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2017 年山东省滨州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请
把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题
涂对得3分，满分36分）
1．（3分）计算﹣（﹣1）+|﹣1|，其结果为（ ）
A．﹣2 B．2C．0D．﹣1
2．（3分）一元二次方程x2﹣2x=0根的判别式的值为（ ）
A．4B．2C．0D．﹣4
3．（3分）如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么下列结
论错误的是（ ）
A．∠BAO与∠CAO相等B．∠BAC与∠ABD互补
C．∠BAO与∠ABO互余D．∠ABO与∠DBO不等
4．（3分）下列计算：（1） =2，（2） =2，（3）（﹣2 ）2=12，（4）（ + ）（ ﹣ ）=﹣1，
其中结果正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（3分）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A．B．2 C．D．1
6．（3分）分式方程 ﹣1= 的解为（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．无解D．x=﹣2
7．（3分）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且
BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
第1页（共25页）A．2+ B．2 C．3+ D．3
8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的
大小为（ ）
A．40° B．36° C．30° D．25°
9．（3分）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天
生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好
使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．22x=16（27﹣x）B．16x=22（27﹣x）C．2×16x=22（27﹣x）D ． 2×22x=16
（27﹣x）
10．（3分）若点M（﹣7，m）、N（﹣8，n）都在函数y=﹣（k2+2k+4）x+1（k为常数）的
图象上，则m和n的大小关系是（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m=n D．不能确定
11．（3分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB
互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，
则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积
不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
12．（3分）在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），
并分别与直线y=x和双曲线y= 相交于点A、B，且AC+BC=4，则△OAB的面积为（
）
A．2 +3或2 ﹣3B． +1或 ﹣1 C．2 ﹣3 D． ﹣1
第2页（共25页）二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分
13．（4分）计算： +（ ﹣3）0﹣|﹣ |﹣2﹣1﹣cos60°= ．
14．（4分）不等式组 的解集为 ．
15．（4分）在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2，3）、D（1，0），现以原
点为位似中心，将线段 CD 放大得到线段 AB．若点 D 的对应点 B 在 x 轴上且
OB=2，则点C的对应点A的坐标为 ．
16．（4分）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E
处，EQ与BC相交于点F，若AB=6，AD=8，AE=4，则△EBF周长的大小为 ．
17．（4分）如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，则这个几何体
表面积的大小为 ．
18．（4分）观察下列各式： = ﹣ ；
= ﹣ ；
= ﹣ ；
…
请利用你所得结论，化简代数式： + + +…+ （n≥3且n为整数），其结果为
．
三、解答题（本大题共6个小题，满分60分，解答时请写出必要的盐推过程）
19．（8分）（1）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）
第3页（共25页）（2）利用所学知识以及（1）所得等式，化简代数式 ÷ ．
20．（9分）根据要求，解答下列问题：
①方程x2﹣2x+1=0的解为 ；
②方程x2﹣3x+2=0的解为 ；
③方程x2﹣4x+3=0的解为 ；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x =1，x =n．
1 2
（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
21．（9分）为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势情况，现从中随机抽取6株，
并测得它们的株高（单位：cm）如下表所示：
甲 63 66 63 61 64 61
乙 63 65 60 63 64 63
（1）请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐？
（2）现将进行两种小麦优良品种杂交实验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机
抽取一株进行配对，以预估整体配对情况，请你用列表法或画树状图的方法，求
所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率．
22．（10分）如图，在 ▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再
分别以点B、F为圆心，大于 BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延
长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．
（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若菱形ABEF的周长为16，AE=4 ，求∠C的大小．
23．（10分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外
接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
第4页（共25页）（2）求证：DE2=DF•DA．
24．（14分）如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B
