文档内容
2017 年湖北省荆门市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣ B．C．D．﹣
2．（3分）在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x≥5C．x≠5D．x＜5
3．（3分）在实数﹣ 、 、π、 中，是无理数的是（ ）
A．﹣ B．C．πD．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4x+5x=9xy B．（﹣m）3•m7=m10 C．（x2y）5=x2y5 D．a12÷a8=a4
5．（3分）已知：如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，且∠C=40°，则∠D的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．100°
6．（3分）不等式组 的解集为（ ）
A．x＜3B．x≥2C．2≤x＜3 D．2＜x＜3
7．（3分）李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一
天的阅读小时数，具体情况统计如下：
阅读时间 2 2.5 3 3.5 4
（小时）
学生人数 1 2 8 6 3
（名）
则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（ ）
A．众数是8B．中位数是3 C．平均数是3 D．方差是0.34
8．（3分）计算：| ﹣4|﹣ ﹣（ ）﹣2的结果是（ ）
A．2 ﹣8 B．0C．﹣2 D．﹣8
9．（3分）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与
第1页（共26页）太阳之间的平均距离，即 1.4960 亿 km，用科学记数法表示 1 个天文单位是
（ ）
A．14.960×107km B．1.4960×108km
C．1.4960×109km D．0.14960×109km
10．（3分）已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视
图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．6个B．7个 C．8个 D．9个
11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如
图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0
B．﹣ =1
C．a+b+c＜0
D．关于x的方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根
12．（3分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在
边OA上，点D在边AB上，且OC=3BD，反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点
C和点D，则k的值为（ ）
第2页（共26页）A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）已知实数m、n满足|n﹣2|+ =0，则m+2n的值为 ．
14．（3分）计算：（ + ）• = ．
15．（3分）已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x 、x ，则x 2+x 2= ．
1 2 1 2
16．（3分）已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是
派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，则派派的年龄为 岁．
17．（3分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长
线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由 ，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分
的面积为 ．
三、解答题（本题共7小题，共69分）
18．（7分）先化简，再求值：（2x+1）2﹣2（x﹣1）（x+3）﹣2，其中x= ．
19．（10分）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD
的中点，过点C作CF∥AB叫AE的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．
第3页（共26页）20．（10分）荆岗中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活
动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校m名学生，看
他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种），现
将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）m= ，n= ；
（2）请补全图中的条形图；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球
（4）在抽查的m名学生中，喜爱乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小
红、小梅），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人
求小红、小梅能分在同一组的概率．
21．（10分）金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学
校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为
45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升
旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点
E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：
≈1.41， ≈1.73）
第4页（共26页）22．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，
过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，BC=4，求BE的长．
23．（10分）我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商
店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了
为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y（百件）与时间（t t为整数，单
1
位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日销售量y（百件）与时间（t t为整
2
数，单位：天）的部分对应值如图所示．
时间t 0 5 10 15 20 25 30
（天）
日销售量 0 25 40 45 40 25 0
y（百件）
1
（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y 与t
1
的变化规律，并求出y 与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
1
（2）求y 与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
2
