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2017 年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算﹣1+2的结果是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3
2．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（
）
A．∠1=∠3B．∠2+∠4=180°C．∠1=∠4D．∠3=∠4
3．（3分）在体育课上，甲、乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的
平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们
成绩的（ ）
A．众数B．平均数 C．中位数 D．方差
4．（3分）将不等式组 的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ）
A． B． C ．
D．
5．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．（ ﹣1）0=1 B．（﹣3）2÷ = C．5x2﹣6x2=﹣x2D．（2m3）2÷（2m）2=m4
6．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若
∠1=35°，则∠2的度数为（ ）
第1页（共29页）A．20° B．30° C．35° D．55°
7．（3分）化简 ﹣ 的结果是（ ）
A．﹣x2+2x B．﹣x2+6x C．﹣ D．
8．（3分）2017年5月18日，我国宣布在南海神狐海域成功试采可燃冰，成为世
界上首个在海域连续稳定产气的国家．据粗略估计，仅南海北部陆坡的可燃冰资
源就达到186亿吨油当量，达到我国陆上石油资源总量的50%．数据186亿吨用
科学记数法可表示为（ ）
A．186×108吨 B．18.6×109吨 C．1.86×1010吨D．0.186×1011吨
9．（3分）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数 ，
导致了第一次数学危机， 是无理数的证明如下：
假设 是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．于是（ ）
2=（ ）2=2，所以，q2=2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q=2m，所以
（2m）2=2p2，p2=2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”
矛盾．从而可知“ 是有理数”的假设不成立，所以， 是无理数．
这种证明“ 是无理数”的方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法D．数学归纳法
10．（3分）如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接
点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积
为（ ）
第2页（共29页）A．5πcm2 B．10πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分）
11．（3分）计算：4 ﹣9 = ．
12．（3分）某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一型号的洗衣机每台进价为a
元，商店将进价提高20%后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以9折优惠
价促销，这时该型号洗衣机的零售价为 元．
13．（3分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，
2），将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′、B′、
C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，点A′、B′、C′的对应点分别
为A″、B″、C″，则点A″的坐标为 ．
14．（3分）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站
在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE=1.5米，
则这棵树的高度为 米．（结果保留一位小数．参考数据：sin54°=0.8090，
cos54°=0.5878，tan54°=1.3764）
第3页（共29页）15．（3 分）一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD 和△BCD，其中
∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°，E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点
F．若AD=4cm，则EF的长为 cm．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣2）3+（ ）﹣2﹣ •sin45°
（2）分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2．
17．（6分）已知：如图，在 ▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．
连接EF，与对角线AC交于点O．
求证：OE=OF．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，
其边长为2，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数y=2x的图象与CB交于
点D，函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点D，与AB交于点E，与函数y=2x的
图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF．
（1）求函数y= 的表达式，并直接写出E、F两点的坐标；
（2）求△AEF的面积．
第4页（共29页）19．（7分）“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷
子（去皮后则称为“小米”），被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王
国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一
2016年全国谷子种植面积为2000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩
产量为160kg，国内其他地区谷子的平均亩产量为60kg，请解答下列问题：
（1）求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩．
（2）2017年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160kg不变，要使我省谷子的年总
产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？