（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．
（1）求直线y=kx+b的函数解析式；
（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为
d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求
CE+EF的最小值．
第5页（共25页）2017 年山东省滨州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请
把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题
涂对得3分，满分36分）
1．（3分）（2017•滨州）计算﹣（﹣1）+|﹣1|，其结果为（ ）
A．﹣2 B．2C．0D．﹣1
【分析】根据有理数的加法和绝对值可以解答本题．
【解答】解：﹣（﹣1）+|﹣1|
=1+1
=2，
故选B．
【点评】本题考查有理数的加法和绝对值，解答本题的关键是明确有理数加法的
计算方法．
2．（3分）（2017•滨州）一元二次方程x2﹣2x=0根的判别式的值为（ ）
A．4B．2C．0D．﹣4
【分析】直接利用判别式的定义，计算△=b2﹣4ac即可．
【解答】解：△=（﹣2）2﹣4×1×0=4．
故选A．
【点评】本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判
断方程的根的情况．
3．（3分）（2017•滨州）如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分
线，那么下列结论错误的是（ ）
第6页（共25页）A．∠BAO与∠CAO相等B．∠BAC与∠ABD互补
C．∠BAO与∠ABO互余D．∠ABO与∠DBO不等
【分析】根据平行线的性质和平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，
∴∠BAO与∠CAO相等，∠ABO与∠DBO相等，
∴∠BAO与∠ABO互余，
故选D．
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是
解题的关键．
4．（3分）（2017•滨州）下列计算：（1） =2，（2） =2，（3）（﹣2 ）2=12，（4）（ + ）
（ ﹣ ）=﹣1，其中结果正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据二次根式的性质对（1）、（2）、（3）进行判断；根据平方差公式对（4）进
行判断．
【解答】解：：（1） =2，
（2） =2，
（3）（﹣2 ）2=12，
（4）（ + ）（ ﹣ ）=2﹣3=﹣1．
故选D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，
然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
5．（3分）（2017•滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
第7页（共25页）A．B．2 C．D．1
【分析】根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴OE= OA= ．
故选A．
【点评】本题考查的是正方形和圆、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解
题的关键是根据题意画出图形，利用勾股定理是解答此题的关键，属于中考常考
题型．
6．（3分）（2017•滨州）分式方程 ﹣1= 的解为（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．无解D．x=﹣2
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值
经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，
整理得：2x﹣x+2=3
解得：x=1，
检验：把x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，
所以分式方程的无解．
故选C．
第8页（共25页）【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．（3分）（2017•滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线
上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函
数的定义求tan∠DAC的值．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，BC= = AC．
∵BD=BA，
∴DC=BD+BC=（2+ ）AC，
∴tan∠DAC= = =2+ ．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题．
8．（3分）（2017•滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，
BD=BA，则∠B的大小为（ ）
A．40° B．36° C．30° D．25°
【分析】根据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得
∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
第9页（共25页）【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CD=DA，
∴∠C=∠DAC，
∵BA=BD，
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
故选B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三
角形内角和定理和方程思想的应用．
9．（3分）（2017•滨州）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的
产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人
生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（
）
A．22x=16（27﹣x）B．16x=22（27﹣x）C．2×16x=22（27﹣x）D ． 2×22x=16
（27﹣x ）
【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓
和螺母按1：2配套，可得出方程．
【解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，
∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，
∴可得2×22x=16（27﹣x）．
故选D．
【点评】本题考查了根据实际问题抽象一元一次方程，要保证配套，则生产的螺母
的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺母
数量．
10．（3分）（2017•滨州）若点M（﹣7，m）、N（﹣8，n）都在函数y=﹣（k2+2k+4）x+1
