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2017 年江苏省无锡市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．B．±5 C．5D．﹣
2．（3分）函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≥2C．x≤2D．x＞2
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3=a5B．（ab）2=ab2 C．a6÷a3=a2D．a2•a3=a5
4．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）若a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则a﹣c等于（ ）
A．1B．﹣1 C．5D．﹣5
6．（3分）如表为初三（1）班全部43名同学某次数学测验成绩的统计结果，则下
列说法正确的是（ ）
成绩 70 80 90
（分）
男生 5 10 7
（人）
女生 4 13 4
（人）
A．男生的平均成绩大于女生的平均成绩
B．男生的平均成绩小于女生的平均成绩
C．男生成绩的中位数大于女生成绩的中位数
D．男生成绩的中位数小于女生成绩的中位数
7．（3分）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1
月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）
A．20%B．25%C．50%D．62.5%
第1页（共30页）8．（3分）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个
命题是假命题的是（ ）
A．a=3，b=2 B．a=﹣3，b=2 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣1，b=3
9．（3分）如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD
都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（ ）
A．5B．6C．2 D．3
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD
沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）计算 × 的值是 ．
12．（2分）分解因式：3a2﹣6a+3= ．
13．（2分）贵州FAST望远镜是目前世界第一大单口径射电望远镜，反射面总面积
约250000m2，这个数据用科学记数法可表示为 ．
14．（2分）如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信
息可知，这7天中最大的日温差是 ℃．
第2页（共30页）15．（2分）若反比例函数y= 的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值为 ．
16．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为
cm2．
17．（2分）如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形
ABCD的内部作半圆O 和半圆O ，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于
1 2
点E、点F，且EF=2（EF与AB在圆心O 和O 的同侧），则由 ，EF，，AB所围成图形
1 2
（图中阴影部分）的面积等于 ．
18．（2分）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，
C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分）
19．（8分）计算：
（1）|﹣6|+（﹣2）3+（ ）0；
（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）
20．（8分）（1）解不等式组：
（2）解方程： = ．
21．（8分）已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB
的延长线于点F，求证：AB=BF．
第3页（共30页）22．（8分）甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红心和两张黑桃共
四张扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色的
即为游戏搭档，现甲、乙两人各抽取了一张，求两人恰好成为游戏搭档的概率．
（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（8分）某数学学习网站为吸引更多人注册加入，举行了一个为期5天的推广
活动，在活动期间，加入该网站的人数变化情况如下表所示：
时间 第1 第2天 第3 第4 第5
天 天 天 天
新加入人数（人） 153 550 653 b 725
累计总人数（人） 3353 3903 a 5156 5881
（1）表格中a= ，b= ；
（2）请把下面的条形统计图补充完整；
（3）根据以上信息，下列说法正确的是 （只要填写正确说法前的序号）．
①在活动之前，该网站已有3200人加入；
②在活动期间，每天新加入人数逐天递增；
③在活动期间，该网站新加入的总人数为2528人．
24．（6分）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图
（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
第4页（共30页）（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在
边BC和AC上．
25．（10分）操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点
P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得
到点Q的操作称为点的T变换．
（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为 ；若点M经过T变换后
得到点N（6，﹣ ），则点M的坐标为 ．
（2）A是函数y= x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．
①求经过点O，点B的直线的函数表达式；
②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．
26．（10分）某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业
