文档内容
2017 年辽宁省葫芦岛市中考数学试卷
一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中最小的是（ ）
A．3.3 B．C．﹣2 D．0
2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m3•m3=2m3 B．5m2n﹣4mn2=mn
C．（m+1）（m﹣1）=m2﹣1 D．（m﹣n）2=m2﹣mn+n2
4．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．乘坐公共汽车恰好有空座B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话 D．三角形内角和等于180°
5．（3分）点P（3，﹣4）关于y轴对称点P′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，4）D．（﹣4，3）
6．（3分）下表是某同学周一至周五每天跳绳个数统计表：
星期 一 二 三 四 五
跳绳个数 160 160 180 200 170
则表示“跳绳个数”这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．180，160B．170，160C．170，180 D．160，200
7．（3分）一次函数y=（m﹣2）x+3的图象如图所示，则m的取值范围是（ ）
第1页（共31页）A．m＜2B．0＜m＜2C．m＜0D．m＞2
8．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
9．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，
点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）
A．B．4C．4.5 D．5
10．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分别从点B和点C
出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，
设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为s，则能反映s与x之间的函数
关系的图象大致为 （ ）
第2页（共31页）A． B． C． D．
二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）今年1至4月份，某沿海地区苹果出口至“一带一路”沿线国家约11
000 000千克，数据11 000 000可以用科学记数法表示为 ．
12．（3分）因式分解：m2n﹣4mn+4n= ．
13．（3分）甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都
是85分，如果甲比赛成绩的方差为S 2=16.7，乙比赛成绩的方差为S 2=28.3，那
甲 乙
么成绩比较稳定的是 （填甲或乙）
14．（3分）正八边形的每个外角的度数为 ．
15．（3分）如图是有若干个全等的等边三角形拼成的纸板，若某人向纸板上投掷
飞镖，（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
16．（3分）一艘货轮又西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继
续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条
直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为 海里（结果保留根号）．
17．（3分）如图，点A（0，8），点B（4，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，
在射线MN上有一动点P．若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是 ．
第3页（共31页）18．（3分）如图，直线y= x上有点A ，A ，A ，…A ，且OA =1，A A =2，A A =4，
1 2 3 n+1 1 1 2 2 3
A A =2n分别过点A ，A ，A ，…A 作直线y= x的垂线，交y轴于点B ，B ，B ，…
n n+1 1 2 3 n+1 1 2 3
B ，依次连接A B ，A B ，A B ，…A B ，得到△A B B ，△A B B ，△A B B ，…，
n+1 1 2 2 3 3 4 n n+1 1 1 2 2 2 3 3 3 4
△A B B ，则△A B B 的面积为 ．（用含有正整数n的式子表示）
n n n+1 n n n+1
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（ +x﹣1）÷ ，其中x=（ ）﹣1+（﹣3）0．
20．（12分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校
数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）
在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图
请结合图中所给的信息解答下列问题：
第4页（共31页）（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心
角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多
少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一
种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同
一种沟通方式的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）在“母亲节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中
发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可
购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍．
（1）求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康
乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？
22．（12分）如图，直线y=3x与双曲线y=（k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标
是1．
（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；
（2）点B是双曲线上一点，且点B的纵坐标是1，连接OB，AB，求△AOB的面积．
第5页（共31页）五、解答题（满分12分）
