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2017 年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的）
1．（3分）（ ）﹣2的相反数是（ ）
A．9B．﹣9 C．D．﹣
2．（3 分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为 0.00000032mm，数据
0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.2×107B．3.2×108C．3.2×10﹣7 D．3.2×10﹣8
3．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同
的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）某兴趣小组为了解我市气温变化情况，记录了今年1月份连续6天的最
低气温（单位：℃）：﹣7，﹣4，﹣2，1，﹣2，2．关于这组数据，下列结论不正确的是
（ ）
A．平均数是﹣2B．中位数是﹣2C．众数是﹣2 D．方差是7
5．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，
若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
6．（3分）如图，函数y =﹣2x与y =ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不
1 2
等式﹣2x＞ax+3的解集是（ ）
第1页（共26页）A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
7．（3分）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC
上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A．（0，）B．（0，）C．（0，2）D．（0， ）
8．（3分）一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一个平面直角坐标系中的图象
如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）分解因式：x3﹣x= ．
10．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值
第2页（共26页）是 ．
11．（3分）菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为 cm2．
12．（3分）一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm2，则此扇形的半径长为
．
13．（3分）直线y=kx（k＞0）与双曲线y= 交于A（x ，y ）和B（x ，y ）两点，则3x y
1 1 2 2 1 2
﹣9x y 的值为 ．
2 1
14．（3分）如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB O 的位
1 1
置，使点B的对应点B 落在直线y=﹣ x上，再将△AB O 绕点B 逆时针旋转到
1 1 1 1
△A B O 的位置，使点O 的对应点O 落在直线y=﹣ x上，依次进行下去…若点B
1 1 2 1 2
的坐标是（0，1），则点O 的纵坐标为 ．
12
三、解答题（共10小题，共78分）
15．（6分）计算：﹣12﹣|3﹣ |+2 sin45°﹣（ ﹣1）2．
16．（6分）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中x是不等式组 的整数解．
17．（6分）如图，E是 ▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，
若CD=6，求BF的长．
18．（6分）如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知
道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后
第3页（共26页）到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度
CD．
19．（7分）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够
及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单
价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩
具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
20．（7分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象在第一象限交于A、B
两点，B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，
若OC=CA．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
21．（10分）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的部分商业连锁店进行评估
将抽取的各商业连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，并绘制了如图
不完整的扇形统计图和条形统计图．
第4页（共26页）根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次评估随机抽取了多少家商业连锁店？
（2）请补充完整扇形统计图和条形统计图，并在图中标注相应数据；
（3）从A、B两个等级的商业连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家
是A等级的概率．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，
连接BC．
（1）求证：∠BAC=∠CBP；
（2）求证：PB2=PC•PA；
（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．
23．（10分）正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连
接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．
（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF=MN；
（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从
第5页（共26页）点B出发，以 cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s．
①设BF=y cm，求y关于t的函数表达式；
②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴
正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，
垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交
抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
第6页（共26页）2017 年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的）
1．（3分）（2017•菏泽）（ ）﹣2的相反数是（ ）
A．9B．﹣9 C．D．﹣
【分析】先将原数求出，然后再求该数的相反数．
【解答】解：原数=32=9，
∴9的相反数为：﹣9；
故选（B）
【点评】本题考查负整数指数幂的意义，解题的关键正确理解负整数指数幂的意
义，本题属于基础题型．
2．（3分）（2017•菏泽）生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数
据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.2×107B．3.2×108C．3.2×10﹣7 D．3.2×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000032=3.2×10﹣7；
