文档内容
2017 年江苏省南通市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（ ）
A．0B．2C．﹣1 D．﹣2
2．（3分）近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业
岗位，将180000用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×105B．1.8×104C．0.18×106D．18×104
3．（3分）下列计算，正确的是（ ）
A．a2﹣a=a B．a2•a3=a6 C．a9÷a3=a3D．（a3）2=a6
4．（3分）如图是由 4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是
（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）
6．（3分）如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（ ）
A．4π B．6π C．12π D．16π
7．（3分）一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数D．方差
8．（3分）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在
第1页（共30页）随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的
水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（ ）
A．5L B．3.75LC．2.5L D．1.25L
9．（3分）已知∠AOB，作图．
步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、
OB于点P、Q；
步骤2：过点M作PQ的垂线交 于点C；
步骤3：画射线OC．
则下列判断：① = ；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为
（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边
上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）
A．5 B．10 C．10 D．15
二、填空题（每小题3分，共24分）
第2页（共30页）11．（3分）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= ．
13．（3分）四边形ABCD内接于圆，若∠A=110°，则∠C= 度．
14．（3分）若关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
15．（3分）如图，将△AOB绕点 O按逆时针方向旋转 45°后得到△COD，若
∠AOB=15°，则∠AOD= 度．
16．（3分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所
用的时间比乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 ．
17．（3分）已知x=m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x=﹣m时，该多项式的值
为 ．
18．（3分）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y=（x＞
0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为
．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
第3页（共30页）19．（10分）（1）计算：|﹣4|﹣（﹣2）2+ ﹣（ ）0
（2）解不等式组 ．
20．（8分）先化简，再求值：（m+2﹣ ）• ，其中m=﹣ ．
21．（9分）某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他
们平均每天的课外阅读时间（t 单位：min），然后利用所得数据绘制成如下不完整
的统计表．
课外阅读时间t 频数 百分比
10≤t＜30 4 8%
30≤t＜50 8 16%
50≤t＜70 a 40%
70≤t＜90 16 b
90≤t＜110 2 4%
合计 50 100%
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于
50min？
22．（8分）不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无
其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率．
23．（8分）热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看
这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度
（结果保留根号）．
第4页（共30页）24．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的
⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
25．（9分）某学习小组在研究函数y= x3﹣2x的图象与性质时，已列表、描点并画
出了图象的一部分．
x … ﹣4 ﹣ ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 3.5 4 …
3.5
y … ﹣ ﹣ 0 ﹣ ﹣ ﹣ …
（1）请补全函数图象；
（2）方程 x3﹣2x=﹣2实数根的个数为 ；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
26．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、
BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
第5页（共30页）（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．
27．（13分）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一
条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图
形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．
（1）等边三角形“內似线”的条数为 ；
（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的
“內似线”；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC
的“內似线”，求EF的长．
28．（13分）已知直线y=kx+b与抛物线y=ax（2 a＞0）相交于A、B两点（点A在点B
的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；
（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；
（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．
第6页（共30页）2017 年江苏省南通市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•南通）在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（ ）
A．0B．2C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