23．（12分）“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试
营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之
间满足一次函数：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w
（元）（利润=票房收入﹣运营成本）．
（1）试求w与x之间的函数关系式；
（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC=BA，在∠ACB的内部作
∠ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊥AC于点H，连接BF．
（1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求 的长；
（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在
直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别
第6页（共31页）绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．
（1）如图1，当点C在射线AN上时，
①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；
②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，
AC= ，请直接写出线段AD和DF的长．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，
已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将
△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点
第7页（共31页）点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点
M的坐标．
第8页（共31页）2017 年辽宁省葫芦岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•葫芦岛）下列四个数中最小的是（ ）
A．3.3 B．C．﹣2 D．0
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一
切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜0＜ ＜3.3，
∴四个数中最小的是﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝
对值大的其值反而小．
2．（3分）（2017•葫芦岛）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图的定义，即可判定、
【解答】解：主视图是从正面看到的图，应该是选项B．
第9页（共31页）故答案为B．
【点评】本题考查三视图，解题的关键是理解三视图的意义，属于中考常考题型．
3．（3分）（2017•葫芦岛）下列运算正确的是（ ）
A．m3•m3=2m3 B．5m2n﹣4mn2=mn
C．（m+1）（m﹣1）=m2﹣1 D．（m﹣n）2=m2﹣mn+n2
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，平方差公式，完全平方公式的计算法
则进行计算即可求解．
【解答】解：A、m3•m3=m6，故选项错误；
B、5m2n，4mn2不是同类项不能合并，故选项错误；
C、（m+1）（m﹣1）=m2﹣1，故选项正确；
D、（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2，故选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，平方差公式，完全平方公
式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）（2017•葫芦岛）下列事件是必然事件的是（ ）
A．乘坐公共汽车恰好有空座B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话 D．三角形内角和等于180°
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种
类别．根据实际情况即可解答．
【解答】解：A．乘坐公共汽车恰好有空座，是随机事件；
B．同位角相等，是随机事件；
C．打开手机就有未接电话，是随机事件；
D．三角形内角和等于180°，是必然事件．
故选D．
【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确
定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件不
可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在
一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
第10页（共31页）5．（3分）（2017•葫芦岛）点P（3，﹣4）关于y轴对称点P′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，4）D．（﹣4，3）
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点P（3，﹣4）关于y轴对称点P′，
∴P′的坐标是：（﹣3，﹣4）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关
键．
6．（3分）（2017•葫芦岛）下表是某同学周一至周五每天跳绳个数统计表：
星期 一 二 三 四 五
跳绳个数 160 160 180 200 170
则表示“跳绳个数”这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．180，160B．170，160C．170，180 D．160，200
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是
170，则中位数是170；
160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；
故选B．
【点评】此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位
数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两
个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
7．（3分）（2017•葫芦岛）一次函数y=（m﹣2）x+3的图象如图所示，则m的取值
范围是（ ）
第11页（共31页）A．m＜2B．0＜m＜2C．m＜0D．m＞2
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系知m﹣2＜0，据此可以求得m的取值
