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2017 年河北省中考数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42分。1～10小题各3分，11～16小题各2分，
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列运算结果为正数的是（ ）
A．（﹣3）2 B．﹣3÷2 C．0×（﹣2017）D．2﹣3
2．（3分）把0.0813写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a为（ ）
A．1B．﹣2 C．0.813D．8.13
3．（3分）用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（ ）
A． B ．
C． D ．
第1页（共34页）4．（3分） =（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图 1的正方形放在图2中
①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这
个位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（3分）如图为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）
A．100分 B．80分C．60分D．40分
7．（3分）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应
角∠B的度数相比（ ）
A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%）D．没有改变
8．（3分）如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是
（ ）
第2页（共34页）A． B． C． D．
9．（3分）求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AC⊥BD．
以下是排乱的证明过程：
①又BO=DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB=AD．
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②
10．（3分）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，
并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的
航向不能是（ ）
第3页（共34页）A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
11．（2分）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下
四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2分）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列
选项错误的是（ ）
A．4+4﹣ =6B．4+40+40=6C．4+ =6 D．4﹣1÷ +4=6
13．（2分）若 = + ，则 中的数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．任意实数
第4页（共34页）14．（2分）甲、乙两组各有12名学生，组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计
图表，如图，
甲组12户家庭用水量统计表
用水量（吨） 4 5 6 9
户数 4 5 2 1
比较5月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是（ ）
A．甲组比乙组大 B．甲、乙两组相同
C．乙组比甲组大 D．无法判断
15．（2分）如图，若抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点
的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=（x＞0）的图象是（ ）
A． B． C． D ．
第5页（共34页）16．（2分）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六
边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋
转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连
续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
二、填空题（本大题共3小题，共10分。17～18小题各3分；19小题有2个空，每
空2分。把答案写在题中横线上）
17．（3分）如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边
选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m，
则A，B间的距离为 m．
18．（3分）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α= °．
第6页（共34页）19．（4分）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如
min{1，2}=1，因此，min{﹣ ，﹣ }= ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x=
．
三、解答题（本大题共7小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
20．（8分）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图
所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又
是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．
21．（9分）编号为1～5号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5次，每命中1
次记1分，没有命中记0分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图．
之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为40%．
（1）求第6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；
（2）在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于50%的学生的概率；
（3）最后，又来了第7号学生，也按同样记分规定投了5次，这时7名学生积分的
众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数，以及第7号学生的积分．
第7页（共34页）22．（9分）发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 （1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5
的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
23．（9分）如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将
OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧 于点P，Q，且点
P，Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ=4 时，求 的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．
24．（10分）如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x=﹣5与x轴交于点D，直线
y=﹣ x﹣ 与x轴及直线x=﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．
（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；