第10页（共25页）（k为常数）的图象上，则m和n的大小关系是（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m=n D．不能确定
【分析】根据一次函数的变化趋势即可判断m与n的大小．
【解答】解：∵k2+2k+4=（k+1）2+3＞0
∴﹣（k2+2k+4）＜0，
∴该函数是y随着x的增大而减少，
∵﹣7＞﹣8，
∴m＜n，
故选（B）
【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是判断k2+2k+4与0的大小关系，
本题属于中等题型．
11．（3分）（2017•滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且
∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB
相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四
边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】如图作 PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F．只要证明△POE≌△POF，
△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
第11页（共25页）∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S =S ，
△PEM △PNF
∴S =S =定值，故（3）正确，
四边形PMON 四边形PEOF
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选B．
【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题
型．
12．（3分）（2017•滨州）在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在
原点的右侧），并分别与直线 y=x和双曲线y= 相交于点A、B，且AC+BC=4，则
△OAB的面积为（ ）
A．2 +3或2 ﹣3B． +1或 ﹣1 C．2 ﹣3 D． ﹣1
第12页（共25页）【分析】根据题意表示出AC，BC的长，进而得出等式求出m的值，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：设点C的坐标为（m，0），则A（m，m），B（m，），
所以AC=m，BC= ．
∵AC+BC=4，
∴可列方程m+ =4，
解得：m=2± ．
故 =2± ，
所以A（2+ ，2+ ），B（2+ ，2﹣ ）或A（2﹣ ，2﹣ ），B（2﹣ ，2+ ），
∴AB=2 ．
∴△OAB的面积= ×2 ×（2± ）=2 ±3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确表示出各线段长是
解题关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分
13．（4分）（2017•滨州）计算： +（ ﹣3）0﹣|﹣ |﹣2﹣1﹣cos60°= ﹣ ．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算．
【解答】解：原式= +1﹣2 ﹣ ﹣
=﹣ ．
故答案为﹣ ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，
然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
第13页（共25页）14．（4分）（2017•滨州）不等式组 的解集为 ﹣ 7 ≤ x ＜ 1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大
中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）＞4，得：x＜1，
解不等式 ≤ ，得：x≥﹣7，
则不等式组的解集为﹣7≤x＜1，
故答案为：﹣7≤x＜1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答
此题的关键．
15．（4分）（2017•滨州）在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2，3）、D
（1，0），现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB．若点D的对应点B在
x轴上且OB=2，则点C的对应点A的坐标为 （ 4 ， 6 ）或（﹣ 4 ，﹣ 6 ） ．
【分析】根据位似变换的定义，画出图形即可解决问题，注意有两解．
【解答】解：如图，
由题意，位似中心是O，位似比为2，
第14页（共25页）∴OC=AC，
∵C（2，3），
∴A（4，6）或（﹣4，﹣6），
故答案为（4，6）或（﹣4，﹣6）．
【点评】本题考查位似变换、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会正确画
出图形解决问题，注意一题多解．
16．（4分）（2017•滨州）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在
AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AB=6，AD=8，AE=4，则△EBF周长的大小
为 8 ．
【分析】设AH=a，则DH=AD﹣AH=8﹣a，通过勾股定理即可求出a值，再根据同角
的余角互补可得出∠BFE=∠AEH，从而得出△EBF∽△HAE，根据相似三角形的周
长比等于对应比即可求出结论．
【解答】解：设AH=a，则DH=AD﹣AH=8﹣a，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=a，EH=DH=8﹣a，
∴EH2=AE2+AH2，即（8﹣a）2=42+a2，
解得：a=3．
∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠BFE=∠AEH．
又∵∠EAH=∠FBE=90°，
∴△EBF∽△HAE，
∴ = = = ．
∵C =AE+EH+AH=AE+AD=12，
△HAE
∴C = C =8．
△EBF △HAE
故答案为：8．
第15页（共25页）【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性
质，解题的关键是找出△EBF∽△HAE．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题
目时，通过勾股定理求出三角形的边长，再根据相似三角形的性质找出周长间的
比例是关键．
17．（4分）（2017•滨州）如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，
则这个几何体表面积的大小为 1 2 + 15π ．
【分析】由几何体的三视图得出该几何体的表面是由3个长方形与两个扇形围成
结合图中数据求出组合体的表面积即可．
【解答】解：由几何体的三视图可得：
该几何体的表面是由3个长方形与两个扇形围成，
该几何体的表面积为：S=2×2×3+ ×2+ ×3=12+15π，
故答案为：12+15π．
【点评】本题考查了由几何体三视图求几何体的表面积的应用问题，考查了空间
