ）…②，
1 2
由①②两式解得OE=1，
则k ﹣k =2．
1 2
故选D．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构
建方程组解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
11．（4分）（2017•怀化）因式分解：m2﹣m= m （ m﹣ 1 ） ．
第11页（共23页）【分析】式子的两项含有公因式m，提取公因式即可分解．
【解答】解：m2﹣m=m（m﹣1）
故答案是：m（m﹣1）．
【点评】本题主要考查了提取公因式分解因式，正确确定公因式是解题的关键．
12．（4分）（2017•怀化）计算： = x + 1 ．
【分析】本题考查了分式的加减运算．解决本题主要是因式分解，然后化简．
【解答】解：原式= ．故答案为x+1．
【点评】此题的关键是运用平方差公式进行因式分解．分解后再化简，即x2﹣1=
（x+1）（x﹣1）．
13．（4分）（2017•怀化）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB
的中点，OE=5cm，则AD的长是 1 0 cm．
【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分BD，则OE是三角形ABD的中位
线，则AD=2OE，继而求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，
∵点E是AB的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴AD=2OE，
∵OE=5cm，
∴AD=10cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，属于基础题，比较
容易解答．
第12页（共23页）14．（4分）（2017•怀化）如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB=90°，则
阴影部分的面积为 π﹣ 2 ．
【分析】根据∠AOB=90°，OA=OB可知△OAB是直角三角形，根据S =S ﹣
阴影 扇形OAB
S 即可得出结论．
△OAB
【解答】解：∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴△OAB是等腰直角三角形．
∵OA=2，
∴S =S ﹣S = ﹣ ×2×2=π﹣2．
阴影 扇形OAB △OAB
故答案为π﹣2．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
15．（4分）（2017•怀化）如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件： AB=D E
，使得△ABC≌△DEC．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC=DC，BC=EC，具备了两组边对应相等，
利用SSS即可判定两三角形全等了．
【解答】解：添加条件是：AB=DE，
在△ABC与△DEC中， ，
∴△ABC≌△DEC．
故答案为：AB=DE．本题答案不唯一．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，此题
第13页（共23页）难度不大，属于基础题．
16．（4分）（2017•怀化）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这
个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A
（P ，A两点不重合）两点间的最短距离为 1 0 ﹣10 cm．
【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PB为底．③若以边PC为底．
分别求出PD的最小值，即可判断．
【解答】解：连接BD，在菱形ABCD中，
∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，
∴∠A=∠C=60°，
∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此
时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点
P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；
②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交
于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在
AC上时，AP最小，最小值为10 ﹣10；
③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点
A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足
题意，故此种情况不存在；
综上所述，PD的最小值为10 ﹣10（cm）；
故答案为：10 ﹣10．
第14页（共23页）【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知
识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8小题，共86分.解答应写出文字说l明、证明过程或演算步
骤.）
17．（8分）（2017•怀化）计算：| ﹣1|+（2017﹣π）0﹣（ ）﹣1﹣3tan30°+ ．
【分析】﹣1是正数，所以它的绝对值是本身，任何非零（不为零的）数的零次幂都
是1， =4，tan30°= ， 表示8的立方根，是2，分别代入计算可得结果．
【解答】解：| ﹣1|+（2017﹣π）0﹣（ ）﹣1﹣3tan30°+ ，
= ﹣1+1﹣4﹣3× +2，
= ﹣4﹣ +2，
=﹣2．
【点评】本题考查了实数的有关计算，此类题属于常考题型，要熟记特殊角的三角
函数值，掌握绝对值、零次幂、负整数幂的计算公式，并注意运算顺序．
18．（8分）（2017•怀化）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得x＜3．
解不等式②，得x≥﹣1．
所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜3．
它的解集在数轴上表示出来为：
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求
出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示
第15页（共23页）不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小
找不到．
19．（10分）（2017•怀化）如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠AED的度数．
【分析】（1）根据正方形、等边三角形的性质，可以得到 AB=BE=CE=CD，
∠ABE=∠DCE=30°，由此即可证明；
（2）只要证明∠EAD=∠ADE=15°，即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△ABC是等边三角形，
∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ECD=30°，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
（2）∵BA=BE，∠ABE=30°，
∴∠BAE= （180°﹣30°）=75°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAD=90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE=15°，
∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°．
第16页（共23页）【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形 的判定和性质、等边三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．属于中考常考题型
20．（10分）（2017•怀化）为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识
竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购
买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍
共需204元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1480元，则最多能