20．（12分）从共享单车，共享汽车等共享出行到共享充电宝，共享雨伞等共享物
品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，越来越多的企业与个人
成为参与者与受益者．根据国家信息中心发布的《中国分享经济发展报告2017》
显示，2016年我国共享经济市场交易额约为34520亿元，比上年增长103%；超6
亿人参与共享经济活动，比上年增加约1亿人．
如图是源于该报告中的中国共享经济重点领域市场规模统计图：
第5页（共29页）（1）请根据统计图解答下列问题：
①图中涉及的七个重点领域中，2016年交易额的中位数是 亿元．
②请分别计算图中的“知识技能”和“资金”两个重点领域从 2015年到2016
年交易额的增长率（精确到1%），并就这两个重点领域中的一个分别从交易额和
增长率两个方面，谈谈你的认识．
（2）小宇和小强分别对共享经济中的“共享出行”和“共享知识”最感兴趣，他
们上网查阅了相关资料，顺便收集到四个共享经济领域的图标，并将其制成编号
为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）他们将这四张卡片背
面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表
或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概
率（这四张卡片分别用它们的编号A，B，C，D表示）
21．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点
E，与过点C的⊙O的切线交于点D．
（1）若AC=4，BC=2，求OE的长．
（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
第6页（共29页）22．（12分）综合与实践
背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个
直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被
记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边
的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或
3 ，4 ，5 的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折
出这种类型的三角形．
实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．
第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB
上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，
然后展平，隐去AF．
第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折
痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．
问题解决
（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．
（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；
（3）请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形；
探索发现
（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找
出并直接写出它们的名称．
第7页（共29页）23．（14分）如图，抛物线y=﹣ x2+ x+3 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A
向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当
一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与
抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t
秒（t＞0）．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）
②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？
若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．
第8页（共29页）2017 年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•山西）计算﹣1+2的结果是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3
【分析】直接利用有理数加减运算法则得出答案．
【解答】解：﹣1+2=1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数加法，正确掌握运算法则是解题关键．
2．（3分）（2017•山西）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与
b平行的是（ ）
A．∠1=∠3B．∠2+∠4=180°C．∠1=∠4D．∠3=∠4
【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可．
【解答】解：由∠1=∠3，可得直线a与b平行，故A能判定；
由∠2+∠4=180°，∠2=∠5，∠4=∠3，可得∠3+∠5=180°，故直线a与b平行，故B
能判定；
由∠1=∠4，∠4=∠3，可得∠1=∠3，故直线a与b平行，故C能判定；
由∠3=∠4，不能判定直线a与b平行，
故选：D．
第9页（共29页）【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；同
旁内角互补，两直线平行．
3．（3分）（2017•山西）在体育课上，甲、乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经
计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需
要比较他们成绩的（ ）
A．众数B．平均数 C．中位数 D．方差
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均
值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，
稳定性越好；
【解答】解：因为方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据
与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散
程度越小，稳定性越好；所以要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需
要比较他们成绩的方差．
故选D．
【点评】本题考查平均数、方差、众数、中位数等知识，解题的关键是理解方差的意
义，属于中考常考题型．
4．（3分）（2017•山西）将不等式组 的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（
