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2017 年山东省淄博市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）﹣ 的相反数是（ ）
A．B．C．D．﹣
2．（4分）C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件
总数超过100万个，请将100万用科学记数法表示为（ ）
A．1×106 B．100×104C．1×107 D．0.1×108
3．（4分）下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．（﹣a2）3=﹣a5
C．a10÷a9=a（a≠0）D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2=﹣b2c2
5．（4分）若分式 的值为零，则x的值是（ ）
A．1B．﹣1 C．±1 D．2
6．（4分）若a+b=3，a2+b2=7，则ab等于（ ）
A．2B．1C．﹣2 D．﹣1
7．（4分）将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函
数表达式是（ ）
A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x+3）2+2 C．y=（x﹣1）2+2D．y=（x﹣1）2﹣2
8．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数
k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k=0
9．（4分）如图，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合
若BC=4，则图中阴影部分的面积是（ ）
第1页（共28页）A．2+π B．2+2π C．4+π D．2+4π
10．（4分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数
字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸
出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果
m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”
的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．（4分）小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无
水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水
过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注
水时间t之间的变化情况的是（ ）
A． B． C． D ．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线
第2页（共28页）相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）分解因式：2x3﹣8x= ．
14．（4分）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为
．
15．（4分）运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如下：
则计算器显示的结果是 ．
16．（4分）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分
别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF= ．
17．（4分）设△ABC的面积为1．
如图1，分别将AC，BC边2等分，D ，E 是其分点，连接AE ，BD 交于点F ，得到四
1 1 1 1 1
边形CD F E ，其面积S = ．
1 1 1 1
如图2，分别将AC，BC边3等分，D ，D ，E ，E 是其分点，连接AE ，BD 交于点F ，
1 2 1 2 2 2 2
得到四边形CD F E ，其面积S = ；
2 2 2 2
如图3，分别将AC，BC边4等分，D ，D ，D ，E ，E ，E 是其分点，连接AE ，BD 交于
1 2 3 1 2 3 3 3
点F ，得到四边形CD F E ，其面积S = ；
3 3 3 3 3
…
按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD E F ，
n n n
其面积S= ．
第3页（共28页）三、解答题（本大题共7小题，共52分）
18．（5分）解不等式： ≤ ．
19．（5分）已知：如图，E，F为 ▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，
求证：BE=DF．
20．（8分）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对
外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，
结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的
平均速度．
21．（8分）为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经
过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为
样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：
空气污染指数（ω） 30 40 70 80 90 110 120 140
天数（t） 1 2 3 5 7 6 4 2
说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100
时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空
气质量为中度污染，…
根据上述信息，解答下列问题：
（1）直接写出空气污染指数这组数据的众数 ，中位数 ；
（2）请补全空气质量天数条形统计图：
（3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；
第4页（共28页）（4）健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动，请根据以上
信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？
22．（8分）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，
AC=1，反比例函数y= （k＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1）
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这
个函数的图象上．
①求OF的长；
②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．
23．（9分）如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动
点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接
MB，MP，BP，BP与MN相交于点F．
（1）求证：△BFN∽△BCP；
（2）①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O（要求保留作图痕迹，不写做法）；
②设AB=4，随着点P在CD上的运动，若①中的⊙O恰好与BM，BC同时相切，求
此时DP的长．
第5页（共28页）24．（9分）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（ ，
0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为
