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2017 年新疆乌鲁木齐市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）如图，数轴上点A表示数a，则|a|是（ ）
A．2B．1C．﹣1 D．﹣2
2．（4分）如图，直线a∥b，∠1=72°，则∠2的度数是（ ）
A．118° B．108° C．98° D．72°
3．（4分）计算（ab2）3的结果是（ ）
A．3ab2B．ab6 C．a3b5 D．a3b6
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次
C．处于中间位置的数一定是中位数
D．方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小
5．（4分）如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．（4分）一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象，如图所示，则不等式kx+b
＞0的解集是（ ）
第1页（共28页）A．x＜2B．x＜0C．x＞0D．x＞2
7．（4分）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划
种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前
5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A．﹣ =5 B． ﹣ =5
C． +5= D． ﹣ =5
8．（4分）如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧
面积是（ ）
A．πB．2π C．4π D．5π
9．（4分）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折
叠后，使点 D 恰好落在 BC 边上的 G 点处，若矩形面积为 4 且∠AFG=60°，
GE=2BG，则折痕EF的长为（ ）
A．1B．C．2D．
10．（4分）如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y= 上，点C，D，分别是x轴，y轴
上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（ ）
第2页（共28页）A． B．C． D．
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11．（4分）计算|1﹣ |+（ ）0= ．
12．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为
．
13．（4分）一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20%，则这件衣服的进价
是 元．
14．（4分）用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影
部分面积为 ．
15．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，有下列结
论：
①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y ）与点（﹣3，y ），则y ＞y ；④
1 2 1 2
无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣ ，0）；⑤am2+bm+a≥0，其中所有
正确的结论是 ．
第3页（共28页）三、解答题（本大题共9小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
16．（8分）解不等式组： ．
17．（8分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x= ．
18．（10分）我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔
同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，意思是：鸡和兔关在一个
笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94条腿，问笼中鸡或兔各有多少只？
19．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且
BF=ED，求证：AE∥CF．
20．（12分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查
了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的
统计图表（不完整）：
步数 频数 频率
0≤x＜4000 8 a
4000≤x＜8000 15 0.3
8000≤x＜12000 12 b
12000≤x＜16000 c 0.2
16000≤x＜20000 3 0.06
第4页（共28页）20000≤x＜24000 d 0.04
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过 12000步
（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步的
两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000
步）以上的概率．
21．（10分）一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里B处，它沿
北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为
10 海里，救援船从港口 A出发 20 分钟到达 C处，求救援的艇的航行速度．
（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， ≈1.732，结果取整数）
22．（10分）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶
第5页（共28页）至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示：
（1）甲乙两地相距多远？
（2）求快车和慢车的速度分别是多少？
（3）求出两车相遇后y与x之间的函数关系式；
（4）何时两车相距300千米．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于
D．
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AC=2，AB= CD，求⊙O半径．
24．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，
m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于
点D，交直线AB于点E．
①当PE=2ED时，求P点坐标；
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
第6页（共28页）第7页（共28页）2017 年新疆乌鲁木齐市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）（2017•乌鲁木齐）如图，数轴上点A表示数a，则|a|是（ ）
A．2B．1C．﹣1 D．﹣2
【分析】直接根据数轴上A点的位置可求a，再根据绝对值的性质即可得出结论．
【解答】解：∵A点在﹣2处，
∴数轴上A点表示的数a=﹣2，
|a|=|﹣2|=2．
故选A．
【点评】本题考查的是绝对值和数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是
解答此题的关键．
2．（4分）（2017•乌鲁木齐）如图，直线a∥b，∠1=72°，则∠2的度数是（ ）
A．118° B．108° C．98° D．72°
【分析】根据平行线的性质，以及邻补角的定义进行计算即可．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠2=∠3，
∵∠1=72°，
∴∠3=108°，
第8页（共28页）∴∠2=108°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角
相等．
3．（4分）（2017•乌鲁木齐）计算（ab2）3的结果是（ ）
A．3ab2B．ab6 C．a3b5 D．a3b6
【分析】根据整式的运算即可求出答案．
【解答】解：原式=a3b6，
故选（D）
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题
属于基础题型．
4．（4分）（2017•乌鲁木齐）下列说法正确的是（ ）
A．“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次
C．处于中间位置的数一定是中位数
D．方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小
【分析】根据概率的意义以及中位数的定义、方差的意义分别分析得出答案．
【解答】解：A、“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，故原题说法
