文档内容
2017 年辽宁省大连市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）在实数﹣1，0，3， 中，最大的数是（ ）
A．﹣1 B．0C．3D．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆锥B．长方体 C．圆柱D．球
3．（3分）计算 ﹣ 的结果是（ ）
A． B．C．D．
4．（3分）计算（﹣2a3）2的结果是（ ）
A．﹣4a5B．4a5 C．﹣4a6D．4a6
5．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，若直线a∥b，∠1=108°，则∠2的度数为（
）
A．108° B．82° C．72° D．62°
6．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为
（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，﹣
1），B（1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐
标为（ ）
第1页（共26页）A．（4，2）B．（5，2）C．（6，2）D．（5，3）
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，
CD=DE=a，则AB的长为（ ）
A．2a B．2 a C．3a D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）计算：﹣12÷3= ．
10．（3分）下表是某校女子排球队队员的年龄分布：
年龄/岁 13 14 15 16
人数 1 4 5 2
则该校女子排球队队员年龄的众数是 岁．
11．（3分）五边形的内角和为 ．
12．（3分）如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半
径为 cm．
13．（3分）关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为
．
14．（3分）某班学生去看演出，甲种票每张30元，乙种票每张20元，如果36名学
生购票恰好用去860元，设甲种票买了x张，乙种票买了y张，依据题意，可列方
程组为 ．
15．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A
处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，
此时，B处与灯塔P的距离约为 n mile．（结果取整数，参考数据：≈1.7，
第2页（共26页）≈1.4）
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，m）、（3，m+2），直
线y=2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围为 （用含m的代数式表
示）．
三、解答题（17-19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）计算：（ +1）2﹣ +（﹣2）2．
18．（9分）解不等式组： ．
19．（9分）如图，在 ▱ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F
在AC的延长线上，求证：AE=CF．
20．（12分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的
喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜
爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E
节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 12 30 m 54 9
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）被调查学生中，最喜爱体育节目的有 人，这些学生数占被调查总人数
的百分比为 %．
第3页（共26页）（2）被调查学生的总数为 人，统计表中m的值为 ，统计图中n的
值为 ．
（3）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为 ．
（4）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数．
四、解答题（21、22小题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件
所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零
件？
22．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y= 经过 ▱ABCD的顶点B，D．
点D的坐标为（2，1），点A在y轴上，且AD∥x轴，S =5．
▱ABCD
（1）填空：点A的坐标为 ；
（2）求双曲线和AB所在直线的解析式．
23．（10分）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，
AD与BC相交于点E．
（1）求证：BD=BE；
（2）若DE=2，BD= ，求CE的长．
第4页（共26页）五、解答题（24题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E分别在AC，BC上（点
D与点A，C不重合），且∠DEC=∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′．
当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q（点P与点Q不重合）时，设
CD=x，PQ=y．
（1）求证：∠ADP=∠DEC；
（2）求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
25．（12 分）如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，OB=OD，
OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．
（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ；
（2）求 的值；
（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若
CD= ，求PC的长．
第5页（共26页）26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点
A（0， ）
（1）若此抛物线经过点B（2，﹣ ），且与x轴相交于点E，F．
①填空：b= （用含a的代数式表示）；
②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；
（2）若a= ，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．
第6页（共26页）2017 年辽宁省大连市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）（2017•大连）在实数﹣1，0，3， 中，最大的数是（ ）
A．﹣1 B．0C．3D．
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数进行比较
即可．
【解答】解：在实数﹣1，0，3， 中，最大的数是3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握任意两个实数都可以比较
大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝
对值大的反而小．
2．（3分）（2017•大连）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆锥B．长方体 C．圆柱D．球
【分析】根据主视图与左视图，主视图与俯视图的关系，可得答案．
【解答】解：由主视图与左视图都是高平齐的矩形，主视图与俯视图都是长对正的
矩形，得
几何体是矩形，
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，利用主视图与左视图，主视图与俯视图
的关系是解题关键．
3．（3分）（2017•大连）计算 ﹣ 的结果是（ ）
第7页（共26页）A． B．C．D．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=
=
故选（C）
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算，本题属于基础
题型．
4．（3分）（2017•大连）计算（﹣2a3）2的结果是（ ）
A．﹣4a5B．4a5 C．﹣4a6D．4a6
【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可．
【解答】解：原式=4a6，
故选D．
【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
5．（3分）（2017•大连）如图，直线a，b被直线c所截，若直线a∥b，∠1=108°，则