2，求点C的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存
在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共28页）2017 年山东省淄博市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）（2017•淄博）﹣ 的相反数是（ ）
A．B．C．D．﹣
【分析】直接根据相反数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵﹣ 与 是只有符号不同的两个数，
∴﹣ 的相反数是 ．
故选C．
【点评】本题考查的是相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数
是解答此题的关键．
2．（4分）（2017•淄博）C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞
机，其零部件总数超过100万个，请将100万用科学记数法表示为（ ）
A．1×106 B．100×104C．1×107 D．0.1×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将100万用科学记数法表示为：1×106．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）（2017•淄博）下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
第7页（共28页）【分析】找出四个选项中几何体的主视图，由此即可得出结论．
【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形，
∴A不符合题意；
B、正方体的主视图为正方形，
∴B不符合题意；
C、球体的主视图为圆形，
∴C不符合题意；
D、圆锥的主视图为三角形，
∴D符合题意．
故选D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，牢记圆锥的主视图为三角形是解题的
关键．
4．（4分）（2017•淄博）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．（﹣a2）3=﹣a5
C．a10÷a9=a（a≠0）D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2=﹣b2c2
【分析】根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：A、a2•a3=a5，故A错误；
B、（﹣a2）3=﹣a6，故B错误；
C、a10÷a9=a（a≠0），故C正确；
D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2=b2c2，故D错误；
故选C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则
是解题的关键．
5．（4分）（2017•淄博）若分式 的值为零，则x的值是（ ）
A．1B．﹣1 C．±1 D．2
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式 的值为零，
∴|x|﹣1=0，x+1≠0，
第8页（共28页）解得：x=1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键．
6．（4分）（2017•淄博）若a+b=3，a2+b2=7，则ab等于（ ）
A．2B．1C．﹣2 D．﹣1
【分析】根据完全平方公式得到（a+b）2=9，再将a2+b2=7整体代入计算即可求解．
【解答】解：∵a+b=3，
∴（a+b）2=9，
∴a2+2ab+b2=9，
∵a2+b2=7，
∴7+2ab=9，
∴ab=1．
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（4分）（2017•淄博）将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长
度，得到的函数表达式是（ ）
A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x+3）2+2 C．y=（x﹣1）2+2D．y=（x﹣1）2﹣2
【分析】根据题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方
法进行解答即可得到平移后的函数解析式．
【解答】解：∵y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，
∴二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式
是：y=（x+1﹣2）2﹣2=（x﹣1）2﹣2，
故选D．
【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，解答本题的关键是明确二次函数
平移的特点，左加右减、上加下减，注意一定将函数解析式化为顶点式之后再平
移．
8．（4分）（2017•淄博）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实
第9页（共28页）数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k=0
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k•
（﹣1）＞0，然后其出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣
4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两
个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
9．（4分）（2017•淄博）如图，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直
角边完全重合，若BC=4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2+π B．2+2π C．4+π D．2+4π
【分析】如图，连接CD，OD，根据已知条件得到OB=2，∠B=45°，根据三角形和扇形
的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，连接CD，OD，
∵BC=4，
∴OB=2，
∵∠B=45°，
∴∠COD=90°，
∴图中阴影部分的面积=S +S = 2×2+ =2+π，
△BOD 扇形COD
故选A．
第10页（共28页）【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助
线是解题的关键．
10．（4分）（2017•淄博）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，
7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先
从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字
记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人
“心领神会”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及
两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中满足|m﹣n|≤1的有10种结果，
∴两人“心领神会”的概率是 = ，
故选：B．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状
图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
11．（4分）（2017•淄博）小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入
形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图
所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最