）
A． B． C ．
D．
【分析】首先解出两个不等式的解集；根据在数轴上表示不等式解集的方法分别
第10页（共29页）把每个不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：
解不等式①得，x≤3
解不等式②得，x＞﹣4
在数轴上表示为：
故选：A．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数
轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如
果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不
等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表
示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）（2017•山西）下列运算错误的是（ ）
A．（ ﹣1）0=1 B．（﹣3）2÷ = C．5x2﹣6x2=﹣x2D．（2m3）2÷（2m）2=m4
【分析】根据整式和有理数的除法的法则，乘方的性质，合并同类项的法则，零指
数的性质，幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可．
【解答】解：A、（ ﹣1）0=1，正确，不符合题意；
B、（﹣3）2÷ =4，错误，符合题意；
C、5x2﹣6x2=﹣x2，正确，不符合题意；
D、（2m3）2÷（2m）2=m4，正确，不符合题意；
故选B．
【点评】本题考查了整式和有理数的除法的法则，乘方的性质，合并同类项的法则，
零指数的性质，幂的乘方与积的乘方的运算法则，熟记法则是解题的关键．
6．（3分）（2017•山西）如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB
交于点E．若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）
第11页（共29页）A．20° B．30° C．35° D．55°
【分析】根据矩形的性质，可得∠ABD=35°，∠DBC=55°，根据折叠可得
∠DBC'=∠DBC=55°，最后根据∠2=∠DBC'﹣∠DBA进行计算即可．
【解答】解：∵∠1=35°，CD∥AB，
∴∠ABD=35°，∠DBC=55°，
由折叠可得∠DBC'=∠DBC=55°，
∴∠2=∠DBC'﹣∠DBA=55°﹣35°=20°，
故选：A．
【点评】本题考查了长方形性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关
键是求出∠DBC′和∠DBA的度数．
7．（3分）（2017•山西）化简 ﹣ 的结果是（ ）
A．﹣x2+2x B．﹣x2+6x C．﹣ D．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式= ﹣
=
=﹣
故选（C）
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于
基础题型．
8．（3分）（2017•山西）2017年5月18日，我国宣布在南海神狐海域成功试采可
燃冰，成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家．据粗略估计，仅南海北部陆
坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量，达到我国陆上石油资源总量的50%．数
据186亿吨用科学记数法可表示为（ ）
第12页（共29页）A．186×108吨 B．18.6×109吨 C．1.86×1010吨D．0.186×1011吨
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n
为整数，据此判断即可．
【解答】解：186亿吨=1.86×1010吨．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中
1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
9．（3分）（2017•山西）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发
现了无理数 ，导致了第一次数学危机， 是无理数的证明如下：
假设 是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．于是（ ）
2=（ ）2=2，所以，q2=2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q=2m，所以
（2m）2=2p2，p2=2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”
矛盾．从而可知“ 是有理数”的假设不成立，所以， 是无理数．
这种证明“ 是无理数”的方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法D．数学归纳法
【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，
经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正
确，进而判断即可．
【解答】解：由题意可得：这种证明“ 是无理数”的方法是反证法．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的一般步骤是解题关键．
10．（3分）（2017•山西）如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，
第13页（共29页）首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴
影部分的面积为（ ）
A．5πcm2 B．10πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2
【分析】根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，求得图中阴影部分的面积=S
扇形
+S =2S ，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ABO=36°，由圆周角定
AOD 扇形BOC 扇形AOD
理得到∠AOD=72°，于是得到结论．
【解答】解：∵AC与BD是⊙O的两条直径，
∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴△ABO与△CDO的面积的和=△AOD与△BOC的面积的和，
∴图中阴影部分的面积=S +S =2S ，
扇形AOD 扇形BOC 扇形AOD
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠ABO=36°，
∴∠AOD=72°，
∴图中阴影部分的面积=2× =10π，
故选B．
【点评】本题考查了扇形的面积，矩形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握扇形
的面积公式是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分）
11．（3分）（2017•山西）计算：4 ﹣9 = 3 ．
【分析】先化简，再做减法运算即可．
【解答】解：原式=12 =3 ，