错误；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次，说法
错误；
C、处于中间位置的数一定是中位数，说法错误；
D、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，说法正确；
第9页（共28页）故选：D．
【点评】此题主要考查了中位数、方差、随机事件以及概率，关键是掌握中位数、随
机事件的定义，掌握概率和方差的意义．
5．（4分）（2017•乌鲁木齐）如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则
n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补
列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设外角为x，则相邻的内角为2x，
由题意得，2x+x=180°，
解得，x=60°，
360÷60°=6，
故选：C．
【点评】本题考查的是多边形内、外角的知识，理解一个多边形的一个内角与它相
邻外角互补是解题的关键．
6．（4分）（2017•乌鲁木齐）一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象，如图所
示，则不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＜2B．x＜0C．x＞0D．x＞2
【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式
kx+b＞0的解集．
【解答】解：函数y=kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x＜2时，函数值大于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
故选A．
第10页（共28页）【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就
是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图
象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所
构成的集合．
7．（4分）（2017•乌鲁木齐）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美
化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划
多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（ ）
A．﹣ =5 B． ﹣ =5
C． +5= D． ﹣ =5
【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．
【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要 天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要 天完成，
∵提前5天完成任务，
∴ ﹣ =5，
故选（A）
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属
于基础题型．
8．（4分）（2017•乌鲁木齐）如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计
算这个几何体的侧面积是（ ）
A．πB．2π C．4π D．5π
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l
的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．
第11页（共28页）【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，
∵l= =2，
∴S = •2πr•l= ×2π× ×2=2π．
侧
故选B．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算以及勾股定理，由几何体的
三视图可得出原几何体为圆锥是解题的关键．
9．（4分）（2017•乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把
这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4 且
∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°
即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含
30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= EC，再由GE=2BG结合矩
形面积为4 ，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．
【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．
∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，
∴∠GFE=60°．
∵AF∥GE，∠AFG=60°，
∴∠FGE=∠AFG=60°，
∴△GEF为等边三角形，
∴EF=GE．
∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，
∴∠HGE=30°．
在Rt△GHE中，∠HGE=30°，
∴GE=2HE=CE，
第12页（共28页）∴GH= = HE= CE．
∵GE=2BG，
∴BC=BG+GE+EC=4EC．
∵矩形ABCD的面积为4 ，
∴4EC• EC=4 ，
∴EC=1，EF=GE=2．
故选C．
【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、等边三角形的判定及性质以及解含30
度角的直角三角形，根据边角关系及解直角三角形找出 BC=4EC、DC= EC是解题
的关键．
10．（4分）（2017•乌鲁木齐）如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y= 上，点C，
D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（ ）
A． B．C． D．
【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定
出A与B坐标，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对
称的性质得到P点坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），PQ分别交x轴、y轴于
C点、D点，根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ的周长最小，然后利用两
点间的距离公式求解可得．
【解答】解：分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y= 得：a=1，b=3，
则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），
作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，
第13页（共28页）所以点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），
连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，
四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB
=DP+DC+CQ+AB
=PQ+AB
= +
=4 +2
=6 ，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、
熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键．
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11．（4分）（2017•乌鲁木齐）计算|1﹣ |+（ ）0= ．
【分析】先利用零指数幂的意义计算，然后去绝对值后合并．
【解答】解：原式= ﹣1+1
= ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高
级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面
的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
12．（4分）（2017•乌鲁木齐）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形
ABCD的面积为 2 ．
第14页（共28页）【分析】由菱形ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60°的等
腰三角形为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长，再由菱形
的对角线垂直求出AC的长，即可求出菱形的面积．