（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求
y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大
值．
第5页（共26页）24．（12分）已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠C=90°，OB=25，OC=20，
若点M是边OC上的一个动点（与点O、C不重合），过点M作MN∥OB交BC于点
N．
（1）求点C的坐标；
（2）当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；
（3）在OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出此
时MN的长；若不存在，请说明理由．
第6页（共26页）2017 年湖北省荆门市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）（2017•荆门）﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣ B．C．D．﹣
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）（2017•荆门）在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x≥5C．x≠5D．x＜5
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于
0，可以求出x的范围．
【解答】解：要使函数解析式y= 有意义，
则x﹣5＞0，
解得：x＞5，
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面
考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考
虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．（3分）（2017•荆门）在实数﹣ 、 、π、 中，是无理数的是（ ）
A．﹣ B．C．πD．
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：﹣ 、 、 是有理数，
π是无理数，
第7页（共26页）故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无
限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等
形式．
4．（3分）（2017•荆门）下列运算正确的是（ ）
A．4x+5x=9xy B．（﹣m）3•m7=m10 C．（x2y）5=x2y5 D．a12÷a8=a4
【分析】利用同底数幂的乘法和除法及幂的乘方与积的乘方运算即可．
【解答】解：A.4x+5x=9x，所以A错误；
B．（﹣m）3•m7=﹣m10，所以B错误；
C．（x2y）5=x10y5，所以C错误；
D．a12÷a8=a4，所以D正确，
故选D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法及幂的乘方与积的
乘方运算法则，熟练掌握法则是解答此题的关键．
5．（3分）（2017•荆门）已知：如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，且∠C=40°，则∠D的
度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．100°
【分析】先根据平行线的性质，得出∠ABC的度数，再根据BC平分∠ABD，即可得
到∠DBC的度数，最后根据三角形内角和进行计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠C=40°，
又∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC=40°，
∴△BCD中，∠D=180°﹣40°﹣40°=100°，
第8页（共26页）故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角
相等．
6．（3分）（2017•荆门）不等式组 的解集为（ ）
A．x＜3B．x≥2C．2≤x＜3 D．2＜x＜3
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥2，
∴不等式组的解集为2≤x＜3，
故选C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的
解集是解此题的关键．
7．（3分）（2017•荆门）李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20
名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如下：
阅读时间 2 2.5 3 3.5 4
（小时）
学生人数 1 2 8 6 3
（名）
则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（ ）
A．众数是8B．中位数是3 C．平均数是3 D．方差是0.34
【分析】A、根据众数的定义找出出现次数最多的数；
B、根据中位数的定义将这组数据从小到大重新排列，求出最中间的2个数的平
均数，即可得出中位数．
C、根据加权平均数公式代入计算可得；
D、根据方差公式计算即可．
【解答】解：A、由统计表得：众数为3，不是8，所以此选项不正确；
B、随机调查了20名学生，所以中位数是第10个和第11个学生的阅读小时数，都
是3，故中位数是3，所以此选项正确；
第9页（共26页）C、平均数= =3.35，所以此选项不正确；
D、S2= ×[（2﹣3.35）2+2（2.5﹣3.35）2+8（3﹣3.35）2+6（3.5﹣3.35）2+3（4﹣3.35）2]=
=0.2825，所以此选项不正确；
故选B．
【点评】此题考查了众数、中位数、加权平均数、方差，中位数是将一组数据从小到
大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这
组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，并熟练掌握平均数和方
差公式．
8．（3分）（2017•荆门）计算：| ﹣4|﹣ ﹣（ ）﹣2的结果是（ ）
A．2 ﹣8 B．0C．﹣2 D．﹣8
【分析】本题涉及负指数幂、二次根式化简绝对值3个考点．在计算时，需要针对
每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=4﹣ ﹣ ﹣4
=﹣2 ，
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．
解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等
考点的运算．
9．（3分）（2017•荆门）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文
单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.4960亿km，用科学记数法表示1个天
文单位是（ ）
A．14.960×107km B．1.4960×108km
C．1.4960×109km D．0.14960×109km
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是
负数．
【解答】解：1.4960亿=1.4960×108，
第10页（共26页）故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）（2017•荆门）已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几