（2）设面积的和S=S +S ，求S的值；
△CDE 四边形ABDO
（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而
△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的
面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S ≠S，请通过计算解释他的想
△AOC
法错在哪里．
第8页（共34页）25．（11分）平面内，如图，在 ▱ABCD中，AB=10，AD=15，tanA= ，点P为AD边上任
意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．
（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；
（2）当tan∠ABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；
（3）若点Q恰好落在 ▱ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过
的面积．（结果保留π）
26．（12分）某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件
的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持
不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n
为整数，1≤n≤12），符合关系式x=2n2﹣2kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中
的数据．
月份n（月） 1 2
成本y（万元/件） 11 12
需求量x（件/月） 120 100
（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m．
第9页（共34页）2017 年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16小题，共42分。1～10小题各3分，11～16小题各2分，
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2017•河北）下列运算结果为正数的是（ ）
A．（﹣3）2 B．﹣3÷2 C．0×（﹣2017）D．2﹣3
【分析】各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=9，符合题意；
B、原式=﹣1.5，不符合题意；
C、原式=0，不符合题意，
D、原式=﹣1，不符合题意，
故选A
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）（2017•河北）把0.0813写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a
为（ ）
A．1B．﹣2 C．0.813D．8.13
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：把0.0813写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a为8.13，
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|
＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2017•河北）用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（ ）
第10页（共34页）A． B ．
C． D ．
【分析】根据量角器的使用方法进行选择即可．
【解答】解：量角器的圆心一定要与O重合，
故选C．
【点评】本题考查了角的概念，掌握量角器的使用方法是解题的关键．
4．（3分）（2017•河北） =（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据乘方和乘法的意义即可求解．
【解答】解： = ．
第11页（共34页）故选：B．
【点评】考查了有理数的混合运算，关键是熟练掌握乘方和乘法的意义．
5．（3分）（2017•河北）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放
在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称
图形，这个位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图
形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答
案．
【解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．
6．（3分）（2017•河北）如图为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）
A．100分 B．80分C．60分D．40分
【分析】根据绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数进行计算即可．
第12页（共34页）【解答】解：﹣1的绝对值为1，
2的倒数为 ，
﹣2的相反数为2，
1的立方根为1，
﹣1和7的平均数为3，
故小亮得了80分，
故选B．
【点评】本题考查了实数，掌握绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数的定义是
解题的关键．
7．（3分）（2017•河北）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的
度数与其对应角∠B的度数相比（ ）
A．增加了10% B．减少了10% C．增加了（1+10%）D．没有改变
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形
相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故选D．
【点评】本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
8．（3分）（2017•河北）如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主
视图是（ ）
第13页（共34页）A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边两个小正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
9．（3分）（2017•河北）求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AC⊥BD．
以下是排乱的证明过程：
①又BO=DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB=AD．
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②
【分析】根据菱形是特殊的平行四边形以及等腰三角形的性质证明即可．
【解答】证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴BO=DO，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD，
第14页（共34页）∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②，
故选B．
【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，熟练掌握菱形的性质是解
题的关键．
10．（3分）（2017•河北）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，
B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙
相撞，则乙的航向不能是（ ）
A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
【分析】根据已知条件即可得到结论．
【解答】解：∵甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，
∴乙的航向不能是北偏西35°，
故选D．
【点评】本题主要考查的是方向角问题，理解方向角的定义是解决本题的关键．