【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴OD=1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO= = ，
∴AC=2 ，
则S = AC•BD=2 ，
菱形ABCD
故答案为：2
【点评】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握
菱形的性质是解本题的关键．
13．（4分）（2017•乌鲁木齐）一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20%，
则这件衣服的进价是 10 0 元．
【分析】此题的等量关系：实际售价=标价的六折=进价×（1+获利率），设未知数，
列方程求解即可．
【解答】解：设进价是x元，则（1+20%）x=200×0.6，
第15页（共28页）解得：x=100．
则这件衬衣的进价是100元．
故答案为100．
【点评】本题考查了一元一次方程应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目
给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键．
14．（4分）（2017•乌鲁木齐）用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所
示图形，则图中阴影部分面积为 π﹣ ．
【分析】连OA，OP，AP，求出AP直线和AP弧面积，即 阴影部分面积，从而求解．
【解答】解：如图，设 的中点我P，连接OA，OP，AP，
△OAP的面积是： ×12= ，
扇形OAP的面积是：S = ，
扇形
AP直线和AP弧面积：S = ﹣ ，
弓形
阴影面积：3×2S =π﹣ ．
弓形
故答案为：π﹣ ．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是得到阴影部分面积=6（扇形
OAP的面积﹣△OAP的面积）．
15．（4分）（2017•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为
直线x=1，有下列结论：
①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y ）与点（﹣3，y ），则y ＞y ；④
1 2 1 2
第16页（共28页）无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣ ，0）；⑤am2+bm+a≥0，其中所有
正确的结论是 ②④⑤ ．
【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①；由x=3时的函数
值及a＞0可判断②；由抛物线的增减性可判断③；由当x=﹣ 时，y=a•（﹣ ）2+b•
（﹣ ）+c= 且a﹣b+c=0可判断④；由x=1时函数y取得最小值及b=﹣2a可判断
⑤．
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，
顶点在y轴右侧，则b＜0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c过点（3，0），
∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，
∵a＞0，
∴10a+3b+c＞0，故②正确；
∵对称轴为x=1，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∴y ＜y ，故③错误；
1 2
当x=﹣ 时，y=a•（﹣ ）2+b•（﹣ ）+c= = ，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，
第17页（共28页）∴当x=﹣ 时，y=a•（﹣ ）2+b•（﹣ ）+c=0，
即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣ ，0），故④正确；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又∵x=1时函数取得最小值，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
∵b=﹣2a，
∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；
故答案为：②④⑤．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数
符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数
确定．
三、解答题（本大题共9小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
16．（8分）（2017•乌鲁木齐）解不等式组： ．
【分析】分别求出两个不等式的解集，求其公共解．
【解答】解： ，
由①得，x＞1，
由②得，x＜4，
所以，不等式组的解集为1＜x＜4．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀
求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小
找不到（无解）．
17．（8分）（2017•乌鲁木齐）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x= ．
【分析】先把除法化为乘法，再根据运算顺序与计算方法先化简，再把x= 代入求
解即可．
【解答】解：原式=（ ﹣ ）•
第18页（共28页）= •
= •
= ，
当x= 时，原式= = ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则
是解答此题的关键．
18．（10分）（2017•乌鲁木齐）我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”
问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，意思是：
鸡和兔关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94条腿，问笼中鸡或兔
各有多少只？
【分析】设笼中鸡有x只，兔有y只，本题中的等量关系有：鸡头+兔头=35头；鸡足
+兔足=94足，需要注意的是，一只鸡有一头两足，一只兔有一头四足．
【解答】解：设笼中鸡有x只，兔有y只，由题意得：
，
解得 ．
答：笼中鸡有23只，兔有12只．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题
目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．需要注意的是，一只
鸡有一头两足，一只兔有一头四足．
19．（10分）（2017•乌鲁木齐）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD
上的两点，且BF=ED，求证：AE∥CF．
【分析】连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到
OA=OC，OB=OD；然后结合已知条件证得OE=OF，则“对角线互相平分的四边形
是平行四边形”，即可得出结论．
第19页（共28页）【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BF=ED，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，
应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方
法是解决问题的关键．
20．（12分）（2017•乌鲁木齐）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某
兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整
理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
步数 频数 频率
0≤x＜4000 8 a
4000≤x＜8000 15 0.3
8000≤x＜12000 12 b
12000≤x＜16000 c 0.2
16000≤x＜20000 3 0.06
20000≤x＜24000 d 0.04
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过 12000步
（包含12000步）的教师有多少名？
第20页（共28页）（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步的
两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000
步）以上的概率．
【分析】（1）根据频率=频数÷总数可得答案；
（2）用样本中超过12000步（包含12000步）的频率之和乘以总人数可得答案；
（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）a=8÷50=0.16，b=12÷50=0.24，c=50×0.2=10，d=50×0.04=2，
补全频数分布直方图如下：
（2）37800×（0.2+0.06+0.04）=11340，
答：估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有11340名；