范围．
【解答】解：如图所示，一次函数y=（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2．
故选A．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本
题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线
必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴
相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
8．（3分）（2017•葫芦岛）如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的
度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB= ∠AOB，即可计算出∠ACB．
【解答】解：∵∠AOB=70°，
∴∠ACB= ∠AOB=35°．
故选B．
【点评】本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
9．（3分）（2017•葫芦岛）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD
边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）
第12页（共31页）A．B．4C．4.5 D．5
【分析】设FC′=x，则FD=9﹣x，根据矩形的性质结合BC=6、点C′为AD的中点，即可
得出C′D的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元二次方程，
解之即可得出结论．
【解答】解：设FC′=x，则FD=9﹣x，
∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，
∴AD=BC=6，C′D=3．
在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，
∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，
解得：x=5．
故选D．
【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在Rt△FC′D中，利用勾股定理找出
关于FC′的长度的一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）（2017•葫芦岛）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分
别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足
为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为s，则能反映s
与x之间的函数关系的图象大致为 （ ）
第13页（共31页）A． B． C． D．
【分析】根据菱形的性质得到∠DBC=60°，根据直角三角形的性质得到BH= BQ=1+
x，过H作HG⊥BC，得到HG= BH= + x，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，
∴∠DBC=60°，
∵BQ=2+x，QH⊥BD，
∴BH= BQ=1+ x，
过H作HG⊥BC，
∴HG= BH= + x，
∴s= PB•GH= x2+ x，（0＜x≤2），
故选A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，直角三角形的性质，三角
形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2017•葫芦岛）今年1至4月份，某沿海地区苹果出口至“一带一路”
沿线国家约 11 000 000 千克，数据 11 000 000 可以用科学记数法表示为
1.1 × 10 7 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值是易错点，由于11 000 000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．
【解答】解：11 000 000=1.1×107，
故答案为：1.1×107．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
第14页（共31页）12．（3分）（2017•葫芦岛）因式分解：m2n﹣4mn+4n= n （ m﹣ 2 ） 2 ．
【分析】先提取公因式n，再根据完全平方公式进行二次分解．
【解答】解：m2n﹣4mn+4n，
=n（m2﹣4m+4），
=n（m﹣2）2．
故答案为：n（m﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公
式进行二次分解，注意分解要彻底．
13．（3分）（2017•葫芦岛）甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成
绩的平均分都是85分，如果甲比赛成绩的方差为S 2=16.7，乙比赛成绩的方差
甲
为S 2=28.3，那么成绩比较稳定的是 甲 （填甲或乙）
乙
【分析】根据方差的意义即可求得答案．
【解答】解：
∵S 2=16.7，S 2=28.3，
甲 乙
∴S 2＜S 2，
甲 乙
∴甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差的意义，掌握方差的意义是解题的关键，即方差越大其
数据波动越大，即成绩越不稳定．
14．（3分）（2017•葫芦岛）正八边形的每个外角的度数为 45 ° ．
【分析】利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案．
【解答】解：360°÷8=45°．
故答案为：45°．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是
360°．
15．（3分）（2017•葫芦岛）如图是有若干个全等的等边三角形拼成的纸板，若某
第15页（共31页）人向纸板上投掷飞镖，（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是
．
【分析】确定阴影部分的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出飞
镖落在阴影区域的概率．
【解答】解：如图：阴影部分的面积占6份，总面积是16份，∴飞镖落在阴影部分
的概率是 = ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
16．（3分）（2017•葫芦岛）一艘货轮又西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北
偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，