11．（2分）（2017•河北）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个
三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（ ）
第15页（共34页）A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线为10 ≈14，由此即可判定A不正确．
【解答】解：选项A不正确．理由正方形的边长为10，所以对角线=10 ≈14，
因为15＞14，所以这个图形不可能存在．
故选A．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理求
出正方形的对角线的长．
12．（2分）（2017•河北）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对
话内容，下列选项错误的是（ ）
A．4+4﹣ =6B．4+40+40=6C．4+ =6 D．4﹣1÷ +4=6
【分析】根据实数的运算方法，求出每个选项中左边算式的结果是多少，判断出哪
个算式错误即可．
【解答】解：∵4+4﹣ =6，
∴选项A不符合题意；
∵4+40+40=6，
∴选项B不符合题意；
第16页（共34页）∵4+ =6，
∴选项C不符合题意；
∵4﹣1÷ +4=4 ，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在
进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算
乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺
序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
13．（2分）（2017•河北）若 = + ，则 中的数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．任意实数
【分析】直接利用分式加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵ = + ，
∴ ﹣ = = = =﹣2，
故____中的数是﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握分式加减运算法则是解题关
键．
14．（2分）（2017•河北）甲、乙两组各有12名学生，组长绘制了本组5月份家庭
用水量的统计图表，如图，
甲组12户家庭用水量统计表
用水量（吨） 4 5 6 9
户数 4 5 2 1
比较5月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是（ ）
第17页（共34页）A．甲组比乙组大 B．甲、乙两组相同
C．乙组比甲组大 D．无法判断
【分析】根据中位数定义分别求解可得．
【解答】解：由统计表知甲组的中位数为 =5（吨），
乙组的4吨和6吨的有12× =3（户），7吨的有12× =2户，
则5吨的有12﹣（3+3+2）=4户，
∴乙组的中位数为 =5（吨），
则甲组和乙组的中位数相等，
故选：B．
【点评】本题主要考查中位数和扇形统计图，根据扇形图中各项目的圆心角求得
其数量是解题的关键．
15．（2分）（2017•河北）如图，若抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除
外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=（x＞0）的图
象是（ ）
第18页（共34页）A． B． C． D ．
【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出k=4，即可得出答案．
【解答】解：抛物线y=﹣x2+3，当y=0时，x=± ；
当x=0时，y=3，
则抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是
整数）为（﹣1，1），（0，1），（0，2），（1，1）；共有4个，
∴k=4；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象，解决本题的关键是
求出k的值．
16．（2分）（2017•河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正
方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋
转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连
续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
第19页（共34页）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观
察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，由此即可判断．
【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
故选C．
【点评】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨
迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
二、填空题（本大题共3小题，共10分。17～18小题各3分；19小题有2个空，每
空2分。把答案写在题中横线上）
17．（3分）（2017•河北）如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，
小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得
MN=200m，则A，B间的距离为 10 0 m．
第20页（共34页）【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵AM=AC，BN=BC，
∴AB是△ABC的中位线，
∴AB= MN=100m，
故答案为：100．
【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于
第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
18．（3分）（2017•河北）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α= 5 6 °．
【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的
定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据
三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF= ∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°﹣34°=56°，
∴∠α=56°．
第21页（共34页）故答案为：56．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法
是解答此题的关键．
19．（4分）（2017•河北）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较
小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣ ，﹣ }= ﹣ ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则
x= 2 或﹣ 1 ．
【分析】首先理解题意，进而可得min{﹣ ，﹣ }=﹣ ，min{（x﹣1）2，x2}=1时再分
情况讨论，当x=0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．
【解答】解：min{﹣ ，﹣ }=﹣ ，
∵min{（x﹣1）2，x2}=1，
当x=0.5时，x2=（x﹣1）2，不可能得出，最小值为1，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，
则（x﹣1）2=1，
x﹣1=±1，
x﹣1=1，x﹣1=﹣1，
解得：x =2，x =0（不合题意，舍去），
1 2
当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
则x2=1，
解得：x =1（不合题意，舍去），x =﹣1，
1 2
故答案为： ；2或﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，以及二次函数的性质，关键是正确理解