故答案为：3 ．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减法，先化简再求值是解答此题的关键．
第14页（共29页）12．（3分）（2017•山西）某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一型号的洗衣机
每台进价为a元，商店将进价提高20%后作为零售价进行销售，一段时间后，商店
又以9折优惠价促销，这时该型号洗衣机的零售价为 1.08 a 元．
【分析】根据题意可以得到最后打折后的零售价，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
该型号洗衣机的零售价为：a（1+20%）×0.9=1.08a（元），
故答案为：1.08a．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
13．（3分）（2017•山西）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（﹣
1，1），C（﹣2，2），将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点
分别为A′、B′、C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，点A′、B′、C′
的对应点分别为A″、B″、C″，则点A″的坐标为 （ 6 ， 0 ） ．
【分析】由平移的性质和旋转的性质作出图形，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，2），将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，
∴A′、B′、C′的坐标分别为（4，4），B（3，1），C（2，2），
再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，
则点A″的坐标为 （6，0）；
第15页（共29页）故答案为：（6，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质、平移的性质、旋转的性质；熟练掌握平移和
旋转的性质是解决问题的关键．
14．（3分）（2017•山西）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一
名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的
架高CE=1.5米，则这棵树的高度为 15.3 米．（结果保留一位小数．参考数据：
sin54°=0.8090，cos54°=0.5878，tan54°=1.3764）
【分析】在Rt△ACD中，求出AD，再利用矩形的性质得到BD=CE=1.5，由此即可解
决问题．
【解答】解：如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D．则四边形 CEBD 是矩形，
BD=CE=1.5m，
在Rt△ACD中，CD=EB=10m，∠ACD=54°，
∵tan∠ACE= ，
∴AD=CD•tan∠ACD≈10×1.38=13.8m．
∴AB=AD+BD=13.8+1.5=15.3m．
答：树的高度AB约为15.3m．
故答案为15.3
第16页（共29页）【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解
题的关键是通过添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
15．（3分）（2017•山西）一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中
∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°，E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点
F．若AD=4cm，则EF的长为 （ + ） cm．
【分析】过A作AG⊥DC于G，得到∠ADC=45°，进而得到AG的值，在30°的直角三
角形ABD和45°直角三角形BCD中，计算出BD，CB的值．再由AG∥EF∥BC，E是
AB的中点，得到F为CG的中点，最后由梯形中位线定理得到EF的长．
【解答】解：过点A作AG⊥DC与G．
∵∠CDB=∠CBD=45°，∠ADB=90°，
∴∠ADG=45°．
∴AG= =2 ．
∵∠ABD=30°，
∴BD= AD=4 ．
第17页（共29页）∵∠CBD=45°，
∴CB= =2 ．
∵AG⊥CG，EF⊥CG，CB⊥CG，
∴AG∥EF∥BC．
又∵E是AB的中点，
∴F为CG的中点，
∴EF= （AG+BC）= （2 +2 ）= + ．
故答案为：（ + ）．
【点评】本题主要考查的是梯形的中位线定理、特殊锐角三角函数值的应用，证得
EF为梯形ABCG的中位线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（2017•山西）（1）计算：（﹣2）3+（ ）﹣2﹣ •sin45°
（2）分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2．
【分析】（1）根据实数的运算，可得答案；
（2）根据平方差公式，可得答案．
【解答】解：（1）原式=﹣8+9﹣2=﹣1；
（2）原式=[（y+2x）+（x+2y）][（y+2x）﹣（x+2y）]
=3（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了因式分解，利用平方差公式是解题关键．
17．（6分）（2017•山西）已知：如图，在 ▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点
F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．
求证：OE=OF．
【分析】由平行四边形的性质得出 AB∥CD，AB=CD，证出AE=CF，∠E=∠F，
∠OAE=∠OCF，由ASA证明△AOE≌△COF，即可得出结论．
第18页（共29页）【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵BE=DF，
∴AB+BE=CD+DF，即AE=CF，
∵AB∥CD，
∴AE∥CF，
∴∠E=∠F，∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中， ，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；
熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
18．（7分）（2017•山西）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐
标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数y=2x的图
象与CB交于点D，函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点D，与AB交于点E，与
函数y=2x的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF．
（1）求函数y= 的表达式，并直接写出E、F两点的坐标；
（2）求△AEF的面积．
【分析】（1）根据正方形的性质，以及函数上点的坐标特征可求点D的坐标为（1，