想象能力，由三视图复原成几何体是解决问题的关键．
18．（4分）（2017•滨州）观察下列各式： = ﹣ ；
= ﹣ ；
= ﹣ ；
…
请利用你所得结论，化简代数式： + + +…+ （n≥3且n为整数），其结果为
．
【分析】根据所列的等式找到规律 = （ ﹣ ），由此计算 + + +…+ 的值．
【解答】解：∵ = ﹣ ，
= ﹣ ，
第16页（共25页）= ﹣ ，
…
∴ = （ ﹣ ），
∴ + + +…+ = （1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （1+ ﹣ ﹣ ）= ．
故答案是： ．．
【点评】此题主要考查了数字变化类，此题在解答时，看出的是左右数据的特点是
解题关键．
三、解答题（本大题共6个小题，满分60分，解答时请写出必要的盐推过程）
19．（8分）（2017•滨州）（1）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）
（2）利用所学知识以及（1）所得等式，化简代数式 ÷ ．
【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可得；
（2）利用（1）种结果将原式分子、分母因式分解，再约分即可得．
【解答】解：（1）原式=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；
（2）原式= •
=（m﹣n）•
=m+n．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式及分式的乘法，根据多项式乘法得出立
方差公式是解题的关键．
20．（9分）（2017•滨州）根据要求，解答下列问题：
①方程x2﹣2x+1=0的解为 x =x =1 ；
1 2
②方程x2﹣3x+2=0的解为 x =1 ， x =2 ；
1 2
③方程x2﹣4x+3=0的解为 x =1 ， x =3 ；
1 2
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为 1 、 8 ；
②关于x的方程 x 2 ﹣ （ 1 + n ） x + n= 0 的解为x =1，x =n．
1 2
（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
第17页（共25页）【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；
（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关
于x的方程的解为x =1，x =n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系
1 2
数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．
（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．
【解答】解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x =x =1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x =x =1，；
1 2 1 2
②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x =1，x =2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x =1，x =2，；
1 2 1 2
③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x =1，x =3，方程x2﹣4x+3=0的解为x =1，x =3；
1 2 1 2
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为x =1，x =8；
1 2
②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x =1，x =n．
1 2
（3）x2﹣9x=﹣8，
x2﹣9x+ =﹣8+ ，
（x﹣ ）2=
x﹣ =± ，
所以x =1，x =8；
1 2
所以猜想正确．
故答案为x =x =1；x =1，x =2；x =1，x =3；x2﹣（1+n）x+n=0；
1 2 1 2 1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的
形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查
了因式分解法解一元二次方程．
21．（9分）（2017•滨州）为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势情况，现从中
随机抽取6株，并测得它们的株高（单位：cm）如下表所示：
甲 63 66 63 61 64 61
乙 63 65 60 63 64 63
（1）请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐？
（2）现将进行两种小麦优良品种杂交实验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机
抽取一株进行配对，以预估整体配对情况，请你用列表法或画树状图的方法，求
第18页（共25页）所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率．
【分析】（1）先计算出平均数，再依据方差公式即可得；
（2）列表得出所有等可能结果，由表格得出两株配对小麦株高恰好都等于各自平
均株高的结果数，依据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵ = =63，
∴s 2= ×[（63﹣63）2×2+（66﹣63）2+2×（61﹣63）2+（64﹣63）2]=3；
甲
∵ = =63，
∴s 2= ×[（63﹣63）2×3+（65﹣63）2+（60﹣63）2+（64﹣63）2]= ，
乙
∵s 2＜s 2，
乙 甲
∴乙种小麦的株高长势比较整齐；
（2）列表如下：
63 66 63 61 64 61
63 63、63 66、63 63、63 61、63 64、63 61、63
65 63、65 66、65 63、65 61、65 64、65 61、65
60 63、60 66、60 63、60 61、60 64、60 61、60
63 63、63 66、63 63、63 61、63 64、63 61、63
64 63、64 66、64 63、64 61、64 64、64 61、64
63 63、63 66、63 63、63 61、63 64、63 61、63
由表格可知，共有36种等可能结果，其中两株配对小麦株高恰好都等于各自平均
株高的有6种，
∴所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率为 = ．
【点评】本题考查了平均数、方差及列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展
示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根
据概率公式求出事件A或B的概率．
22．（10分）（2017•滨州）如图，在 ▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交
AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；
连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．
（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
第19页（共25页）（2）若菱形ABEF的周长为16，AE=4 ，求∠C的大小．
【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由 AD∥BC，推出
∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明；
（2）连结BF，交AE于G．根据菱形的性质得出AB=4，AG= AE=2 ，∠BAF=2∠BAE，
AE⊥BF．然后解直角△ABG，求出∠BAG=30°，那么∠BAF=2∠BAE=60°．再根据平
行四边形的对角相等即可求出∠C=∠BAF=60°．
【解答】解：（1）在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）如图，连结BF，交AE于G．
∵菱形ABEF的周长为16，AE=4 ，
∴AB=BE=EF=AF=4，AG= AE=2 ，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．
在直角△ABG中，∵∠AGB=90°，
∴cos∠BAG= = = ，
∴∠BAG=30°，
∴∠BAF=2∠BAE=60°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
第20页（共25页）∴∠C=∠BAF=60°．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，
解题的关键是全等三角形的证明，解直角三角形，属于中考常考题型．
23．（10分）（2017•滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交
△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）求证：DE2=DF•DA．
【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可
判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出
DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此可得DE2=DF•DA．
【解答】解：（1）如图所示，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴ = ，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，
∴∠BDM=∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
第21页（共25页）∴直线DM是⊙O的切线；
（2）如图所示，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，
即∠BED=∠EBD，
∴DB=DE，
∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴ = ，即DB2=DF•DA，
∴DE2=DF•DA．
【点评】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合
应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另
一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的
连线平分这个内角．
24．（14分）（2017•滨州）如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点
A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．
（1）求直线y=kx+b的函数解析式；
第22页（共25页）（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为
d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求
CE+EF的最小值．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
（2）过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，
则可证明△PHQ∽△BAO，设H（m，m+3），利用相似三角形的性质可得到d与x
的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的P点的坐标；
（3）设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，则可知
当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，由C点坐标可确定出C′点的坐
标，利用（2）中所求函数关系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值．
【解答】解：
（1）由题意可得 ，解得 ，
∴直线解析式为y= x+3；
（2）如图1，过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交
于点Q，
第23页（共25页）则∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，
∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，
∴△PQH∽△BOA，
∴ = = ，
设H（m， m+3），则PQ=x﹣m，HQ= m+3﹣（﹣x2+2x+1），
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，
∴ = = ，
整理消去m可得d= x2﹣x+ = （x﹣ ）2+ ，
∴d与x的函数关系式为d= （x﹣ ）2+ ，
∵ ＞0，
∴当x= 时，d有最小值，此时y=﹣（ ）2+2× +1= ，
∴当d取得最小值时P点坐标为（ ， ）；
（3）如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，
第24页（共25页）∴CE+EF=C′E+EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
由（2）可知当x=2时，d= ×（2﹣ ）2+ = ，
即CE+EF的最小值为 ．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、
二次函数的性质、轴对称的性质等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）
中构造相似三角形是解题的关键，在（3）中确定出E点的位置是解题的关键．本
题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
第25页（共25页）