计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：
污水处理器型号 A型 B型
处理污水能力（吨/月） 240 180
已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A
型、4台B型污水处理器的总价为42万元．
（1）求每台A型、B型污水处理器的价格；
（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，
那么他们至少要支付多少钱？
第5页（共30页）27．（10分）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B
在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于
C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．
28．（8分）如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上
以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设
点P的运动时间为t（s）．
（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．
（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻
t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．
第6页（共30页）2017 年江苏省无锡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•无锡）﹣5的倒数是（ ）
A．B．±5 C．5D．﹣
【分析】根据倒数的定义，即可求出﹣5的倒数．
【解答】解：∵﹣5×（﹣ ）=1，
∴﹣5的倒数是﹣ ．
故选D．
【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（3分）（2017•无锡）函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≥2C．x≤2D．x＞2
【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：2﹣x≠0，
解得：x≠2．
故函数y= 中自变量x的取值范围是x≠2．
故选A．
【点评】本题考查了求函数自变量取值范围，求函数自变量的范围一般从三个方
面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．（3分）（2017•无锡）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3=a5B．（ab）2=ab2 C．a6÷a3=a2D．a2•a3=a5
【分析】利用幂的运算性质直接计算后即可确定正确的选项．
第7页（共30页）【解答】解：A、（a2）3=a6，故错误，不符合题意；
B、（ab）2=a2b2，故错误，不符合题意；
C、a6÷a3=a3，故错误，不符合题意；
D、a2•a3=a5，正确，符合题意，
故选D．
【点评】本题考查了幂的运算性质，解题的关键是了解这些性质并能正确的计算，
难度不大．
4．（3分）（2017•无锡）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选C．
【点评】本题考查了对中心对称图形的定义，能熟知中心对称图形的定义是解此
题的关键．
5．（3分）（2017•无锡）若a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则a﹣c等于（ ）
A．1B．﹣1 C．5D．﹣5
【分析】根据题中等式确定出所求即可．
【解答】解：∵a﹣b=2，b﹣c=﹣3，
∴a﹣c=（a﹣b）+（b﹣c）=2﹣3=﹣1，
故选B
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
第8页（共30页）6．（3分）（2017•无锡）如表为初三（1）班全部43名同学某次数学测验成绩的统
计结果，则下列说法正确的是（ ）
成绩 70 80 90
（分）
男生 5 10 7
（人）
女生 4 13 4
（人）
A．男生的平均成绩大于女生的平均成绩
B．男生的平均成绩小于女生的平均成绩
C．男生成绩的中位数大于女生成绩的中位数
D．男生成绩的中位数小于女生成绩的中位数
【分析】根据平均数的定义分别求出男生与女生的平均成绩，再根据中位数的定
义分别求出男生与女生成绩的中位数即可求解．
【解答】解：∵男生的平均成绩是：（70×5+80×10+90×7）÷22=1780÷22=80 ，
女生的平均成绩是：（70×4+80×13+90×4）÷21=1680÷21=80，
∴男生的平均成绩大于女生的平均成绩．
∵男生一共22人，位于中间的两个数都是80，所以中位数是（80+80）÷2=80，
女生一共21人，位于最中间的一个数是80，所以中位数是80，
∴男生成绩的中位数等于女生成绩的中位数．
故选A．
【点评】本题为统计题，考查平均数与中位数的意义，平均数是指在一组数据中所
有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重
新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，
如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数
据最中间的那个数当作中位数．
7．（3分）（2017•无锡）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是
4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）
A．20%B．25%C．50%D．62.5%
【分析】设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为2（1+x）2万元，依此等量
第9页（共30页）关系列出方程，求解即可．
【解答】解：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，
三月份销售额为2（1+x）2万元，
由题意可得：2（1+x）2=4.5，
解得：x =0.5=50%，x =﹣2.5（不合题意舍去），
1 2
答：该店销售额平均每月的增长率为50%；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键在于理解清楚题目的意思，
根据条件找出等量关系，列出方程求解．本题需注意根据题意分别列出二、三月
份销售额的代数式．
8．（3分）（2017•无锡）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，