2），根据待定系数法可求反比例函数表达式，进一步得到E、F两点的坐标；
（2）过点F作FG⊥AB，与AB的延长线交于点G，根据两点间的距离公式可求
AE=1，FG=3，再根据三角形面积公式可求△AEF的面积．
第19页（共29页）【解答】解：（1）∵正方形OABC的边长为2，
∴点D的纵坐标为2，即y=2，
将y=2代入y=2x，得x=1，
∴点D的坐标为（1，2），
∵函数y= 的图象经过点D，
∴2= ，
解得k=2，
∴函数y= 的表达式为y= ，
∴E（2，1），F（﹣1，﹣2）；
（2）过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G，
∵E（2，1），F（﹣1，﹣2），
∴AE=1，
FG=2﹣（﹣1）=3，
∴△AEF的面积为： AE•FG= ×1×3= ．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及正方形的性质，解题的关
键是求得D（1，2），E（2，1），F（﹣1，﹣2）．
19．（7分）（2017•山西）“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的
“粟”即谷子（去皮后则称为“小米”），被誉为中华民族的哺育作物．我省有着
“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三
年全国第一．2016年全国谷子种植面积为2000万亩，年总产量为150万吨，我省
谷子平均亩产量为160kg，国内其他地区谷子的平均亩产量为60kg，请解答下列
问题：
第20页（共29页）（1）求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩．
（2）2017年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160kg不变，要使我省谷子的年总
产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？
【分析】（1）可设我省2016年谷子的种植面积是x万亩，其他地区谷子的种植面
积是y万亩，根据2016年全国谷子年总产量为150万吨列出方程组求解即可；
（2）可设我省应种植z万亩的谷子，根据我省谷子的年总产量不低于52万吨列出
不等式求解即可．
【解答】解：（1）设我省2016年谷子的种植面积是x万亩，其他地区谷子的种植面
积是y万亩，依题意有
，
解得 ．
答：我省2016年谷子的种植面积是300万亩．
（2）设我省应种植z万亩的谷子，依题意有
，
解得z≥325，
325﹣300=25（万亩）．
答：今年我省至少应再多种植25万亩的谷子．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键
是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系和不等关系．
20．（12分）（2017•山西）从共享单车，共享汽车等共享出行到共享充电宝，共享
雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，越来越多
的企业与个人成为参与者与受益者．根据国家信息中心发布的《中国分享经济发
展报告2017》显示，2016年我国共享经济市场交易额约为34520亿元，比上年增
长103%；超6亿人参与共享经济活动，比上年增加约1亿人．
第21页（共29页）如图是源于该报告中的中国共享经济重点领域市场规模统计图：
（1）请根据统计图解答下列问题：
①图中涉及的七个重点领域中，2016年交易额的中位数是 2038 亿元．
②请分别计算图中的“知识技能”和“资金”两个重点领域从 2015年到2016
年交易额的增长率（精确到1%），并就这两个重点领域中的一个分别从交易额和
增长率两个方面，谈谈你的认识．
（2）小宇和小强分别对共享经济中的“共享出行”和“共享知识”最感兴趣，他
们上网查阅了相关资料，顺便收集到四个共享经济领域的图标，并将其制成编号
为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）他们将这四张卡片背
面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表
或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概
率（这四张卡片分别用它们的编号A，B，C，D表示）
【分析】（1）根据图表将2016年七个重点领域的交易额从小到大罗列出来，根据
中位数的定义即可得；
（2）将（2016年的资金﹣2015年的资金）÷2015年的资金可分别求得两领域的增
长率，结合增长率提出合理的认识即可；
（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）由图可知，2016年七个重点领域的交易额分别为70、245、610、
第22页（共29页）2038、3300、7233、20863，
2016年交易额的中位数是2038亿元，
故答案为：2038；
（2）“知识技能”的增长率为： ×100%=205%，
“资金”的增长率为： ≈109%，
由此可知，“知识技能”领域交易额较小，其增长率最高，达到200%以上，其发
展速度惊人．
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽到“共享出行”和“共享知识”的结果数为
2，
所以抽到“共享出行”和“共享知识”的概率= = ．
【点评】本题主要考查条形统计图、折线统计图和列表法与树状图法求概率，根据
条形图得出解题所需数据及画树状图列出所有等可能结果是解题的关键．
21．（7分）（2017•山西）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，
与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D．
（1）若AC=4，BC=2，求OE的长．
（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出AB= =2 ，得出OA=
AB= ，证明△AOE∽△ACB，得出对应边成比例即可得出答案；（2）连接OC，由等
腰三角形的性质得出∠1=∠A，由切线的性质得出OC⊥CD，得出∠2+∠CDE=90°，
第23页（共29页）证出∠3=∠CDE，再由三角形的外角性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= = =2 ，
∴OA= AB= ，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴ ，即 ，
解得：OE= ；
（2）∠CDE=2∠A，理由如下：
连接OC，如图所示：
∵OA=OC，
∴∠1=∠A，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠2+∠CDE=90°，
∵OD⊥AB，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠CDE，
∵∠3=∠A+∠1=2∠A，
∴∠CDE=2∠A．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性
质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握圆周角
第24页（共29页）定理和切线的性质是解决问题的关键．
22．（12分）（2017•山西）综合与实践
背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个