第11页（共28页）高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A． B． C． D ．
【分析】根据用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可分段求出小水杯内水面的
高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象．
【解答】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始
向大桶内流，这时水位高度不变，
当桶水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数图象，关键是问题的过程，能够通过图象得到函数是
随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
12．（4分）（2017•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，
∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（ ）
第12页（共28页）A．B．C．D．
【分析】延长FE交AB于点D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，由EF∥BC可证四边形BDEG
是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方
形，再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH、CG=CH，设BD=BG=x，则
AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，由 AC=10 可得 x=2，即 BD=DE=2、AD=4，再证
△ADF∽△ABC可得DF= ，据此得出EF=DF﹣DE= ．
【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，
∵EF∥BC、∠ABC=90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△DAE和△HAE中，
∵ ，
∴△DAE≌△HAE（SAS），
∴AD=AH，
同理△CGE≌△CHE，
∴CG=CH，
设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，
∵AC= = =10，
∴6﹣x+8﹣x=10，
解得：x=2，
∴BD=DE=2，AD=4，
第13页（共28页）∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
解得：DF= ，
则EF=DF﹣DE= ﹣2= ，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正
方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角
形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）（2017•淄博）分解因式：2x3﹣8x= 2 x （ x﹣2 ）（ x + 2 ） ．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
【解答】解：2x3﹣8x，
=2x（x2﹣4），
=2x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．
运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：（1）二项式；（2）两项的符号相反；
（3）每项都能化成平方的形式．
14．（4分）（2017•淄博）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣
3α的值为 0 ．
【分析】根据根与系数的关系得到得α+β=3，再把原式变形得到a（α+β）﹣3α，然
后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣4，
所以原式=a（α+β）﹣3α
=3α﹣3α
=0．
故答案为0．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
1 2
第14页（共28页）的两根时，x +x =﹣ ，x x = ．
1 2 1 2
15．（4分）（2017•淄博）运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，
按键顺序如下：
则计算器显示的结果是 ﹣ 7 ．
【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子．然后求值．
【解答】解：根据题意得：（3.5﹣4.5）×32+ =﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题目考查了计算器的应用，根据按键顺序正确写出计算式子是关键．
16．（4分）（2017•淄博）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一
点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF= 2 ．
【分析】作AG⊥BC于G，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，解直角三角形求得
AG=2 ，根据S +S =S 即可得出DE+DF=AG=2 ．
△ABD △ACD △ABC
【解答】解：如图，作AG⊥BC于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴AG= AB=2 ，
连接AD，则S +S =S ，
△ABD △ACD △ABC
∴ AB•DE+ AC•DF= BC•AG，
∵AB=AC=BC=4，
∴DE+DF=AG=2 ，
故答案为：2 ．
第15页（共28页）【点评】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角函数以及三角形面积等，根据
S +S =S 即可得出DE+DF=AG是解题的关键．
△ABD △ACD △ABC
17．（4分）（2017•淄博）设△ABC的面积为1．
如图1，分别将AC，BC边2等分，D ，E 是其分点，连接AE ，BD 交于点F ，得到四
1 1 1 1 1
边形CD F E ，其面积S = ．
1 1 1 1
如图2，分别将AC，BC边3等分，D ，D ，E ，E 是其分点，连接AE ，BD 交于点F ，
1 2 1 2 2 2 2
得到四边形CD F E ，其面积S = ；
2 2 2 2
如图3，分别将AC，BC边4等分，D ，D ，D ，E ，E ，E 是其分点，连接AE ，BD 交于
1 2 3 1 2 3 3 3
点F ，得到四边形CD F E ，其面积S = ；
3 3 3 3 3
…
按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD E F ，
n n n
其面积S= ．
【分析】先连接D E ，D E ，D E ，依据D E ∥AB，D E = AB，可得△CD E ∽△CBA，且
1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1
= = ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到S = S =
△CD1E1 △ABC
，依据E 是BC的中点，即可得出S = S = × = ，据此可得S = ；运用相同
1 △D1E1F1 △BD1E1 1
的方法，依次可得S = ，S = ；根据所得规律，即可得出四边形CD E F ，其面积S =
2 2 n n n n
+ ×n× ，最后化简即可．
【解答】解：如图所示，连接D E ，D E ，D E ，
1 1 2 2 3 3
∵图1中，D ，E 是△ABC两边的中点，
1 1
第16页（共28页）∴D E ∥AB，D E = AB，
1 1 1 1
∴△CD E ∽△CBA，且 = = ，
1 1
∴S = S = ，
△CD1E1 △ABC
∵E 是BC的中点，
1
∴S =S = ，
△BD1E1 △CD1E1
∴S = S = × = ，
△D1E1F1 △BD1E1