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|
＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2017•菏泽）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图
与俯视图相同的是（ ）
第7页（共26页）A． B． C． D．
【分析】根据图形、找出几何体的左视图与俯视图，判断即可．
【解答】解：A、左视图是两个正方形，俯视图是三个正方形，不符合题意；
B、左视图与俯视图不同，不符合题意；
C、左视图与俯视图相同，符合题意；
D左视图与俯视图不同，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由几何体判断三视图，考查了空间想象能力，解答此题的
关键是要明确：由几何体想象三视图的形状，应分别根据几何体的前面、上面和
左侧面的形状想象主视图、俯视图和左视图．
4．（3分）（2017•菏泽）某兴趣小组为了解我市气温变化情况，记录了今年1月份
连续6天的最低气温（单位：℃）：﹣7，﹣4，﹣2，1，﹣2，2．关于这组数据，下列结
论不正确的是（ ）
A．平均数是﹣2B．中位数是﹣2C．众数是﹣2 D．方差是7
【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的定义，依次计算各选项即可作出判断．
【解答】解：A、平均数是﹣2，结论正确，故A不符合题意；
B、中位数是﹣2，结论正确，故B不符合题意；
C、众数是﹣2，结论正确，故C不符合题意；
D、方差是9，结论错误，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数及方差的知识，属于基础题，掌握各部分
的定义及计算方法是解题关键．
5．（3分）（2017•菏泽）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到
△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（ ）
第8页（共26页）A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据
等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的内角和定理可得结果．
【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC=A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CA′A=45°，∠CA′B′=20°=∠BAC
∴∠BAA′=180°﹣70°﹣45°=65°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外
角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键
6．（3分）（2017•菏泽）如图，函数y =﹣2x与y =ax+3的图象相交于点A（m，2），
1 2
则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等
式﹣2x＞ax+3的解集即可．
【解答】解：∵函数y =﹣2x过点A（m，2），
1
∴﹣2m=2，
第9页（共26页）解得：m=﹣1，
∴A（﹣1，2），
∴不等式﹣2x＞ax+3的解集为x＜﹣1．
故选D．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
7．（3分）（2017•菏泽）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的
中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A．（0，）B．（0，）C．（0，2）D．（0， ）
【分析】作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，则此时，△ADE的周长最
小，根据A的坐标为（﹣4，5），得到A（′ 4，5），B（﹣4，0），D（﹣2，0），求出直线
DA′的解析式为y= x+ ，即可得到结论．
【解答】解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，
则此时，△ADE的周长最小，
∵四边形ABOC是矩形，
∴AC∥OB，AC=OB，
∵A的坐标为（﹣4，5），
∴A′（4，5），B（﹣4，0），
∵D是OB的中点，
∴D（﹣2，0），
设直线DA′的解析式为y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线DA′的解析式为y= x+ ，
第10页（共26页）当x=0时，y= ，
∴E（0， ），
故选B．
【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴
对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边
之和大于第三边．
8．（3分）（2017•菏泽）一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一个平面直角坐标
系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c
＜0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=﹣ ＞0，与y
轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=﹣ ＞0，与y轴的交点在y轴
负半轴．
故选A．
第11页（共26页）【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根
据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＜0是解题的
关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）（2017•天水）分解因式：x3﹣x= x （ x + 1 ）（ x﹣1 ） ．
【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
【解答】解：x3﹣x，
=x（x2﹣1），
=x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差
公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
10．（3分）（2017•菏泽）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是
0，则k的值是 0 ．
【分析】由于方程的一个根是0，把x=0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x
的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．
【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，
把x=0代入方程，得k2﹣k=0，
解得，k =1，k =0
1 2
当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，
方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0不是关于x的二次方程，故k≠1．
所以k的值是0．
故答案为：0
【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键
是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等
于0这个条件．
11．（3分）（2017•菏泽）菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为
第12页（共26页）18 cm2．
【分析】根据菱形的性质以及锐角三角函数关系得出BE的长，即可得出菱形的面
积．
【解答】解：如图所示：过点B作BE⊥DA于点E
∵菱形ABCD中，其周长为24cm，
∴AB=AD=6cm，
∴BE=AB•sin60°=3 cm，
∴菱形ABCD的面积S=AD•BE=18 cm2．
故答案为：18 ．
【点评】此题主要考查了菱形的面积以及其性质，得出AE的长是解题关键．