直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被
记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边
的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或
3 ，4 ，5 的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折
出这种类型的三角形．
实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．
第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB
上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，
然后展平，隐去AF．
第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折
痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．
问题解决
（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．
（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；
（3）请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形；
探索发现
（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找
出并直接写出它们的名称．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠D=∠DAE=90°，由折叠的性质得得到AE=AD，
∠AEF=∠D=90°，求得∠D=∠DAE=∠AEF=90°，得到四边形AEFD是矩形，由于
AE=AD，于是得到结论；
第25页（共29页）（2）连接HN，由折叠的性质得到∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′，根据正方形的想
知道的∠HD′N=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）根据正方形的性质得到AE=EF=AD=8cm，由折叠得，AD′=AD=8cm，设NF=xcm，
则ND′=xcm，根据勾股定理列方程得到x=2，于是得到结论；
（4）根据（3，4，5）型三角形的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DAE=90°，
由折叠的性质得，AE=AD，∠AEF=∠D=90°，
∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∵AE=AD，
∴矩形AEFD是正方形；
（2）解：NF=ND′，
理由：连接HN，由折叠得，∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′，
∵四边形AEFD是正方形，
∴∠EFD=90°，
∵∠AD′H=90°，
∴∠HD′N=90°，
在Rt△HNF与Rt△HND′中， ，
∴Rt△HNF≌Rt△HND′，
∴NF=ND′；
（3）解：∵四边形AEFD是正方形，
∴AE=EF=AD=8cm，
由折叠得，AD′=AD=8cm，
设NF=xcm，则ND′=xcm，
在Rt△AEN中，
∵AN2=AE2+EN2，
∴（8+x）2=82+（8﹣x）2，
第26页（共29页）解得：x=2，
∴AN=8+x=10cm，EN=6cm，
∴EN：AE：AN=3：4：5，
∴△AEN是（3，4，5）型三角形；
（4）解：图4中还有△MFN，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形，
∵CF∥AE，
∴△CFN∽△AEN，
∵EN：AE：AN=3：4：5，
∴FN：CF：CN=3：4：5，
∴△MFN是（3，4，5）型三角形；
同理，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形．
【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形
的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
23．（14分）（2017•山西）如图，抛物线y=﹣ x2+ x+3 与x轴交于A、B两点（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的
速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点
O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作
QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的
运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）
②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？
若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．
第27页（共29页）【分析】（1）更好函数的解析式得到B（9，0），C（0，3 ），解方程组即可得到结论；
（2）①过p作PG⊥x轴于G，解直角三角形得到∠CAO=60°，得到PG= t，AG= t，于
是得到P（ t﹣3，t），把OQ=9﹣2t代入二次函数的解析式即可得到D（9﹣2t，﹣
t2+ t），②过P作PH⊥QD于H，得到四边形PGQH是矩形，列方程即可得到即可；
（3）根据折叠坐标公式得到F（﹣ t+3，﹣ t2+ t），由点F在直线BC上，列方程即
可得到结论．
【解答】解：（1）由y=0得﹣ x2+ x+3 =0，
解得：x =﹣3，x =9，
1 2
∴B（9，0），
由x=0得y=3 ，
∴C（0，3 ），
设直线BC的解析式为y=kx+b，∴ ，
∴ ，
∴直线BC的解析式为y=﹣ x+3 ；
（2）①过P作PG⊥x轴于G，
∵A（﹣3，0），C（0，3 ），
∴OA=3．OC=3 ，
∴tan∠CAO= ，
∴∠CAO=60°，
∵AP=t，
∴PG= t，AG= t，
∴OG=3﹣ t，
∴P（ t﹣3， t），
∵DQ⊥x轴，BQ=2t，
∴OQ=9﹣2t，
第28页（共29页）∴D（9﹣2t，﹣ t2+ t），
②过P作PH⊥QD于H，
则四边形PGQH是矩形，
∴HQ=PG，∵PQ=PD，PH⊥QD，∴DQ=2HQ=2PG，∵P（ t﹣3，t），D（9﹣2t，﹣ t2+
t），
∴﹣ t2+ t=2× t，
解得：t =0（舍去），t = ，∴当PQ=PD时，t的值是 ；
1 2
（3）∵点F为PD的中点，
∴F的横坐标为：（ t﹣3+9﹣2t）=﹣ t+3，F的纵坐标为（ t﹣ t2+ t）=﹣ t2+ t，
∴F（﹣ t+3，﹣ t2+ t），
∵点F在直线BC上，
∴﹣ t2+ t=﹣ （﹣ t+3）+3 ，
∴t=3，
∴F（ ， ）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，矩形的判定和性质，
中点坐标公式，方程的解法，正确的作出辅助线是解题的关键．
第29页（共29页）