题意．
三、解答题（本大题共7小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
第22页（共34页）骤）
20．（8分）（2017•河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中
AB=2，BC=1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又
是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．
【分析】（1）根据以B为原点，则C表示1，A表示﹣2，进而得到p的值；根据以C
为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，进而得到p的值；
（2）根据原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，可得C表示﹣28，B表示﹣
29，A表示﹣31，据此可得p的值．
【解答】解：（1）若以B为原点，则C表示1，A表示﹣2，
∴p=1+0﹣2=﹣1；
若以C为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，
∴p=﹣3﹣1+0=﹣4；
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，则C表示﹣28，B表示﹣29，A
表示﹣31，
∴p=﹣31﹣29﹣28=﹣88．
【点评】本题主要考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间
的线段的长度叫两点间的距离．
21．（9分）（2017•河北）编号为1～5号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5
次，每命中1次记1分，没有命中记0分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的
条形统计图．之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为40%．
（1）求第6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；
（2）在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于50%的学生的概率；
（3）最后，又来了第7号学生，也按同样记分规定投了5次，这时7名学生积分的
第23页（共34页）众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数，以及第7号学生的积分．
【分析】（1）由第6名学生命中的个数为5×40%=2可得答案，并补全条形图；
（2）由这6名学生中，命中次数多于5×50%=2.5次的有2、3、4、5号这4名学生，
根据概率公式可得；
（3）根据众数的定义得出前6名学生积分的众数即可得．
【解答】解：（1）第6名学生命中的个数为5×40%=2，
则第6号学生的积分为2分，
补全条形统计图如下：
（2）这6名学生中，命中次数多于5×50%=2.5次的有2、3、4、5号这4名学生，
∴选上命中率高于50%的学生的概率为 = ；
（3）由于前6名学生积分的众数为3分，
∴第7号学生的积分为3分或0分．
【点评】本题主要考查众数的定义和条形统计图及概率公式，熟练掌握概率公式
的计算和众数的定义是解题的关键．
22．（9分）（2017•河北）发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 （1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5
第24页（共34页）的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
【分析】验证（1）计算（﹣1）2+02+12+22+32的结果，再将结果除以5即可；
（2）用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得
出它们的平方和，再证明是5的倍数；
延伸：设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个
整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数．
【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；
（2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n﹣2，n﹣1，n+1，
n+2，
它们的平方和为：（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
=n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5（n2+2），
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n﹣1，n+1，
它们的平方和为：（n﹣1）2+n2+（n+1）2
=n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．
【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关
键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算．
第25页（共34页）23．（9分）（2017•河北）如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，
B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧 于
点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ=4 时，求 的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．
【分析】（1）连接OQ．只要证明Rt△APO≌Rt△BQO即可解决问题；
（2）求出优弧DQ的圆心角以及半径即可解决问题；
（3）由△APO的外心是OA的中点，OA=8，推出△APO的外心在扇形COD的内部
时，OC的取值范围为4＜OC＜8；
【解答】（1）证明：连接OQ．
∵AP、BQ是⊙O的切线，
∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，
∴∠APO=∠BQO=90°，
在Rt△APO和Rt△BQO中，
，
∴Rt△APO≌Rt△BQO，
∴AP=BQ．
（2）∵Rt△APO≌Rt△BQO，
第26页（共34页）∴∠AOP=∠BOQ，
∴P、O、Q三点共线，
∵在Rt△BOQ中，cosB= = = ，
∴∠B=30°，∠BOQ=60°，
∴OQ= OB=4，
∵∠COD=90°，
∴∠QOD=90°+60°=150°，
∴优弧 的长= = π，
（3）∵△APO的外心是OA的中点，OA=8，
∴△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8．
【点评】本题考查切线的性质、弧长公式、全等三角形的判定和性质、三角形的外
心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（10分）（2017•河北）如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x=﹣5与x轴交
于点D，直线y=﹣ x﹣ 与x轴及直线x=﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，
连接AB．
（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；
（2）设面积的和S=S +S ，求S的值；
△CDE 四边形ABDO
（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而
△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的
面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S ≠S，请通过计算解释他的想
△AOC
法错在哪里．
【分析】（1）利用坐标轴上点的特点确定出点C的坐标，再利用直线的交点坐标
第27页（共34页）的确定方法求出点E坐标，进而得到点B坐标，最后用待定系数法求出直线AB解
析式；
（2）直接利用直角三角形的面积计算方法和直角梯形的面积的计算即可得出结
论，