12．（3分）（2017•菏泽）一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm2，则此扇形的
半径长为 3 cm ．
【分析】根据扇形的面积公式S= 即可求得半径．
【解答】解：设该扇形的半径为R，则 =15π，
解得R=3 ．
即该扇形的半径为3 cm．
故答案是：3 cm．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．正确理解公式是关键．
13．（3分）（2017•菏泽）直线y=kx（k＞0）与双曲线y= 交于A（x ，y ）和B（x ，y ）
1 1 2 2
两点，则3x y ﹣9x y 的值为 3 6 ．
1 2 2 1
【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征，两交点坐标关于原点对称，故x =﹣
1
x ，y =﹣y ，再代入3x y ﹣9x y 得出答案．
2 1 2 1 2 2 1
【解答】解：由图象可知点A（x ，y ），B（x ，y ）关于原点对称，
1 1 2 2
∴x =﹣x ，y =﹣y ，
1 2 1 2
第13页（共26页）把A（x ，y ）代入双曲线y= ，得x y =6，
1 1 1 1
∴3x y ﹣9x y
1 2 2 1
=﹣3x y +9x y
1 1 1 1
=﹣18+54
=36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数交点问题，解决问题的关键是应用
两交点坐标关于原点对称．
14．（3分）（2017•菏泽）如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到
△AB O 的位置，使点B的对应点B 落在直线y=﹣ x上，再将△AB O 绕点B 逆时
1 1 1 1 1 1
针旋转到△A B O 的位置，使点O 的对应点O 落在直线y=﹣ x上，依次进行下
1 1 2 1 2
去…若点B的坐标是（0，1），则点O 的纵坐标为 9 + 3 ．
12
【分析】观察图象可知，O 在直线y=﹣ x时，OO =6•OO =6（1+ +2）=18+6 ，由此
12 12 2
即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知，O 在直线y=﹣ x时，
12
OO =6•OO =6（1+ +2）=18+6 ，
12 2
∴O 的横坐标=﹣（18+6 ）•cos30°=﹣9﹣9 ，
12
O 的纵坐标= OO =9+3 ，
12 12
故答案为9+3 ．
【点评】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标、一次函数的性质等知识，
解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型．
第14页（共26页）三、解答题（共10小题，共78分）
15．（6分）（2017•菏泽）计算：﹣12﹣|3﹣ |+2 sin45°﹣（ ﹣1）2．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和完全平方公式分别化
简求出答案．
【解答】解：原式=﹣1﹣（ ﹣3）+2 × ﹣（2017+1﹣2 ）
=﹣1+3﹣ + ﹣2018+2
=﹣2016+2 ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值，正确化
简各数是解题关键．
16．（6分）（2017•菏泽）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中x是不等式组 的整
数解．
【分析】解不等式组，先求出满足不等式组的整数解．化简分式，把不等式组的整
数解代入化简后的分式，求出其值．
【解答】解：不等式组
解①，得x＜3；
解②，得x＞1．
∴不等式组的解集为1＜x＜3．
∴不等式组的整数解为x=2．
∵（1+ ）÷
=
=4（x﹣1）．
当x=2时，原式=4×（2﹣1）
=4．
【点评】本题考察了解一元一次不等式组、分式的化简求值．求出不等式组的整数
解是解决本题的关键．
17．（6分）（2017•菏泽）如图，E是 ▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA
的延长线于F，若CD=6，求BF的长．
第15页（共26页）【分析】由平行四边形的性质得出 AB=CD=6，AB∥CD，由平行线的性质得出
∠F=∠DCE，由AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF=CD=6，即可求出BF的长．
【解答】解：∵E是 ▱ABCD的边AD的中点，
∴AE=DE，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AB∥CD，
∴∠F=∠DCE，
在△AEF和△DEC中， ，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD=6，
∴BF=AB+AF=12．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度
不大，证明三角形全等是解决问题的关键．
18．（6分）（2017•菏泽）如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①
号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的
仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计
算⑪号楼的高度CD．
【分析】作AE⊥CD，用BD可以分别表示DE，CD的长，根据CD﹣DE=AB，即可求得
BC的长，即可解题．
【解答】解：作AE⊥CD，
第16页（共26页）∵CD=BD•tan60°= BD，CE=BD•tan30°= BD，
∴AB=CD﹣CE= BD，
∴BD=21 m，
CD=BD•tan60°= BD=63m．
答：⑪建筑物的高度CD为63m．
【点评】本题考查了直角三角形中三角函数的应用，考查了特殊角的三角函数值，
本题中求的BD的长是解题的关键．
19．（7分）（2017•菏泽）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够
及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单
价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩
具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
【分析】根据单件利润×销售量=总利润，列方程求解即可．
【解答】解：设销售单价为x元，
由题意，得：（x﹣360）[160+2（480﹣x）]=20000，
整理，得：x2﹣920x+211600=0，
解得：x =x =460，
1 2
答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用、一元二次方程的解法，理解题意找到
题目蕴含的相等关系列出方程是解题的关键．
20．（7分）（2017•菏泽）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象在第一象
限交于A、B两点，B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，
交OA于C，若OC=CA．
第17页（共26页）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，
再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴交BD于E，
∵点B（3，2）在反比例函数y= 的图象上，
∴a=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为y= ，
∵B（3，2），
∴EF=2，
∵BD⊥y轴，OC=CA，
∴AE=EF= AF，
∴AF=4，
∴点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y= 图象上，
∴A（ ，4），
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的表达式为y=﹣ x+6；
（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，
∵B（3，2），
∴直线OB的解析式为y= x，
∴G（ ，1），
A（ ，4），
第18页（共26页）∴AG=4﹣1=3，
∴S =S +S = ×3×3= ．