能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a=3，b=2 B．a=﹣3，b=2 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣1，b=3
【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a2＞b2，但a＞b不成立，把四个选项
中的a、b的值分别代入验证即可．
【解答】解：
在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不
能说明命题为假命题；
在B中，a2=9，b2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中
a、b的值可以说明命题为假命题；
在C中，a2=9，b2=1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不
能说明命题为假命题；
在D中，a2=1，b2=9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2
＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
故选B．
【点评】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但
需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．
9．（3分）（2017•无锡）如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，
第10页（共30页）⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（ ）
A．5B．6C．2 D．3
【分析】如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．利用菱形的面积公式
求出DH，再利用勾股定理求出AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得 = ，即可解决问
题．
【解答】解：如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．
∵菱形ABCD的边AB=20，面积为320，
∴AB•DH=32O，
∴DH=16，
在Rt△ADH中，AH= =12，
∴HB=AB﹣AH=8，
在Rt△BDH中，BD= =8 ，
设⊙O与AB相切于F，连接OF．
∵AD=AB，OA平分∠DAB，
∴AE⊥BD，
∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，
∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，
∴△AOF∽△DBH，
∴ = ，
∴ = ，
∴OF=2 ．
故选C．
第11页（共30页）【点评】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质
等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中
考常考题型．
10．（3分）（2017•无锡）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中
点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）
A．2B．C．D．
【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，
△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，
∴BC= =5，
∵CD=DB，
∴AD=DC=DB= ，
∵ •BC•AH= •AB•AC，
∴AH= ，
∵AE=AB，DE=DB=DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
∵ •AD•BO= •BD•AH，
∴OB= ，
∴BE=2OB= ，
在Rt△BCE中，EC= = = ，
故选D．
第12页（共30页）【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解
题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）（2017•无锡）计算 × 的值是 6 ．
【分析】根据 • = （a≥0，b≥0）进行计算即可得出答案．
【解答】解： × = = =6；
故答案为：6．
【点评】此题考查了二次根式的乘除，掌握二次根式乘除的法则是解题的关键，是
一道基础题．
12．（2分）（2017•无锡）分解因式：3a2﹣6a+3= 3 （ a﹣ 1 ） 2 ．
【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．
故答案为：3（a﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式
是解题关键．
13．（2分）（2017•无锡）贵州FAST望远镜是目前世界第一大单口径射电望远镜，
反射面总面积约250000m2，这个数据用科学记数法可表示为 2. 5 × 1 0 5 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负
数．
【解答】解：将250000用科学记数法表示为：2.5×105．
故答案为：2.5×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（2分）（2017•无锡）如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，
第13页（共30页）根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是 1 1 ℃．
【分析】求出每天的最高气温与最低气温的差，再比较大小即可．
【解答】解：∵由折线统计图可知，周一的日温差=8℃+1℃=9℃；周二的日温差
=7℃+1℃=8℃；周三的日温差=8℃+1℃=9℃；周四的日温差=9℃；周五的日温差
=13℃﹣5℃=8℃；周六的日温差=15℃﹣71℃=8℃；周日的日温差=16℃﹣
5℃=11℃，
∴这7天中最大的日温差是11℃．
故答案为：11．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数比较大小的法则是解答此
题的关键．
15．（2分）（2017•无锡）若反比例函数y= 的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值为
2 ．
【分析】由一个已知点来求反比例函数解析式，只要把已知点的坐标代入解析式
就可求出比例系数．
【解答】解：把点（﹣1，﹣2）代入解析式可得k=2．
【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设y= ，再把已知点