何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．6个B．7个 C．8个 D．9个
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形
【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有2个
小正方体，第，三层有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数
是4+2+1=7个．
故选B．
【点评】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对
空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视
图拆违章”就更容易得到答案．
11．（3分）（2017•荆门）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的
大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0
第11页（共26页）B．﹣ =1
C．a+b+c＜0
D．关于x的方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根
【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：A、错误．a＜0，b＞0，c＜0．
B、错误．﹣ ＞1．
C、错误．x=1时，y=a+b+c=0．
D、正确．观察图象可知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣1有两个交点，所以关于x
的方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根．
故选D．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题
的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
12．（3分）（2017•荆门）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边
长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC=3BD，反比例函数y=（k≠0）的图
象恰好经过点C和点D，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD=a，则OC=3a，
根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，可找出点C、D的坐标，
第12页（共26页）再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、k的值，此题得解．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
设BD=a，则OC=3a．
∵△AOB为边长为6的等边三角形，
∴∠COE=∠DBF=60°，OB=6．
在Rt△COE中，∠COE=60°，∠CEO=90°，OC=3a，
∴∠OCE=30°，
∴OE= a，CE= = a，
∴点C（ a， a）．
同理，可求出点D的坐标为（6﹣ a， a）．
∵反比例函数y= （k≠0）的图象恰好经过点C和点D，
∴k= a× a=（6﹣ a）× a，
∴a= ，k= ．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解
含30度角的直角三角形，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形
找出点C、D的坐标是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）（2017•荆门）已知实数m、n满足|n﹣2|+ =0，则m+2n的值为 3 ．
【分析】根据非负数的性质即可求出m与n的值．
【解答】解：由题意可知：n﹣2=0，m+1=0，
∴m=﹣1，n=2，
∴m+2n=﹣1+4=3，
故答案为：3
第13页（共26页）【点评】本题考查非负数的性质，解题的关键是求出m与n的值，本题属于基础题
型．
14．（3分）（2017•荆门）计算：（ + ）• = 1 ．
【分析】原式括号中两项变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到
结果．
【解答】解：原式= • = • =1．
故答案为：1
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（3分）（2017•荆门）已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x 、x ，则
1 2
x 2+x 2= 2 3 ．
1 2
【分析】由根与系数的关系可得x +x =﹣5、x •x =1，将其代入x 2+x 2=（x +x ）2﹣
1 2 1 2 1 2 1 2
2x •x 中，即可求出结论．
1 2
【解答】解：∵方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x 、x ，
1 2
∴x +x =﹣5，x •x =1，
1 2 1 2
∴x 2+x 2=（x +x ）2﹣2x •x =（﹣5）2﹣2×1=23．
1 2 1 2 1 2
故答案为：23．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣ 、两根之积等于 是解
题的关键．
16．（3分）（2017•荆门）已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的
妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，则派派的年龄为
12 岁．
【分析】设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36﹣x）岁，根据再过5年派
派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，即可得出关于x的一元一次方程，
解之即可得出x的值，将其代入36﹣x﹣x中可求出二者的年龄差，再用40减去
该年龄差即可求出当派派的妈妈40岁时派派的年龄．
【解答】解：设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36﹣x）岁，
根据题意得：36﹣x+5=4（x+5）+1，
第14页（共26页）解得：x=4，
∴36﹣x﹣x=28，
∴40﹣28=12（岁）．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据再过5年派派的妈妈的年龄是派
派年龄的4倍还大1岁，列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
17．（3分）（2017•荆门）已知：如图，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半
径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由 ，线段CD和线段BD所围成图
形的阴影部分的面积为 2 ﹣ π ．
【分析】根据圆周角定理和垂径定理得到∠O=60°，= ，根据等腰三角形的性质得
到∠ABC=∠A=30°，得到∠OCB=60°，解直角三角形得到CD= OC=2 ，于是得到结
论．
【解答】解：∵OC⊥AB，∠A=∠BCD=30°，AC=2，
∴∠O=60°， = ，
∴AC=BC=6，
∴∠ABC=∠A=30°，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCD=90°，