点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为 （ 4 ﹣4 ） 海里
（结果保留根号）．
【分析】根据题意得：PC=4海里，∠PBC=45°，∠PAC=30°，在直角三角形APC中，由
勾股定理得出AC= PC=4（海里），在直角三角形BPC中，得出BC=PC=4海里，即可
得出答案．
【解答】解：根据题意得：PC=4海里，∠PBC=90°﹣45°=45°，∠PAC=90°﹣60°=30°，
在直角三角形APC中，∵∠PAC=30°，∠C=90°，
∴AC= PC=4 （海里），
在直角三角形BPC中，∵∠PBC=45°，∠C=90°，
第16页（共31页）∴BC=PC=4海里，
∴AB=AC=BC=（4 ﹣4）海里；
故答案为：（4 ﹣4）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用；求出AC和BC的长度
是解决问题的关键．
17．（3分）（2017•葫芦岛）如图，点A（0，8），点B（4，0），连接AB，点M，N分别是
OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P．若△ABP是直角三角形，则点P的坐标
是 （ 2 + 2 ， 4 ）或（ 1 2 ， 4 ） ．
【分析】根据勾股定理得到AB=4 ，根据三角形中位线的性质得到AM=OM=4，
MN=2，AN=BN=2 ，①当∠APB=90°时，根据直角三角形的性质得到PN=AN=2 ，于
是得到P（2 +2，4），②当∠ABP=90°时，如图，过P作PC⊥x轴于C，根据相似三角
形的性质得到BP=AB=4 ，根据勾股定理得到PN=2 ，求得P（2 +2，4）．
【解答】解：∵点A（0，8），点B（4，0），
∴OA=8，OB=4，
∴AB=4 ，
∵点M，N分别是OA，AB的中点，
∴AM=OM=4，MN=2，AN=BN=2 ，
①当∠APB=90°时，
∵AN=BN，
∴PN=AN=2 ，
∴PM=MN+PN=2 +2，
∴P（2 +2，4），
第17页（共31页）②当∠ABP=90°时，如图，
过P作PC⊥x轴于C，
则△ABO∽△BPC，
∴ = =1，
∴BP=AB=4 ，
∴PC=OB=4，
∴BC=8，
∴PM=OC=4+8=12，
∴P（12，4），
故答案为：（2 +2，4）或（12，4）．
【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，直角
三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
18．（3分）（2017•葫芦岛）如图，直线y= x上有点A ，A ，A ，…A ，且OA =1，
1 2 3 n+1 1
A A =2，A A =4，A A =2n分别过点A ，A ，A ，…A 作直线y= x的垂线，交y轴于
1 2 2 3 n n+1 1 2 3 n+1
点B ，B ，B ，…B ，依次连接A B ，A B ，A B ，…A B ，得到△A B B ，△A B B ，
1 2 3 n+1 1 2 2 3 3 4 n n+1 1 1 2 2 2 3
△A B B ，…，△A B B ，则△A B B 的面积为 （ 2 2n﹣ 1 ﹣ 2 n﹣ 1 ） ．（用含有正整
3 3 4 n n n+1 n n n+1
数n的式子表示）
第18页（共31页）【分析】由直线OA 的解析式可得出∠A OB =60°，结合A A =2n可求出A B 的值，
n n n n n+1 n n
再根据三角形的面积公式即可求出△A B B 的面积．
n n n+1
【解答】解：∵直线OA 的解析式y= x，
n
∴∠A OB =60°．
n n
∵OA =1，A A =2，A A =4，A A =2n，
1 1 2 2 3 n n+1
∴A B = ，A B =3 ，A B =7 ．
1 1 2 2 3 3
设S=1+2+4+…+2n﹣1，则2S=2+4+8+…+2n，
∴S=2S﹣S=（2+4+8+…+2n）﹣（1+2+4+…+2n﹣1）=2n﹣1，
∴A B =（2n﹣1） ．
n n
∴ = A B •A A = ×（2n﹣1） ×2n=（22n﹣1﹣2n﹣1） ．
n n n n+1
故答案为：（22n﹣1﹣2n﹣1） ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解直角三角形
以及规律型中数的变化规律，根据边的变化找出变化规律“A B =（2n﹣1） ”是
n n
解题的关键．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）（2017•葫芦岛）先化简，再求值：（ +x﹣1）÷ ，其中x=（ ）﹣1+（﹣3）
0．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= ×
第19页（共31页）= ×
=
当x=2+1=3时，原式= ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（12分）（2017•葫芦岛）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多
样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必
选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两
幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 10 0 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心
角的度数为 108 ° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多
少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一
种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同
一种沟通方式的概率．
【分析】（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用
QQ的百分比即可求出QQ的扇形圆心角度数．
（2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图．
（3）用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计1500名学生中喜欢用微信进
行沟通的人数即可求出答案；
（4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式
的情况后，利用概念公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概
第20页（共31页）率
【解答】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了：20÷20%=100人
喜欢用QQ沟通所占比例为： = ，
∴QQ”的扇形圆心角的度数为：360°× =108°
（2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人