的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
16．（2分）（2017•无锡）若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展
开图的面积为 15π cm2．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积= ×6π×5=15πcm2．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
第14页（共30页）17．（2分）（2017•无锡）如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC
为直径在矩形ABCD的内部作半圆O 和半圆O ，一平行于AB的直线EF与这两个
1 2
半圆分别交于点E、点F，且EF=2（EF与AB在圆心O 和O 的同侧），则由 ，EF，，
1 2
AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于 3﹣ ﹣ ．
【分析】连接O O ，O E，O F，过E作EG⊥O O ，过F⊥O O ，得到四边形EGHF是矩
1 2 1 2 1 2 1 2
形，根据矩形的性质得到GH=EF=2，求得O G= ，得到∠O EG=30°，根据三角形、梯
1 1
形、扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接O O ，O E，O F，
1 2 1 2
则四边形O O FE是等腰梯形，
1 2
过E作EG⊥O O ，过FH⊥O O ，
1 2 1 2
∴四边形EGHF是矩形，
∴GH=EF=2，
∴O G= ，
1
∵O E=1，
1
∴GE= ，
∴ = ；
∴∠O EG=30°，
1
∴∠AO E=30°，
1
同理∠BO F=30°，
2
∴阴影部分的面积=S ﹣2S ﹣S =3×1﹣2× ﹣（2+3）× =3﹣ ﹣ ．
故答案为：3﹣ ﹣ ．
第15页（共30页）【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，梯形的性质，正确的作出辅助
线是解题的关键．
18．（2分）（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的
正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 3 ．
【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可
以求得tan∠BOD的值，本题得以解决．
【解答】解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B= ，O′D′= ，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE= ，
∴O′E= = ，
∴tanBO′E= ，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
第16页（共30页）【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，
利用勾股定理和等积法解答．
三、解答题（本大题共10小题，共84分）
19．（8分）（2017•无锡）计算：
（1）|﹣6|+（﹣2）3+（ ）0；
（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）
【分析】（1）根据零指数幂的意义以及绝对值的意义即可求出答案；
（2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=6﹣8+1=﹣1
（2）原式=a2﹣b2﹣a2+ab=ab﹣b2
【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基
础题型．
20．（8分）（2017•无锡）（1）解不等式组：
（2）解方程： = ．
【分析】（1）分别解不等式，进而得出不等式组的解集；
（2）直接利用分式方程的解法去分母，进而求出x的值，再检验得出答案．
【解答】解：（1）解①得：x＞﹣1，
解②得：x≤6，
故不等式组的解集为：﹣1＜x≤6；
（2）由题意可得：5（x+2）=3（2x﹣1），
解得：x=13，
检验：当x=13时，（x+2）≠0，2x﹣1≠0，
第17页（共30页）故x=13是原方程的解．
【点评】此题主要考查了解分式方程以及解不等式组，正确掌握基本解题方法是
解题关键．
21．（8分）（2017•无锡）已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连
DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF．
【分析】根据线段中点的定义可得CE=BE，根据平行四边形的对边平行且相等可得
AB∥CD，AB=CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB=∠FBE，然后利用
“角边角”证明△CED和△BEF全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BF，从
而得证．
【解答】证明：∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠DCB=∠FBE，
在△CED和△BEF中， ，
∴△CED≌△BEF（ASA），
∴CD=BF，
∴AB=BF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟记性质并确
定出三角形全等的条件是解题的关键．
22．（8分）（2017•无锡）甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红心和
两张黑桃共四张扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到
相同颜色的即为游戏搭档，现甲、乙两人各抽取了一张，求两人恰好成为游戏搭
档的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
第18页（共30页）【分析】利用列举法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求
解．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12中情况，从4张牌中任意摸出2张牌花色相同颜色4种可能，所以两人恰
好成为游戏搭档的概率= = ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法
适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）（2017•无锡）某数学学习网站为吸引更多人注册加入，举行了一个为