△AOB △AOG △ABG
【点评】此题主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，三角形的中位线，解本
题的关键是用待定系数法求出直线AB的解析式．
21．（10分）（2017•菏泽）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的部分商业连
锁店进行评估，将抽取的各商业连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，
并绘制了如图不完整的扇形统计图和条形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次评估随机抽取了多少家商业连锁店？
（2）请补充完整扇形统计图和条形统计图，并在图中标注相应数据；
（3）从A、B两个等级的商业连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家
是A等级的概率．
第19页（共26页）【分析】（1）根据A级的店数和所占的百分比求出总店数；
（2）求出B级的店数所占的百分比，补全图形即可；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）2÷8%=25（家），
即本次评估随机抽取了25家商业连锁店；
（2）25﹣2﹣15﹣6=2，2÷25×100%=8%，
补全扇形统计图和条形统计图，
如图所示：
（3）画树状图，
共有12个可能的结果，至少有一家是A等级的结果有10个，
∴P（至少有一家是A等级）= = ．
【点评】本题考查的列表法和树状图法、概率公式、条形统计图和扇形统计图的综
合运用，读懂统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图
直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（10分）（2017•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA
交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：∠BAC=∠CBP；
（2）求证：PB2=PC•PA；
（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．
第20页（共26页）【分析】（1）根据已知条件得到∠ACB=∠ABP=90°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，
∴∠ACB=∠ABP=90°，
∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90°，
∴∠BAC=∠CBP；
（2）∵∠PCB=∠ABP=90°，
∠P=∠P，
∴△ABP∽△BCP，
∴ ，
∴PB2=PC•PA；
（3）∵PB2=PC•PA，AC=6，CP=3，
∴PB2=9×3=27，
∴PB=3 ，
∴sin∠PAB= = = ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理，三角函
数的定义，正确的识别图形是解题的关键．
第21页（共26页）23．（10分）（2017•菏泽）正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD
上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于
点N．
（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF=MN；
（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从
点B出发，以 cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s．
①设BF=y cm，求y关于t的函数表达式；
②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠BAD=90°，由垂直的定义得到
∠AHM=90°，由余角的性质得到∠BAF=∠AMH，根据全等三角形的性质即可得到
结论；
（2）①根据勾股定理得到BD=6 ，由题意得，DM=t，BE= t，求得AM=6﹣t，DE=6 ﹣
t，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
②根据已知条件得到AN=2，BN=4，根据相似三角形的性质得到BF= ，由①求得
BF= ，得方程 = ，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵MN⊥AF，
∴∠AHM=90°，
∴∠BAF+∠MAH=∠MAH+∠AMH=90°，
∴∠BAF=∠AMH，
在△AMN与△ABF中， ，
∴△AMN≌△ABF，
∴AF=MN；
第22页（共26页）（2）①∵AB=AD=6，
∴BD=6 ，
由题意得，DM=t，BE= t，
∴AM=6﹣t，DE=6 ﹣ t，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△FBE，
∴ ，即 ，
∴y= ；
②∵BN=2AN，
∴AN=2，BN=4，
由（1）证得∠BAF=∠AMN，∵∠ABF=∠MAN=90°，
∴△ABF∽△AMN，
∴ = ，即 = ，
∴BF= ，
由①求得BF= ，
∴ = ，
∴t=2，
∴BF=3，
∴FN= =5cm．
【点评】本题主要考查正方形的性质和相似三角形、全等三角形的判定和性质、勾
股定理等知识点的综合应用．
24．（10分）（2017•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴
于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点
D作DC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交
抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N
第23页（共26页）为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把B（4，0），点D（3，）代入y=ax2+bx+1即可得出抛物线的解析式；
（2）先用含t的代数式表示P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM的面
积与t的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM面积的最大值；
（3）若四边形DCMN为平行四边形，则有MN=DC，故可得出关于t的二元一次方
程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）把点B（4，0），点D（3，），代入y=ax2+bx+1中得， ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为y=﹣ x2+ x+1；
（2）设直线AD的解析式为y=kx+b，
∵A（0，1），D（3， ），
∴ ，
∴ ，
∴直线AD的解析式为y= x+1，
设P（t，0），
∴M（t， t+1），
∴PM= t+1，
∵CD⊥x轴，
∴PC=3﹣t，
∴S = PC•PM= （3﹣t）（ t+1），
△PCM
∴S =﹣ t2+ t+ =﹣ （t﹣ ）2+ ，
△PCM
∴△PCM面积的最大值是 ；
（3）∵OP=t，
第24页（共26页）∴点M，N的横坐标为t，
设M（t， t+1），N（t，﹣ t2+ t+1），
∴|MN|=|﹣ t2+ t+1﹣ t﹣1|=|﹣ t2+ t|，CD= ，
如图1，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN=CD，即﹣ t2+ t= ，
∵△=﹣39，
∴方程﹣ t2+ t= 无实数根，
∴不存在t，
如图2，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN=CD，即 t2﹣ t= ，
∴t= ，（负值舍去），
∴当t= 时，以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、平行四边形的
判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数
的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用．
第25页（共26页）第26页（共26页）