∴OC=BC=2，
∴CD= OC=2 ，
∴线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积=S ﹣S ﹣ 2×2 ﹣
△OCD 扇形BOC
=2 ﹣ π，
故答案为：2 ﹣ π．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判
第15页（共26页）定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共69分）
18．（7分）（2017•荆门）先化简，再求值：（2x+1）2﹣2（x﹣1）（x+3）﹣2，其中x= ．
【分析】原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最
简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=4x2+4x+1﹣2x2﹣4x+6﹣2=2x2+5，
当x= 时，原式=4+5=9．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
19．（10分）（2017•荆门）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中
点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB叫AE的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．
【分析】（1）先根据点 E 是 CD 的中点得出 DE=CE，再由 AB∥CF 可知
∠BAF=∠AFC，根据AAS定理可得出△ADE≌△FCE；
（2）根据直角三角形的性质可得出AD=CD= AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣
∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD= ∠BDC=30°，
进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点E是CD的中点，
∴DE=CE．
∵AB∥CF，
∴∠BAF=∠AFC．
在△ADE与△FCE中，
∵ ，
第16页（共26页）∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）解：由（1）得，CD=2DE，
∵DE=2，
∴CD=4．
∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，
∴AB=2CD=8，AD=CD= AB．
∵AB∥CF，
∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，
∴∠DAC=∠ACD= ∠BDC= ×60°=30°，
∴BC= AB= ×8=4．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是
解答此题的关键．
20．（10分）（2017•荆门）荆岗中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、
乒乓球四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校
m名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选
择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）m= 10 0 ，n= 1 5 ；
（2）请补全图中的条形图；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球
（4）在抽查的m名学生中，喜爱乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小
第17页（共26页）红、小梅），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人
求小红、小梅能分在同一组的概率．
【分析】（1）根据喜爱乒乓球的有10人，占10%可以求得m的值，从而可以求得n
的值；
（2）根据题意和m的值可以求得喜爱篮球的人数，从而可以将条形统计图补充完
整；
（3）根据统计图中的数据可以估算出全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢
足球；
（4）根据题意可以写出所有的可能性，注意（C，D）和（D，C）在一起都是暗含着
（A，B）在一起．
【解答】解：（1）由题意可得，
m=10÷10%=100，n%=15÷100=15%，
故答案为：100，15；
（2）喜爱篮球的有：100×35%=35（人），
补全的条形统计图，如右图所示；
（3）由题意可得，
全校1800名学生中，喜爱踢足球的有：1800× =720（人），
答：全校1800名学生中，大约有720人喜爱踢足球；
（4）设四名女生分别为：A（小红）、B（小梅）、C、D，
则出现的所有可能性是：
（A，B）、（A，C）、（A，D）、
（B，A）、（B，C）、（B，D）、
（C，A）、（C，B）、（C，D）、
（D，A）、（D，B）、（D，C），
∴小红、小梅能分在同一组的概率是： ．
第18页（共26页）【点评】本替考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，
解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解
答．
21．（10分）（2017•荆门）金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的
任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶
端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角
为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡
角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，
参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
【分析】过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，设EF=x，根据AM=DE，列
出方程即可解决问题．
【解答】解：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，
∴ME=DC=3．CM=ED，
在Rt△AEF中，∠AFE=60°，设EF=x，则AF=2x，AE= x，
在Rt△FCD中，CD=3，∠CFD=30°，
第19页（共26页）∴DF=3 ，
在Rt△AMC中，∠ACM=45°，
∴∠MAC=∠ACM=45°，
∴MA=MC，
∵ED=CM，
∴AM=ED，
∵AM=AE﹣ME，ED=EF+DF，
∴ x﹣3=x+3 ，
∴x=6+3 ，
∴AE= （6+3 ）=6 +9，
∴AB=AE﹣BE=9+6 ﹣1≈18.4米．
答：旗杆AB的高度约为18.4米．
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关
键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）（2017•荆门）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD
交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，BC=4，求BE的长．
第20页（共26页）【分析】（1）连接 OD，由 AE 为直径、DE⊥AD 可得出点 D 在⊙O 上且
∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相
等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可
证出BC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD=r，则BO=5﹣r，由
OD∥AC可得出 = ，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB﹣AE即可求出BE的长
度．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．
在Rt△ADE中，点O为AE的中心，
∴DO=AO=EO= AE，
∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠ADO=∠CAD，
∴AC∥DO．
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．
又∵OD为半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，
∴AB=5．
设OD=r，则BO=5﹣r．
∵OD∥AC，
∴△BDO∽△BCA，
∴ = ，即 = ，
第21页（共26页）解得：r= ，
∴BE=AB﹣AE=5﹣ = ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定
与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用平行线的性质找出OD⊥BC；（2）
利用相似三角形的性质求出⊙O的半径．
23．（10分）（2017•荆门）我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体
商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售
情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y（百件）与时间t
1
（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日销售量y（百件）与
2
时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．
时间t 0 5 10 15 20 25 30
（天）
日销售量 0 25 40 45 40 25 0
y（百件）
1
（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y 与t
1
的变化规律，并求出y 与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
1
（2）求y 与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
2
（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求
y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大
值．
第22页（共26页）【分析】（1）根据观察可设y =at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，40）代入即可得到
1
结论；
（2）当0≤t≤10时，设y =kt，求得y 与t的函数关系式为：y =4t，当10≤t≤30时，
2 2 2
设y =mt+n，将（10，40），（30，60）代入得到y 与t的函数关系式为：y =k+30，
2 2 2
（3）依题意得y=y +y ，当0≤t≤10时，得到y =80；当10＜t≤30时，得到y
1 2 最大 最大
=91.2，于是得到结论．
【解答】解（1）根据观察可设y =at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，40）代入得：
1
，
解得 ，
∴y 与t的函数关系式为：y =﹣ t2+6t（0≤t≤30，且为整数）；
1 1
（2）当0≤t≤10时，设y =kt，
2
∵（10，40）在其图象上，
∴10k=40，
∴k=4，
∴y 与t的函数关系式为：y =4t，
2 2
当10≤t≤30时，设y =mt+n，
2
将（10，40），（30，60）代入得 ，解得 ，
∴y 与t的函数关系式为：y =k+30，
2 2
综上所述，y = ；
2
（3）依题意得y=y +y ，当0≤t≤10时，y=﹣ t2+6t+4t=﹣ t2+10t=﹣（t﹣25）2+125，
1 2
第23页（共26页）∴t=10时，y =80；
最大
当10＜t≤30时，y=﹣ t2+6t+t+30=﹣ t2+7t+30=﹣ （t﹣ ）2+ ，
∵t为整数，
∴t=17或18时，y =91.2，
最大
∵91.2＞80，
∴当t=17或18时，y =91.2（百件）．
最大
【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求函数的解析
式，正确的理解题意是解题的关键．
24．（12分）（2017•荆门）已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠C=90°，
OB=25，OC=20，若点M是边OC上的一个动点（与点O、C不重合），过点M作
MN∥OB交BC于点N．
（1）求点C的坐标；
（2）当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；
（3）在OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出此
时MN的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1，过C作CH⊥OB于H，根据勾股定理得到BC= = =15，根
据三角形的面积公式得到CH= = =12，由勾股定理得到OH= =16，于是得到
结论；
（2）∵根据相似三角形的性质得到 = = = ，设CM=x，则CN= x，根据已知条件列方
程即可得到结论；
（3）如图2，由（2）知，当CM=x，则CN= x，MN= x，①当∠OMQ =90°MN=MQ时，②
1
当∠MNQ =90°，MN=NQ 时，根据相似三角形的性质即可得到结论．
2 2
【解答】解：（1）如图1，过C作CH⊥OB于H，
第24页（共26页）∵∠C=90°，OB=25，OC=20，
∴BC= = =15，
∵S = OB•CH= OC•BC，
△OBC
∴CH= = =12，
∴OH= =16，
∴C（16，﹣12）；
（2）∵MN∥OB，
∴△CNM∽△COB，
∴ = = = ，
设CM=x，则CN= x，
∵△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等，
∴CM+CN+MN=OM+MN+OB，即x+ x+MN=20﹣x+mn+15﹣ x+25，
解得：x= ，
∴CM= ；
（3）如图2，由（2）知，当CM=x，则CN= x，MN= x，
①当∠OMQ =90°MN=MQ时，
1
∵△OMQ∽△OBC，
∴ = ，
∵MN=MQ，
∴ = ，
∴x= ，
∴MN= x= × = ；
②当∠MNQ =90°，MN=NQ 时，
2 2
此时，四边形MNQ Q 是正方形，
2 1
∴NQ =MQ =MN，
2 1
∴MN= ．
③当∠MQN=90°，MQ=NQ时，
过 M 作 MH⊥OB 于 H，∵MN= MQ，MQ= MH，∴MN=2MH，∴MH= x，
∵△OMH∽△OBC，∴ = ，∴x= ，∴MN= x= ．
第25页（共26页）【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，
三角形面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．
第26页（共26页）