喜欢用微信的人数为：100﹣20﹣5﹣30﹣5=40
补充图形，如图所示：
（3）喜欢用微信沟通所占百分比为： ×100%=40%
∴该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：
1500×40%=600人
（4）列出树状图，如图所示
所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为： =
故答案为：（1）100；108°
第21页（共31页）【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是熟练运用统计与概率的相关公式，本
题属于中等题型．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）（2017•葫芦岛）在“母亲节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜
花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销
降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍．
（1）求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康
乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？
【分析】（1）可设降价后每枝玫瑰的售价是x元，根据等量关系：降价后30元可购
买玫瑰的数量=原来购买玫瑰数量的1.5倍，列出方程求解即可；
（2）可设购进玫瑰y枝，根据不等量关系：购进康乃馨的钱数+购进玫瑰的钱数
≤900元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设降价后每枝玫瑰的售价是x元，依题意有
= ×1.5，
解得：x=2．
经检验，x=2是原方程的解．
答：降价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）设购进玫瑰y枝，依题意有
2（500﹣x）+1.5x≤900，
解得：y≥200．
第22页（共31页）答：至少购进玫瑰200枝．
【点评】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适
的等量关系和不等关系是解决问题的关键．
22．（12分）（2017•葫芦岛）如图，直线y=3x与双曲线y=（k≠0，且x＞0）交于点
A，点A的横坐标是1．
（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；
（2）点B是双曲线上一点，且点B的纵坐标是1，连接OB，AB，求△AOB的面积．
【分析】（1）把x=1代入直线解析式求出y的值，确定出A坐标，将A坐标代入反
比例解析式求出k的值即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）将x=1代入y=3x，得：y=3，
∴点A的坐标为（1，3），
将A（1，3）代入y= ，得：k=3，
∴反比例函数的解析式为y= ；
（2）在y= 中y=1时，x=3，
∴点B（3，1），
如图，S =S ﹣S ﹣S ﹣S
△AOB 矩形OCED △AOC △BOD △ABE
第23页（共31页）=3×3﹣ ×1×3﹣ ×1×3﹣ ×2×2
=4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数
的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了三角形面积公式．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）（2017•葫芦岛）“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成
本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票
售价x（元/张）之间满足一次函数：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城
每天的利润为w（元）（利润=票房收入﹣运营成本）．
（1）试求w与x之间的函数关系式；
（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据“利润=票房收入﹣运营成本”可得函数解析式；
（2）将函数解析式配方成顶点式，由10≤x≤50，且x是整数结合二次函数的性质
求解可得．
【解答】解：（1）根据题意，得：w=（﹣4x+220）x﹣1000=﹣4x2+220x﹣1000；
（2）∵w=﹣4x2+220x﹣1000=﹣4（x﹣27.5）2+2025，
∴当x=27或28时，w取得最大值，最大值为2024，
答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．
【点评】本题是二次函数的应用，解题的关键是得出函数解析式，并熟练掌握二次
函数的性质．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）（2017•葫芦岛）如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC=BA，在∠ACB
的内部作∠ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊥AC于点H，连接BF．
（1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求 的长；
（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．
第24页（共31页）【分析】（1）连接OB，首先证明四边形BOHF是矩形，求出AB、BF的长，由
BF∥AC，可得 = = = ，可得 = ，由此即可解决问题；
（2）结论：BF是⊙O的切线．只要证明OB⊥BF即可；
【解答】解：（1）∵AC是直径，
∴∠CBA=90°，
∵BC=BA，OC=OA，
∴OB⊥AC，
∵FH⊥AC，
∴OB∥FH，
在Rt△CFH中，∵∠FCH=30°，
∴FH= CF，
∵CA=CF，
∴FH= AC=OC=OA=OB，
∴四边形BOHF是平行四边形，
∵∠FHO=90°，
∴四边形BOHF是矩形，
∴BF=OH，
在Rt△ABC中，∵AC=8，
∴AB=BC=4 ，
∵CF=AC=8，
∴CH=4 ，BF=OH=4 ﹣4，
∵BF∥AC，
∴ = = = ，
第25页（共31页）∴ = ，
∴AG=4 ﹣4 ．
（2）结论：BF是⊙O的切线．
理由：由（1）可知四边形OBHF是矩形，
∴∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线．
【点评】本题考查切线的判定、矩形的判定．等腰三角形的性质，直角三角形30度
角的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）（2017•葫芦岛）如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上