【解答】解：∵在0、2、﹣1、﹣2这四个数中只有﹣2＜﹣1＜0，0＜2
∴在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数是﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了实数大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于
0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3分）（2017•南通）近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约
180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×105B．1.8×104C．0.18×106D．18×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将180000用科学记数法表示为1.8×105，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2017•南通）下列计算，正确的是（ ）
A．a2﹣a=a B．a2•a3=a6 C．a9÷a3=a3D．（a3）2=a6
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：A、a2﹣a，不能合并，故A错误；
第7页（共30页）B、a2•a3=a5，故B错误；
C、a9÷a3=a6，故C错误；
D、（a3）2=a6，故D正确；
故选D．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握运算法则
是解题的关键．
4．（3分）（2017•南通）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左
视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．
故选A．
【点评】此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左
视图的观察位置．
5．（3分）（2017•南通）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐
标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答
案．
【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6．（3分）（2017•南通）如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为
第8页（共30页）（ ）
A．4π B．6π C．12π D．16π
【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出
它的侧面积．
【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，
故选C．
【点评】本题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解
决问题的关键．
7．（3分）（2017•南通）一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统
计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数D．方差
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【解答】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数扔为2，故A与要求不
符；
B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数扔为2，故B与要求不符；
C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数扔为2，故C与要求不符；
D、原来数据的方差= = ，
添加数字2后的方差= = ，故方差发生了变化．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式
是解题的关键．
8．（3分）（2017•南通）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只
进水不出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个
第9页（共30页）常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水
量为（ ）
A．5L B．3.75LC．2.5L D．1.25L
【分析】观察函数图象找出数据，根据“每分钟进水量=总进水量÷放水时间”算
出每分钟的进水量，再根据“每分钟的出水量=每分钟的进水量﹣每分钟增加的
水量”即可算出结论．
【解答】解：每分钟的进水量为：20÷4=5（升），
每分钟的出水量为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）=3.75（升）．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象找出数据结合数量关
系列式计算．
9．（3分）（2017•南通）已知∠AOB，作图．
步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、
OB于点P、Q；
步骤2：过点M作PQ的垂线交 于点C；
步骤3：画射线OC．
则下列判断：① = ；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为
（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由OQ为直径可得出OA⊥PQ，结合MC⊥PQ可得出OA∥MC，结论②正确；
第10页（共30页）根据平行线的性质可得出∠PAO=∠CMQ，结合圆周角定理可得出∠COQ=
∠POQ=∠BOQ，进而可得出 = ，OC平分∠AOB，结论①④正确；由∠AOB的度数
未知，不能得出OP=PQ，即结论③错误．综上即可得出结论．
【解答】解：∵OQ为直径，
∴∠OPQ=90°，OA⊥PQ．
∵MC⊥PQ，
∴OA∥MC，结论②正确；
①∵OA∥MC，
∴∠PAO=∠CMQ．
∵∠CMQ=2∠COQ，
∴∠COQ= ∠POQ=∠BOQ，
∴ = ，OC平分∠AOB，结论①④正确；
∵∠AOB的度数未知，∠POQ和∠PQO互余，
∴∠POQ不一定等于∠PQO，
∴OP不一定等于PQ，结论③错误．
综上所述：正确的结论有①②④．
故选C．
【点评】本题考查了作图中的复杂作图、角平分线的定义、圆周角定理以及平行线
的判定及性质，根据作图的过程逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
10．（3分）（2017•南通）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩
形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（ ）
A．5 B．10 C．10 D．15
【分析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长
取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′=AB=10、
第11页（共30页）GG′=AD=5，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的
最小值．
【解答】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH
周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．
∵AE=CG，BE=BE′，
∴E′G′=AB=10，
∵GG′=AD=5，
∴E′G= =5 ，
∴C =2E′G=10 ．
四边形EFGH
故选B．
【点评】本题考查了轴对称中的最短路线问题以及矩形的性质，找出四边形EFGH
周长取最小值时点E、F、G之间为位置关系是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）（2017•南通）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x ≥ 2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开
方数是非负数．
12．（3分）（2017•南通）如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= 4 ．
第12页（共30页）【分析】易得DE是△ABC的中位线，那么DE应等于BC长的一半．
【解答】解：根据三角形的中位线定理，得：DE= BC=4．
故答案为4．
【点评】考查了三角形的中位线定理的数量关系：三角形的中位线等于第三边的
一半．
13．（3分）（2017•南通）四边形ABCD内接于圆，若∠A=110°，则∠C= 7 0 度．
【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=110°，
∴∠C=70°，
故答案为：70．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解
题的关键．
14．（3分）（2017•南通）若关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根，则c的
值为 9 ．
【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4c=0，然后解关于c的一次方程即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣6）2﹣4c=0，
解得c=9．
故答案为9．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣
4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两
个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
第13页（共30页）15．（3分）（2017•南通）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到
△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 3 0 度．
【分析】根据旋转的性质可得∠BOD，再根据∠AOD=∠BOD﹣∠AOB计算即可得
解．
【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，
∴∠BOD=45°，
∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=45°﹣15°=30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转角的概念，需熟记．
16．（3分）（2017•南通）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，
甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数
为 8 ．
【分析】设乙每小时做x个，则甲每小时做（x+4）个，甲做60个所用的时间为 ，乙
做40个所用的时间为 ；根据甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等
列方程求解．
【解答】解：设乙每小时做x个，则甲每小时做（x+4）个，甲做60个所用的时间为 ，
乙做40个所用的时间为 ，
列方程为： = ，
解得：x=8，
经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙每小时做8个．
故答案是：8．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，
找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
第14页（共30页）17．（3分）（2017•南通）已知x=m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x=﹣m时，该
多项式的值为 3 ．
【分析】根据非负数的性质，得出m=﹣1，n=0，由此即可解决问题．
【解答】解：∵多项式x2+2x+n2=（x+1）2+n2﹣1，
∵（x+1）2≥0，n2≥0，
∴（x+1）2+n2﹣1的最小值为﹣1，
此时m=﹣1，n=0，
∴x=﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2=3
故答案为3．
或解：∵多项式x2+2x+n2的值为﹣1，
∴x2+2x+1+n2=0，
∴（x+1）2+n2=0，
∵（x+1）2≥0，n2≥0，
∴ ，
∴x=m=﹣1，n=0，
∴x=﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2=3
故答案为3．
【点评】本题考查代数式求值，非负数的性质等知识、学会整体代入的思想解决问
题是解题的关键．
18．（3分）（2017•南通）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例
函数y=（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的
坐标为 （ 8 ， ） ．
【分析】先根据点A（5，12），求得反比例函数的解析式为y= ，可设D（m，），BC的
第15页（共30页）解析式为y= x+b，把D（m，）代入，可得b= ﹣ m，进而得到BC的解析式为y= x+
﹣ m，据此可得OC=m﹣ =AB，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，根据
△DEB∽△AFO，可得DB=13﹣ ，最后根据AB=BD，得到方程m﹣ =13﹣ ，进而求
得D的坐标．
【解答】解：∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A（5，12），
∴k=12×5=60，
∴反比例函数的解析式为y= ，
设D（m， ），
由题可得OA的解析式为y= x，AO∥BC，
∴可设BC的解析式为y= x+b，
把D（m， ）代入，可得 m+b= ，
∴b= ﹣ m，
∴BC的解析式为y= x+ ﹣ m，
令y=0，则x=m﹣ ，即OC=m﹣ ，
∴平行四边形ABCO中，AB=m﹣ ，
如图所示，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，则△DEB∽△AFO，
∴ = ，而AF=12，DE=12﹣ ，OA= =13，
∴DB=13﹣ ，
∵AB=DB，
∴m﹣ =13﹣ ，
解得m =5，m =8，
1 2
又∵D在A的右侧，即m＞5，
∴m=8，
∴D的坐标为（8， ）．
故答案为：（8， ）．
第16页（共30页）【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质
的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相
等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．（10分）（2017•南通）（1）计算：|﹣4|﹣（﹣2）2+ ﹣（ ）0
（2）解不等式组 ．
【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义计