够购买多少副羽毛球拍？
【分析】（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由购买2副乒乓球拍
和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元，可
得出方程组，解出即可．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，根据购买足球和篮球的
总费用不超过1480元建立不等式，求出其解即可．
【解答】解：（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，
由题意得， ，
解得： ．
答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，
由题意得，60a+28（30﹣a）≤1480，
解得：a≤20，
答：这所中学最多可购买20副羽毛球拍．
【点评】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解答本题的关键
第17页（共23页）是仔细审题，找到等量关系及不等关系，难度一般．
21．（12分）（2017•怀化）先化简，再求值：（2a﹣1）2﹣2（a+1）（a﹣1）﹣a（a﹣2），
其中a= +1．
【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，
去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=4a2﹣4a+1﹣2a2+2﹣a2+2a=a2﹣2a+3，
当a= +1时，原式=3+2 ﹣2 ﹣2+3=4．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
22．（12分）（2017•怀化）“端午节”是我国流传了上千年的传统节日，全国各地
举行了丰富多彩的纪念活动，为了继承传统，减缓学生考前的心理压力，某班学
生组织了一次拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪刀、布”的手势方式选
择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．
（1）用列表或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况；
（2）裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【分析】（1）依据题意用列表法或画树状图法分析所有可能的出现结果；
（2）根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．
【解答】解：（1）用列表法得出所有可能的结果如下：
甲 乙
石头 剪刀 布
石 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布）
头
剪 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布）
子
布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布）
用树状图得出所有可能的结果如下：
第18页（共23页）（2）裁判员的这种作法对甲、乙双方是公平的．
理由：根据表格得，P（甲获胜）= ，P（乙获胜）= ．
∵P（甲获胜）=P（乙获胜），
∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为
概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（12分）（2017•怀化）如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一
点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．
（1）求证：△ACD∽△BAD；
（2）求证：AD是⊙O的切线．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到
△ACD∽△BAD；
（2）连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC
是⊙O的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AB=AD，
∴∠B=∠D，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D，
第19页（共23页）∴∠CAD=∠B，
∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△BAD；
（2）连接OA，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠OAB=∠CAD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的性质，
圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（14分）（2017•怀化）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5
与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D
的坐标；
（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，
过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处
时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分
别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．
第20页（共23页）【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；
（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；
（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可
求出最大值；
（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，
（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，
∴C（0，﹣5），
∴OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴AB=6，BC=5 ，
要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有 或 ，
①当 时，
CD=AB=6，
∴D（0，1），
②当 时，
∴ ，
∴CD= ，
第21页（共23页）∴D（0， ），
即：D的坐标为（0，1）或（0， ）；
（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），
∵CE∥x轴，
∴点E的纵坐标为﹣5，
∵E在抛物线上，
∴x2﹣4x﹣5=﹣5，
∴x=0（舍）或x=4，
∴E（4，﹣5），
∴CE=4，
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴直线BC的解析式为y=x﹣5，
∴F（t，t﹣5），
∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣ ）2+ ，
∵CE∥x轴，HF∥y轴，
∴CE⊥HF，
∴S = CE•HF=﹣2（t﹣ ）2+ ，
四边形CHEF
当t= 时，四边形CHEF的面积最大为 ．
当t= 时，t2﹣4t﹣5= ﹣10﹣5=﹣ ，
∴H（ ，﹣ ）；
（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，
∴K（2，﹣9），
∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），
∵M（4，m）在抛物线上，
∴M（4，﹣5），
∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），
∴直线K'M'的解析式为y= x﹣ ，
∴P（ ，0），Q（0，﹣ ）．
第22页（共23页）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性
质，四边形的面积的计算方法，对称性，极值的确定，解（2）的关键是分类讨论，解
（3）的关键是表示出HF，解（4）的关键是利用对称性找出点P，Q的位置，是一道
中等难度的题目．
第23页（共23页）