∴S =S +S = + = ，
1 △CD1E1 △D1E1F1
同理可得：
图2中，S =S +S = + = ，
2 △CD2E2 △D2E2F2
图3中，S =S +S = + = ，
3 △CD3E3 △D3E3F3
以此类推，将AC，BC边（n+1）等分，得到四边形CD E F ，
n n n
其面积S = + ×n× = ，
n
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了图形的变化类问题以及三角形面积的计算，解决问题的
关键作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的性质进行计算求解．解题时注
意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
18．（5分）（2017•淄博）解不等式： ≤ ．
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．
【解答】解：去分母得：3（x﹣2）≤2（7﹣x），
去括号得：3x﹣6≤14﹣2x，
移项合并得：5x≤20，
解得：x≤4．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
第17页（共28页）19．（5分）（2017•淄博）已知：如图，E，F为 ▱ABCD对角线AC上的两点，且
AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
【分析】证明△AEB≌△CFD，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC．
∴∠BAE=∠DCF．
在△AEB和△CFD中， ，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
∴BE=DF．
【点评】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行
四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
20．（8分）（2017•淄博）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济
发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度
的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，
求汽车原来的平均速度．
【分析】求的汽车原来的平均速度，路程为420km，一定是根据时间来列等量关系，
本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了2h．等量关系为：原来时间﹣
现在时间=2．
【解答】解：设汽车原来的平均速度是x km/h，
根据题意得： ﹣ =2，
解得：x=70
经检验：x=70是原方程的解．
答：汽车原来的平均速度70km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用．应用题中一般有三个量，求一个量，明显的
第18页（共28页）有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析
题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
21．（8分）（2017•淄博）为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的
治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气
质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：
空气污染指数（ω） 30 40 70 80 90 110 120 140
天数（t） 1 2 3 5 7 6 4 2
说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100
时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空
气质量为中度污染，…
根据上述信息，解答下列问题：
（1）直接写出空气污染指数这组数据的众数 9 0 ，中位数 9 0 ；
（2）请补全空气质量天数条形统计图：
（3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；
（4）健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动，请根据以上
信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？
【分析】（1）根据众数的定义就可以得出这组数据的众数为90，由30各数据中排
在第15和第16两个数的平均数就可以得出中位数为90；
（2）根据统计表的数据分别计算出，优、良及轻度污染的时间即可；
（3）由条形统计图分别计算出优、良及轻度污染的百分比及圆心角的度数即可；
（4）先求出30天中空气污染指数在100以下的比值，再由这个比值乘以365天就
可以求出结论．
【解答】解：（1）在这组数据中90出现的次数最多7次，故这组数据的众数为90；
第19页（共28页）在这组数据中排在最中间的两个数是90，90，这两个数的平均数是90，所以这组
数据的中位数是90；
故答案为：90，90．
（2）由题意，得
轻度污染的天数为：30﹣3﹣15=12天．
（3）由题意，得
优所占的圆心角的度数为：3÷30×360=36°，
良所占的圆心角的度数为：15÷30×360=180°，
轻度污染所占的圆心角的度数为：12÷30×360=144°
（4）该市居民一年（以 365 天计）中有适合做户外运动的天数为：
18÷30×365=219天．
【点评】本题是一道数据分析试题，考查了中位数，众数的运用，条形统计，扇形统
计图的运用，样本数据估计总体数据的运用，解答时根据图表数据求解是关键．
22．（8分）（2017•淄博）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，
∠ACB=90°，AC=1，反比例函数y= （k＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1）
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这
个函数的图象上．
①求OF的长；
②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．
第20页（共28页）【分析】（1）由D点坐标可求得k的值，可求得反比例函数的表达式；
（2）①由中心对称的性质可知△ABC≌△EFG，由D点坐标可求得B点坐标，从而
可求得BC和AC的长，由全等三角形的性质可求得GE和GF，则可求得E点坐标，
从而可求得OF的长；②由条件可证得△AOF≌△FGE，则可证得AF=EF=AB，且
∠EFA=∠FAB=90°，则可证得四边形ABEF为正方形．
【解答】解：
（1）∵反比例函数y= （k＞0）的图象经过点D（3，1），
∴k=3×1=3，
∴反比例函数表达式为y= ；
（2）①∵D为BC的中点，
∴BC=2，
∵△ABC与△EFG成中心对称，
∴△ABC≌△EFG，
∴GF=BC=2，GE=AC=1，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴E（1，3），即OG=3，
∴OF=OG﹣GF=1；
②如图，连接AF、BE，
第21页（共28页）∵AC=1，OC=3，
∴OA=GF=2，
在△AOF和△FGE中
∴△AOF≌△FGE（SAS），
∴∠GFE=∠FAO=∠ABC，
∴∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°，
∴EF∥AB，且EF=AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴AF=EF，
∴四边形ABEF为菱形，
∵AF⊥EF，
∴四边形ABEF为正方形．
【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称的性质、全等
三角形的判定和性质、正方形的判定等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在