算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果．
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：（1）原式=4﹣4+3﹣1=2；
（2）
解不等式①得，x≥1，
解不等式②得，x＜4，
所以不等式组的解集是1≤x＜4．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀
求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小
找不到（无解）．也考查了实数的运算．
20．（8分）（2017•南通）先化简，再求值：（m+2﹣ ）• ，其中m=﹣ ．
【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算．
【解答】解：（m+2﹣ ）• ，
= • ，
=﹣ • ，
第17页（共30页）=﹣2（m+3）．
把m=﹣ 代入，得
原式=﹣2×（﹣ +3）=﹣5．
【点评】本题考查了分式的化简求值．分式混合运算要注意先去括号；分子、分母
能因式分解的先因式分解．
21．（9分）（2017•南通）某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学
生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制
成如下不完整的统计表．
课外阅读时间t 频数 百分比
10≤t＜30 4 8%
30≤t＜50 8 16%
50≤t＜70 a 40%
70≤t＜90 16 b
90≤t＜110 2 4%
合计 50 100%
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）a= 2 0 ，b= 32% ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于
50min？
【分析】（1）利用百分比= ，计算即可；
（2）根据b的值计算即可；
（3）用一般估计总体的思想思考问题即可；
【解答】解：（1）∵总人数=50人，
第18页（共30页）∴a=50×40%=20，b= ×100%=32%，
故答案为20，32%．
（2）频数分布直方图，如图所示．
（3）900× =684，
答：估计该校有684名学生平均每天的课外阅读时间不少于50min．
【点评】本题考查表示频数分布直方图、频数分布表、总体、个体、百分比之间的关
系等知识，解题的关键是记住基本概念，属于中考常考题型．
22．（8分）（2017•南通）不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些
球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸
到红球的概率．
【分析】利用树状图得出所有符合题意的情况，进而理概率公式求出即可．
【解答】解：如图所示：
，
所有的可能有12种，符合题意的有2种，故两次均摸到红球的概率为： = ．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，根据题意利用树状图得出所有情况是
解题关键．
23．（8分）（2017•南通）热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰
角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求
这栋楼的高度（结果保留根号）．
第19页（共30页）【分析】根据正切的概念分别求出BD、DC，计算即可．
【解答】解：在Rt△ADB中，∠BAD=45°，
∴BD=AD=100m，
在Rt△ADC中，CD=AD×tan∠DAC=100 m
∴BC=（100+100 ）m，
答：这栋楼的高度为（100+100 ）m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概
念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（8分）（2017•南通）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，
以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
【分析】连接OD，首先证明四边形OFCD是矩形，从而得到BF的长，然后利用垂径
定理求得BE的长即可．
【解答】解：连接OD，作OF⊥BE于点F．
∴BF= BE，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠C=∠OEC=90°，
∴四边形ODCF是矩形，
第20页（共30页）∵OD=OB=FC=2，BC=3，
∴BF=BC﹣FC=BC﹣OD=3﹣2=1，
∴BE=2BF=2．
【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理及垂径定理的知识，解题的关键是能够
利用切线的性质构造矩形形，难度不大．
25．（9分）（2017•南通）某学习小组在研究函数y= x3﹣2x的图象与性质时，已列
表、描点并画出了图象的一部分．
x … ﹣4 ﹣ ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 3.5 4 …
3.5
y … ﹣ ﹣ 0 ﹣ ﹣ ﹣ …
（1）请补全函数图象；
（2）方程 x3﹣2x=﹣2实数根的个数为 3 ；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
【分析】（1）用光滑的曲线连接即可得出结论；
（2）根据函数y= x3﹣2x和直线y=﹣2的交点的个数即可得出结论；
（3）根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：（1）补全函数图象如图所示，
第21页（共30页）（2）如图1，
作出直线y=﹣2的图象，
由图象知，函数y= x3﹣2x的图象和直线y=﹣2有三个交点，
∴方程 x3﹣2x=﹣2实数根的个数为3，
故答案为3；
（3）由图象知，
1、此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值，
2、此函数在x＜﹣2和x＞2，y随x的增大而增大，
3、此函数图象过原点，
4、此函数图象关于原点对称．
【点评】此题主要考查了函数图象的画法，利用函数图象确定方程解的个数的方
法，解本题的关键是补全函数图象．
第22页（共30页）26．（10分）（2017•南通）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，
分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明 QB=QE，由 ASA 证明
△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判
定即可得出结论；
（2）根据三角形中位线的性质可得AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18﹣x，在
Rt△ABE中，根据勾股定理可得62+x2=（18﹣x）2，BE=10，得到OB= BE=5，设PE=y，
则AP=8﹣y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得62+（8﹣y）2=y2，解得y=
，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得PO= = ，由PQ=2PO即可求解．
【解答】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，
∴QB=QE，OB=OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PEO=∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，