期5天的推广活动，在活动期间，加入该网站的人数变化情况如下表所示：
时间 第1 第2天 第3 第4 第5
天 天 天 天
新加入人数（人） 153 550 653 b 725
累计总人数（人） 3353 3903 a 5156 5881
（1）表格中a= 4556 ，b= 60 0 ；
（2）请把下面的条形统计图补充完整；
（3）根据以上信息，下列说法正确的是 ① （只要填写正确说法前的序号）．
①在活动之前，该网站已有3200人加入；
②在活动期间，每天新加入人数逐天递增；
③在活动期间，该网站新加入的总人数为2528人．
第19页（共30页）【分析】（1）观察表格中的数据即可解决问题；
（2）根据第4天的人数600，画出条形图即可；
（3）根据题意一一判断即可；
【解答】解：（1）由题意a=3903+653=4556，b=5156﹣4556=600．
故答案为4556，600．
（2）统计图如图所示，
（3）①正确．3353﹣153=3200．故正确．
②错误．第4天增加的人数600＜第3天653，故错误．
③错误．增加的人数=153+550+653+600+725=2681，故错误．
故答案为①
【点评】本题考查条形统计图，解题的关键是能读懂表格以及条形图的信息，属于
中考常考题型．
24．（6分）（2017•无锡）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按
下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在
边BC和AC上．
第20页（共30页）【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；
（2）取BF=CH=AD构成等边三角形，作新等边三角形边的垂直平分，确定外心，再
作圆确定另外三点，六边形DEFGHI即为所求正六边形．
【解答】解：（1）如图所示：点O即为所求．
（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形
的性质．
25．（10分）（2017•无锡）操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点
除外），过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将
此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．
第21页（共30页）（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为 （ a + b ， b ） ；若点M经过T
变换后得到点N（6，﹣ ），则点M的坐标为 （ 9 ，﹣ 2 ） ．
（2）A是函数y= x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．
①求经过点O，点B的直线的函数表达式；
②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．
【分析】（1）连接CQ可知△PCQ为等边三角形，过Q作QD⊥PC，利用等边三角形
的性质可求得CD和QD的长，则可求得Q点坐标；设出M点的坐标，利用P、Q坐
标之间的关系可得到点M的方程，可求得M点的坐标；
（2）①可设A（t，t），利用T变换可求得B点坐标，利用待定系数示可求得直线
OB的函数表达式；
②方法1、由待定系数示可求得直线AB的解析式，可求得D点坐标，则可求得
AB、AD的长，可求得△OAB的面积与△OAD的面积之比．
方法2、先确定出△BOD比△OAD（B与A横坐标绝对值的比更简单）得出面积关
系，即可得出结论．
【解答】解：
（1）如图1，连接CQ，过Q作QD⊥PC于点D，
由旋转的性质可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
第22页（共30页）∵P（a，b），
∴OC=a，PC=b，
∴CD= PC= b，DQ= PQ= b，
∴Q（a+ b， b）；
设M（x，y），则N点坐标为（x+ y， y），
∵N（6，﹣ ），
∴ ，解得 ，
∴M（9，﹣2 ）；
故答案为：（a+ b， b）；（9，﹣2 ）；
（2）①∵A是函数y= x图象上异于原点O的任意一点，
∴可设A（t， t），
∴t+ × t= t， × t= t，
∴B（ t， t），
设直线OB的函数表达式为y=kx，则 tk= t，解得k= ，
∴直线OB的函数表达式为y= x；
②方法1、设直线AB解析式为y=k′x+b，
把A、B坐标代入可得 ，解得 ，
∴直线AB解析式为y=﹣ x+ t，
∴D（0， t），且A（t， t），B（ t， t），
∴AB= = |t|，AD= = |t|，
∴ = = = ．
方法2、由（1）知，A（t， t），B（ t， t），
第23页（共30页）∴ = = ，
∵△AOB、△AOD和△BOD的边AB、AD和BD上的高相同，
∴ = ．
【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及等边三角形的判定和性质、待定系数法、
三角形的面积及方程思想等知识，理解题目中的T变换是解题的关键．本题考查
知识点较多，综合性较强，难度适中．
26．（10分）（2017•无锡）某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护
环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：
污水处理器型号 A型 B型
处理污水能力（吨/月） 240 180
已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A
型、4台B型污水处理器的总价为42万元．
（1）求每台A型、B型污水处理器的价格；
（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，
那么他们至少要支付多少钱？
【分析】（1）可设每台A型污水处理器的价格是x万元，每台B型污水处理器的价
格是y万元，根据等量关系：①2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，
②1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元，列出方程组求解即可；
（2）由于求至少要支付的钱数，可知购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理
器，费用最少，进而求解即可．
【解答】解：（1）可设每台A型污水处理器的价格是x万元，每台B型污水处理器
的价格是y万元，依题意有
，
解得 ．
答：每台A型污水处理器的价格是10万元，每台B型污水处理器的价格是8万元；
（2）购买9台A型污水处理器，费用为10×9=90（万元）；
购买8台A型污水处理器、1台B型污水处理器，费用为
10×8+8
第24页（共30页）=80+8
=88（万元）；
购买7台A型污水处理器、2台B型污水处理器，费用为
10×7+8×2