一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射
线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点
D和点E．
第26页（共31页）（1）如图1，当点C在射线AN上时，
①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；
②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，
AC= ，请直接写出线段AD和DF的长．
【分析】（1）①结论：BC=BD．只要证明△BGD≌△BHC即可．②结论：AD+AC= BE．
只要证明AD+AC=2AG=2EG，再证明EB= BE即可解决问题；
（2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K．由（1）可知，
△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH=GB=2，AH=AG=EG=2 ，BC=BD= = ，
CH=DG=3 ，推出AD=5 ，由sin∠ACH= = ，推出 = ，可得AK= ，设FG=y，则AF=2
﹣y，BF= ，由△AFK∽△BFG，可得 = ，可得方程 = ，求出y即可解决问题．
【解答】解：（1）①结论：BC=BD．
理由：如图1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H．
∵∠MAN=60°，PA平分∠MAN，BG⊥AM于G，BH⊥AN于H
∴BG=BH，∠GBH=∠CBD=120°，
第27页（共31页）∴∠CBH=∠GBD，∵∠BGD=∠BHC=90°，
∴△BGD≌△BHC，
∴BD=BC．
②结论：AD+AC= BE．
∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，
∴∠BEA=∠BAE=30°，
∴BA=BE，∵BG⊥AE，
∴AG=GE，EG=BE•cos30°= BE，
∵△BGD≌△BHC，
∴DG=CH，
∵AB=AB，BG=BH，
∴Rt△ABG≌Rt△ABH，
∴AG=AH，
∴AD+AC=AG+DG+AH﹣CH=2AG= BE，
∴AD+AC= BE．
（2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K．
由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，
易知BH=GB=2，AH=AG=EG=2 ，BC=BD= = ，CH=DG=3 ，
∴AD=5 ，
∵sin∠ACH= = ，
第28页（共31页）∴ = ，
∴AK= ，设FG=y，则AF=2 ﹣y，BF= ，
∵∠AFK=∠BFG，∠AKF=∠BGF=90°，
∴△AFK∽△BFG，
∴ = ，
∴ = ，
解得y= 或3 （舍弃），
∴DF=GF+DG= +3 = ．
【点评】本题考查几何变换综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定
和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）（2017•葫芦岛）如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交
于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将
△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点
点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点
M的坐标．
第29页（共31页）【分析】（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式可求得a、c的值，从而得到
抛物线的解析式，最后利用配方法可求得点D的坐标；
（2）将y=0代入抛物线的解析式求得点B的坐标，然后由抛物线的对称轴方程可
求得点E的坐标，由折叠的性质可求得∠BEP=45°，设直线EP的解析式为y=﹣
x+b，将点E的坐标代入可求得b的值，从而可求得直线EP的解析式，最后将直线
EP的解析式和抛物线的解析式联立组成方程组求解即可；
（3）先求得直线CD的解析式，然后再求得直线CB的解析式为y=k x﹣8，从而可
2
求得点F的坐标，设点M的坐标为（a，﹣a﹣8），然后分为MF=MB、FM=FB两种情
况列方程求解即可．
【解答】解：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得： ，
解得：a=1，c=﹣8．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．
∵y=（x﹣1）2﹣9，
∴D（1，﹣9）．
（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，
∴B（4，0）．
∵y=（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴E（1，0）．
∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，
∴EP为∠BEF的角平分线．
∴∠BEP=45°．
设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，
∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．
将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x= 或x= ．
∵点P在第四象限，
∴x= ．
∴y= ．
∴P（ ， ）．
（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，
第30页（共31页）∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．
设直线CB的解析式为y=k x﹣8，将点B的坐标代入得：4k ﹣8=0，解得：k =2．
2 2 2
∴直线BC的解析式为y=2x﹣8．
将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6，
∴F（1，﹣6）．
设点M的坐标为（a，﹣a﹣8）．
当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣ ．
∴点M的坐标为（﹣ ， ）．
当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：
a=4或a=﹣5．
∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．
综上所述，点M的坐标为（﹣ ， ）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求二次函数的解析式、翻折的性质、两点间的距离公式，依据两点间的距离公
式列出关于a的方程是解题的关键．
第31页（共31页）