，
∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE=QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB=QE，
∴四边形BPEQ是菱形；
第23页（共30页）（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，
∴AE+BE=2OF+2OB=18，
设AE=x，则BE=18﹣x，
在Rt△ABE中，62+x2=（18﹣x）2，
解得x=8，
BE=18﹣x=10，
∴OB= BE=5，
设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，
在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2=y2，解得y= ，
在Rt△BOP中，PO= = ，
∴PQ=2PO= ．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、
线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
27．（13分）（2017•南通）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三
角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形
若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．
（1）等边三角形“內似线”的条数为 3 ；
（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的
“內似线”；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC
的“內似线”，求EF的长．
【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，证出
第24页（共30页）△BCD∽△ABC，再由三角形的外角性质证出BD平分∠ABC即可；
（3）分两种情况：①当 = = 时，EF∥AB，由勾股定理求出AB= =5，作DN⊥BC于
N，则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，求出DN=（AC+BC﹣AB）=1，由几何
平分线定理得出 = ，求出CE= ，证明△CEF∽△CAB，得出对应边成比例求出EF=
；
②当 = = 时，同理得：EF= 即可．
【解答】（1）解：等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：
则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”；
故答案为：3；
（2）证明：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，
∴△BCD∽△ABC，
又∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
即BD过△ABC的内心，
∴BD是△ABC的“內似线”；
（3）解：设D是△ABC的内心，连接CD，
则CD平分∠ACB，
∵EF是△ABC的“內似线”，
∴△CEF与△ABC相似；
分两种情况：①当 = = 时，EF∥AB，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= =5，
作DN⊥BC于N，如图2所示：
则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，
∴DN= （AC+BC﹣AB）=1，
∵CD平分∠ACB，
第25页（共30页）∴ = ，
∵DN∥AC，
∴ = ，即 ，
∴CE= ，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ ，即 ，
解得：EF= ；
②当 = = 时，同理得：EF= ；
综上所述，EF的长为 ．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形的内心、
勾股定理、直角三角形的内切圆半径等知识；本题综合性强，有一定难度．
28．（13分）（2017•南通）已知直线y=kx+b与抛物线y=ax（2 a＞0）相交于A、B两点
（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；
（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；
（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．
第26页（共30页）【分析】（1）如图1，由条件可知△AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在
Rt△AOD中可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，代入抛物线解析式可得a的
值；
（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF∥BG，由A的横坐标为
﹣4，得B的横坐标为1，所以A（﹣4，16a），B（1，a），证明△ADO∽△OEB，则 ，
得a的值及B的坐标；
（3）如图3，设AC=nBC由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B
（m，am2），则A（﹣mn，am2n2），分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得
出结论．
【解答】解：（1）如图1，∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，
∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB=2，AB⊥OC，
∴AC=BC=1，∠BOC=30°，
∴OC= ，
∴A（﹣1， ），
把A（﹣1， ）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a= ；
（2）如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于
F，
∵CF∥BG，
∴ ，
∵AC=4BC，
∴ =4，
∴AF=4FG，
∵A的横坐标为﹣4，
∴B的横坐标为1，
∴A（﹣4，16a），B（1，a），
∵∠AOB=90°，
第27页（共30页）∴∠AOD+∠BOE=90°，
∵∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠BOE=∠DAO，
∵∠ADO=∠OEB=90°，
∴△ADO∽△OEB，
∴ ，
∴ ，
∴16a2=4，
a=± ，
∵a＞0，
∴a= ；
∴B（1， ）；
（3）如图3，设AC=nBC，
由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，
则设B（m，am2），则A（﹣mn，am2n2），
∴AD=am2n2，
过B作BF⊥x轴于F，
∴DE∥BF，
∴△BOF∽△EOD，
∴ = = ，
∴ ，
∴ = ，DE=am2n，
∴ = ，
∵OC∥AE，
∴△BCO∽△BAE，
∴ ，
∴ = ，
∴CO= =am2n，
∴DE=CO．
第28页（共30页）【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用三角形相似计算二次函数的解析
式、三角形相似的性质和判定、函数图象上点的坐标与解析式的关系、等边三角
形的性质和判定，要注意第三问不能直接应用（1）（2）问的结论，第三问可以根据
第二问中AC=4BC，确定A、B两点横坐标的关系，利用两点的纵坐标和三角形相
似列比例式解决问题．
第29页（共30页）第30页（共30页）