（3）设16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，
20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y，
画树状图如下：
第21页（共28页）由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概
率为 = ．
【点评】此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率=频数÷总数，用样本
估计整体让整体×样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计
图形式给出的数学实际问题是本题的关键．
21．（10分）（2017•乌鲁木齐）一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口
20海里B处，它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，
C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援的艇的
航行速度．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， ≈1.732，结果取整数）
【分析】辅助线如图所示：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，在Rt△ABD中，根据勾股定理
可求AD，在Rt△BCE中，根据三角函数可求CE，EB，在Rt△AFC中，根据勾股定理
可求AC，
再根据路程÷时间=速度求解即可．
【解答】解：辅助线如图所示：
BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，
有题意知，∠FAB=60°，∠CBE=37°，
∴∠BAD=30°，
第22页（共28页）∵AB=20海里，
∴BD=10海里，
在Rt△ABD中，AD= =10 ≈17.32海里，
在Rt△BCE中，sin37°= ，
∴CE=BC•sin37°≈0.6×10=6海里，
∵cos37°= ，
∴EB=BC•cos37°≈0.8×10=8海里，
EF=AD=17.32海里，
∴FC=EF﹣CE=11.32海里，
AF=ED=EB+BD=18海里，
在Rt△AFC中，
AC= = ≈21.26海里，
21.26×3≈64海里/小时．
答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．
【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，用到的知识点是方向角、勾股
定理、解直角三角形、三角函数值，关键是做出辅助线，构造直角三角形．
22．（10分）（2017•乌鲁木齐）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从
乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应
关系如图所示：
（1）甲乙两地相距多远？
（2）求快车和慢车的速度分别是多少？
第23页（共28页）（3）求出两车相遇后y与x之间的函数关系式；
（4）何时两车相距300千米．
【分析】（1）由图象容易得出答案；
（2）由题意得出慢车速度为 =60（千米/小时）；设快车速度为x千米/小时，由图
象得出方程，解方程即可；
（3）求出相遇的时间和慢车行驶的路程，即可得出答案；
（4）分两种情况，由题意得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由图象得：甲乙两地相距600千米；
（2）由题意得：慢车总用时10小时，
∴慢车速度为 =60（千米/小时）；
设快车速度为x千米/小时，
由图象得：60×4+4x=600，解得：x=90，
∴快车速度为90千米/小时，慢车速度为60千米/小时；
（3）由图象得： = （小时），60× =400（千米），
时间为 小时时快车已到达甲地，此时慢车走了400千米，
∴两车相遇后y与x的函数关系式为 ；
（4）设出发x小时后，两车相距300千米．
①当两车没有相遇时，
由题意得：60x+90x=600﹣300，解得：x=2；
②当两车相遇后，
由题意得：60x+90x=600+300，解得：x=6；
即两车2小时或6小时时，两车相距300千米．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，求出两车
的速度．
第24页（共28页）23．（10分）（2017•乌鲁木齐）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与
AB的延长线交于D．
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AC=2，AB= CD，求⊙O半径．
【分析】（1）首先连接CO，根据CD与⊙O相切于点C，可得：∠OCD=90°；然后根
据AB是圆O的直径，可得：∠ACB=90°，据此判断出∠CAD=∠BCD，即可推得
△ADC∽△CDB．
（2）首先设 CD 为 x，则 AB= x，OC=OB= x，用 x 表示出 OD、BD；然后根据
△ADC∽△CDB，可得：= ，据此求出CB的值是多少，即可求出⊙O半径是多少．
【解答】（1）证明：如图，连接CO，
，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO=∠CAD，
∴∠CAD=∠BCD，
在△ADC和△CDB中，
∴△ADC∽△CDB．
（2）解：设CD为x，
第25页（共28页）则AB= x，OC=OB= x，
∵∠OCD=90°，
∴OD= = = x，
∴BD=OD﹣OB= x﹣ x= x，
由（1）知，△ADC∽△CDB，
∴ = ，
即 ，
解得CB=1，
∴AB= = ，
∴⊙O半径是 ．
【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
24．（12分）（2017•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交
于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于
点D，交直线AB于点E．
①当PE=2ED时，求P点坐标；
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数
法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由
第26页（共28页）条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表
示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得
E点坐标，则可求得P点坐标．
【解答】解：
（1）∵点B（4，m）在直线y=x+1上，
∴m=4+1=5，
∴B（4，5），
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）①设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），
则PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，
∵PE=2ED，
∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，
当﹣x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=2，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，
舍去，
∴P（2，9）；
当﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=6，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，
舍去，
∴P（6，﹣7）；
综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；
②设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），
∴BE= = |x﹣4|，CE= = ，BC= = ，
当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，
当BE=CE时，则 |x﹣4|= ，解得x= ，此时P点坐标为（ ， ）；
当BE=BC时，则 |x﹣4|= ，解得x=4+ 或x=4﹣ ，此时P点坐标为（4+ ，﹣4 ﹣
8）或（4﹣ ，4 ﹣8）；
当CE=BC时，则 = ，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍
去，此时P点坐标为（0，5）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（ ，）或（4+ ，﹣4 ﹣8）或（4﹣ ，4 ﹣
8）或（0，5）．
第27页（共28页）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的
性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）
①中用P点坐标分别表示出PE和ED的长是解题关键，在（2）②中用P点坐标表
示出BE、CE和BC的长是解题的关键，注意分三种情况讨论．本题考查知识点较
多，综合性较强，难度适中．
第28页（共28页）