=70+16
=86（万元）；
购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器，费用为
10×6+8×3
=60+24
=84（万元）；
购买5台A型污水处理器、5台B型污水处理器，费用为
10×5+8×5
=50+40
=90（万元）；
购买4台A型污水处理器、6台B型污水处理器，费用为
10×4+8×6
=40+48
=88（万元）；
购买3台A型污水处理器、7台B型污水处理器，费用为
10×3+8×7
=30+56
=86（万元）；
购买2台A型污水处理器、9台B型污水处理器，费用为
10×2+8×9
=20+72
=92（万元）；
购买1台A型污水处理器、10台B型污水处理器，费用为
10×1+8×10
=10+90
=90（万元）；．
第25页（共30页）购买11台B型污水处理器，费用为
8×11=88（万元）．
故购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器，费用最少．
答：他们至少要支付84万元钱．
【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是
读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
27．（10分）（2017•无锡）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于
A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与
⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：
CE=1：2．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．
【分析】（1）如图，作EF⊥y轴于F，DC的延长线交EF于H．设C（m，n），则P（m，
0），PA=m+3，PB=3﹣m．首先证明△ACP∽△ECH，推出 = = = ，推出CH=2n，
EH=2m+6，再证明△DPB∽△DHE，推出 = = = ，可得 = ，求出m即可解决问题；
（2）由题意设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣5），求出E点坐标代入即可解决问
题；
【解答】解：（1）如图，作EF⊥y轴于F，DC的延长线交EF于H．设C（m，n），则P
（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．
第26页（共30页）∵EH∥AP，
∴△ACP∽△ECH，
∴ = = = ，
∴CH=2n，EH=2m+6，
∵CD⊥AB，
∴PC=PD=n，
∵PB∥HE，
∴△DPB∽△DHE，
∴ = = = ，
∴ = ，
∴m=1，
∴P（1，0）．
（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，
连接OC，在Rt△OCP中，PC= =2 ，
∴CH=2PC=4 ，PH=6 ，
∴E（9，6 ），
∵抛物线的对称轴为CD，
∴（﹣3，0）和（5，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣5），把E（9，
6 ）代入得到a= ，
∴抛物线的解析式为y= （x+3）（x﹣5），即y= x2﹣ x﹣ ．
【点评】本题考查圆综合题、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、
二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问
题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
第27页（共30页）28．（8分）（2017•无锡）如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出
发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC
的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．
（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．
（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻
t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．
【分析】（1）如图1中，设PD=t．则PA=6﹣t．首先证明BP=BC=6，在Rt△ABP中利
用勾股定理即可解决问题；
（2）分两种情形求出AD的值即可解决问题：①如图2中，当点P与A重合时，点E
在BC的下方，点E到BC的距离为3．②如图3中，当点P与A重合时，点E在BC
的上方，点E到BC的距离为3；
【解答】解：（1）如图1中，设PD=t．则PA=6﹣t．
∵P、B、E共线，
∴∠BPC=∠DPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，
第28页（共30页）∴∠BPC=∠PCB，
∴BP=BC=6，
在Rt△ABP中，∵AB2+AP2=PB2，
∴42+（6﹣t）2=62，
∴t=6﹣2 或6+2 （舍弃），
∴PD=6﹣2 ，
∴t=（6﹣2 ）s时，B、E、P共线．
（2）如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．
作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ=3，CE=DC=4
易证四边形EMCQ是矩形，
∴CM=EQ=3，∠M=90°，
∴EM= = = ，
∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，
∴△ADC∽△DME，
= ，
∴ = ，
∴AD=4 ，
如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3．
作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M．则EQ=3，CE=DC=4
第29页（共30页）在Rt△ECQ中，QC=DM= = ，
由△DME∽△CDA，
∴ = ，
∴ = ，
∴AD= ，
综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点
E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围 ≤m＜4 ．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定
理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思
考问题，属于中考压轴题．
第30页（共30页）