（3）先求出直线AB与x轴的交点坐标，判断出点C不在直线AB上，即可．
【解答】解：（1）在直线y=﹣ x﹣ 中，
令y=0，则有0=﹣ x﹣ ，
∴x=﹣13，
∴C（﹣13，0），
令x=﹣5，则有y=﹣ ×（﹣5）﹣ =﹣3，
∴E（﹣5，﹣3），
∵点B，E关于x轴对称，
∴B（﹣5，3），
∵A（0，5），
∴设直线AB的解析式为y=kx+5，
∴﹣5k+5=3，
∴k= ，
∴直线AB的解析式为y= x+5；
（2）由（1）知，E（﹣5，﹣3），
∴DE=3，
∵C（﹣13，0），
∴CD=﹣5﹣（﹣13）=8，
∴S = CD×DE=12，
△CDE
由题意知，OA=5，OD=5，BD=3，
∴S = （BD+OA）×OD=20，
四边形ABDO
∴S=S +S =12+20=32，
△CDE 四边形ABDO
（3）由（2）知，S=32，
在△AOC中，OA=5，OC=13，
第28页（共34页）∴S = OA×OC= =32.5，
△AOC
∴S≠S ，
△AOC
理由：由（1）知，直线AB的解析式为y= x+5，
令y=0，则0= x+5，
∴x=﹣ ≠﹣13，
∴点C不在直线AB上，
即：点A，B，C不在同一条直线上，
∴S ≠S．
△AOC
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，对称的性质，待
定系数法，三角形，直角梯形的面积的计算，解（1）的关键是确定出点C，E的坐标，
解（2）的关键是特殊几何图形的面积的计算，解（3）的关键是确定出直线AB与x
轴的交点坐标，是一道常规题．
25．（11分）（2017•河北）平面内，如图，在 ▱ABCD中，AB=10，AD=15，tanA= ，点P
为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．
（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；
（2）当tan∠ABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；
（3）若点Q恰好落在 ▱ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过
的面积．（结果保留π）
【分析】（1）分两种情形①当点Q在平行四边形ABCD内时，②当点Q在平行四边
形ABCD外时，分别求解即可；
（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．在Rt△APE中，tanA= = ，设PE=4k，则
AE=3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP= =2，推出EB=2k，推出AB=5k=10，可得k=2，由此
即可解决问题；
（3）分三种情形分别求解即可；
第29页（共34页）【解答】解：（1）如图1中，
①当点Q在平行四边形ABCD内时，∠AP′B=180°﹣∠Q′P′B﹣∠Q′P′D=180°﹣90°
﹣10°=80°，
②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB=180°﹣（∠QPB﹣∠QPD）=180°﹣（90°
﹣10°）=100°，
综上所述，当∠DPQ=10°时，∠APB的值为80°或100°．
（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．
∵tan∠ABP：tanA=3：2，tanA= ，
∴tan∠ABP=2，
在Rt△APE中，tanA= = ，设PE=4k，则AE=3k，
在Rt△PBE中，tan∠ABP= =2，
∴EB=2k，
∴AB=5k=10，
∴k=2，
第30页（共34页）∴PE=8，EB=4，
∴PB= =4 ，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴BQ= PB=4 ．
（3）①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边
形BEPF是矩形．
在Rt△AEB中，∵tanA= = ，∵AB=10，
∴BE=8，AE=6，
∴PF=BE=8，
∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，
∴PF=BF=FQ=8，
∴PB=PQ=8 ，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积= =32π．
②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．
设PE=x．
第31页（共34页）易证△PBE≌△QPF，
∴PE=QF=x，EB=PF=8，
∴DF=AE+PE+PF﹣AD=x﹣1，
∵CD∥AB，
∴∠FDQ=∠A，
∴tan∠FDQ=tanA= = ，
∴ = ，
∴x=4，
∴PE=4， =4 ，
在Rt△PEB中，PB=， =4 ，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积= =20π
③如图5中，
当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积= =16π，
综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π．
【点评】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、
锐角三角函数、勾股定理、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，构造全等三角形，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建
方程解决问题，属于中考压轴题．
26．（12分）（2017•河北）某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其
中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其
中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量
第32页（共34页）x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x=2n2﹣2kn+9（k+3）（k为常数），且
得到了表中的数据．
月份n（月） 1 2
成本y（万元/件） 11 12
需求量x（件/月） 120 100
（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m．
【分析】（1）设y=a+ ，将表中相关数据代入可求得a、b，根据12=18﹣（6+ ），则
=0可作出判断；
（2）将n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3）可求得k的值，先由18=6+ 求得
x=50，根据50=2n2﹣26n+144可判断；
（3）第m个月的利润W=x（18﹣y）=18x﹣x（6+ ）=24（m2﹣13m+47），第（m+1）个
月的利润为W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），分情况作差结合
m的范围，由一次函数性质可得．
【解答】解：（1）由题意，设y=a+ ，
由表中数据可得： ，
解得： ，
∴y=6+ ，
由题意，若12=18﹣（6+ ），则 =0，
∵x＞0，
∴ ＞0，
∴不可能；
（2）将n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3），得：120=2﹣2k+9k+27，
解得：k=13，
∴x=2n2﹣26n+144，
将n=2、x=100代入x=2n2﹣26n+144也符合，
∴k=13；
第33页（共34页）由题意，得：18=6+ ，
解得：x=50，
∴50=2n2﹣26n+144，即n2﹣13n+47=0，
∵△=（﹣13）2﹣4×1×47＜0，
∴方程无实数根，
∴不存在；
（3）第m个月的利润为W，
W=x（18﹣y）=18x﹣x（6+ ）
=12（x﹣50）
=24（m2﹣13m+47），
∴第（m+1）个月的利润为W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），
若W≥W′，W﹣W′=48（6﹣m），m取最小1，W﹣W′取得最大值240；
若W＜W′，W′﹣W=48（m﹣6），由m+1≤12知m取最大11，W′﹣W取得最大值
240；
∴m=1或11．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意准确梳理所涉变量，并熟练掌握
待定系数法求函数解析式、利润的相等关系列出解析式是解题的关键．
第34页（共34页）