（2）①中求得E点坐标是解题的关键，在（2）②中证得△AOF≌△FGE是解题的关
键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
23．（9分）（2017•淄博）如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与
CD边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边
AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F．
（1）求证：△BFN∽△BCP；
（2）①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O（要求保留作图痕迹，不写做法）；
②设AB=4，随着点P在CD上的运动，若①中的⊙O恰好与BM，BC同时相切，求
第22页（共28页）此时DP的长．
【分析】（1）根据折叠的性质可知，MN垂直平分线段BP，即∠BFN=90°，由矩形的
性质可得出∠C=90°=∠BFN，结合公共角∠FBN=∠CBP，即可证出△BFN∽△BCP；
（2）①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可；
②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，由△MDP为直角三角形，可得出AP为
⊙O的直径，根据BM与⊙O相切，可得出MP⊥BM，进而可得出△BMP为等腰直
角三角形，根据同角的余角相等可得出∠PMD=∠MBA，结合∠A=∠PMD=90°、
BM=MP，即可证出△ABM≌△DMP（AAS），根据全等三角形的性质可得出
DM=AB=4、DP=AM，设DP=2a，根据勾股定理结合半径为直径的一半，即可得出关
于a的方程，解之即可得出a值，再将a代入OP=2a中求出DP的长度．
【解答】（1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的
动点P重合，
∴MN垂直平分线段BP，
∴∠BFN=90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°．
∵∠FBN=∠CBP，
∴△BFN∽△BCP．
（2）解：①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可．
如图所示．
②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，如图3所示．
∵△MDP为直角三角形，
∴AP为⊙O的直径，
∵BM与⊙O相切，
∴MP⊥BM．
第23页（共28页）∵MB=MP，
∴△BMP为等腰直角三角形．
∵∠AMB+∠PMD=180°﹣∠AMP=90°，∠MBA+∠AMB=90°，
∴∠PMD=∠MBA．
在△ABM和△DMP中， ，
∴△ABM≌△DMP（AAS），
∴DM=AB=4，DP=AM．
设DP=2a，则AM=2a，OE=4﹣a，
BM= =2 ．
∵BM=MP=2OE，
∴2 =2×（4﹣a），
解得：a= ，
∴DP=2a=3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定、矩形的性质、角的计算、切线的性质、全等
三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合翻
折的性质，找出∠C=90°=∠BFN；（2）①利用尺规作图，画出⊙O；②根据全等三角
形的判定定理AAS证出△ABM≌△DMP．
第24页（共28页）24．（9分）（2017•淄博）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于
另一点A（ ，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为
2，求点C的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存
在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得
抛物线的表达式；
（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出
C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件
可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；
（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线
BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴
于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得 的值，
当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，
由 = = 的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求
得P点坐标．
【解答】解：
（1）∵B（2，t）在直线y=x上，
∴t=2，
∴B（2，2），
第25页（共28页）把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x；
（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，
∵点C是抛物线上第四象限的点，
∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），
∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，
∴S =S +S = CD•OE+ CD•BF= （﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，
△OBC △CDO △CDB
∵△OBC的面积为2，
∴﹣2t2+4t=2，解得t =t =1，
1 2
∴C（1，﹣1）；
（3）存在．
设MB交y轴于点N，如图1，
∵B（2，2），
∴∠AOB=∠NOB=45°，
第26页（共28页）在△AOB和△NOB中
∴△AOB≌△NOB（ASA），
∴ON=OA= ，
∴N（0， ），
∴可设直线BN解析式为y=kx+ ，
把B点坐标代入可得2=2k+ ，解得k= ，
∴直线BN的解析式为y= x+ ，
联立直线BN和抛物线解析式可得 ，解得 或 ，
∴M（﹣ ， ），
∵C（1，﹣1），
∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），
∴OB=2 ，OC= ，
∵△POC∽△MOB，
∴ = =2，∠POC=∠BOM，
当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，
∵∠COA=∠BOG=45°，
∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，
∴△MOG∽△POH，
∴ = = =2，
∵M（﹣ ， ），
∴MG= ，OG= ，
第27页（共28页）∴PH= MG= ，OH= OG= ，
∴P（ ， ）；
当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，
同理可求得PH= MG= ，OH= OG= ，
∴P（﹣ ，﹣ ）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（ ， ）或（﹣ ，﹣ ）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数
的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类
讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出
△BOC的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置，构造相似三角形是解
题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
第28页（共28页）