∠2的度数为（ ）
A．108° B．82° C．72° D．62°
【分析】两直线平行，同位角相等．再根据邻补角的性质，即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1=∠3=108°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=72°，
即∠2的度数等于72°．
第8页（共26页）故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及邻补角，解题时注意：两直线平行，同
位角相等．
6．（3分）（2017•大连）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的
概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上
的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，
所以两枚硬币全部正面向上的概率= ．
故答案为 ，
故选A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能
的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求
出事件A或B的概率．
7．（3分）（2017•大连）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别
为A（﹣1，﹣1），B（1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），
则点B′的坐标为（ ）
A．（4，2）B．（5，2）C．（6，2）D．（5，3）
第9页（共26页）【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移4个单位，然后可
得B′点的坐标．
【解答】解：∵A（﹣1，﹣1）平移后得到点A′的坐标为（3，﹣1），
∴向右平移4个单位，
∴B（1，2）的对应点坐标为（1+4，2），
即（5，2）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，
左移减；纵坐标，上移加，下移减．
8．（3分）（2017•大连）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是
AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）
A．2a B．2 a C．3a D．
【分析】根据勾股定理得到CE= a，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，
∴CE= a，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，
∴AB=2CE=2 a，
故选B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能求出AE=CE是解此题的关键，注
意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2017•大连）计算：﹣12÷3= ﹣ 4 ．
【分析】原式利用异号两数相除的法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣4．
第10页（共26页）故答案为：﹣4
【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（3分）（2017•大连）下表是某校女子排球队队员的年龄分布：
年龄/岁 13 14 15 16
人数 1 4 5 2
则该校女子排球队队员年龄的众数是 1 5 岁．
【分析】根据表格中的数据确定出人数最多的队员年龄确定出众数即可．
【解答】解：根据表格得：该校女子排球队队员年龄的众数是15岁，
故答案为：15
【点评】此题考查了众数，弄清众数的定义是解本题的关键．
11．（3分）（2017•大连）五边形的内角和为 540 ° ．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可．
【解答】解：（5﹣2）•180°=540°．
故答案为：540°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题．
12．（3分）（2017•大连）如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC=3cm，
则⊙O的半径为 5 cm．
【分析】先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AC=4，
∵OC=3，
∴OA= = =5．
第11页（共26页）故答案为：5．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知垂直与弦的直径平分弦是解答此题的关键．
13．（3分）（2017•大连）关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的
取值范围为 c ＜ 1 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解
之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4c=4﹣4c＞0，
解得：c＜1．
故答案为：c＜1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数
根”是解题的关键．
14．（3分）（2017•大连）某班学生去看演出，甲种票每张30元，乙种票每张20元，
如果36名学生购票恰好用去860元，设甲种票买了x张，乙种票买了y张，依据
题意，可列方程组为 ．
【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据“36名学生购票恰好用去860
元”作为相等关系列方程组．
【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据题意，得：
，
故答案为 ．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂
题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
15．（3分）（2017•大连）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔
第12页（共26页）86n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方
向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为 10 2 n mile．（结果取整数，参考
数据： ≈1.7， ≈1.4）
【分析】根据题意得出∠MPA=∠PAD=60°，从而知 PD=AP•sin∠PAD=43 ，由
∠BPD=∠PBD=45°根据BP= ，即可求出即可．
【解答】解：过P作PD⊥AB，垂足为D，
∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A处，
∴∠MPA=∠PAD=60°，
∴PD=AP•sin∠PAD=86× =43 ，
∵∠BPD=45°，
∴∠B=45°．
在Rt△BDP中，由勾股定理，得
BP= = =43 × ≈102（n mile）．
故答案为：102．
【点评】此题主要考查了方向角含义，勾股定理的运用，正确记忆三角函数的定义
得出相关角度是解决本题的关键．
第13页（共26页）16．（3分）（2017•大连）在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，
m）、（3，m+2），直线y=2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围为 m﹣
6 ≤ b ≤ m﹣4 （用含m的代数式表示）．
【分析】由点的坐标特征得出线段AB∥y轴，当直线y=2x+b经过点A时，得出
b=m﹣6；当直线y=2x+b经过点B时，得出b=m﹣4；即可得出答案．
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（3，m）、（3，m+2），
∴线段AB∥y轴，
当直线y=2x+b经过点A时，6+b=m，则b=m﹣6；
当直线y=2x+b经过点B时，6+b=m+2，则b=m﹣4；
∴直线y=2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围为m﹣6≤b≤m﹣4；
故答案为：m﹣6≤b≤m﹣4．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条
直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行
的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
三、解答题（17-19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）（2017•大连）计算：（ +1）2﹣ +（﹣2）2．
【分析】首先利用完全平方公式计算乘方，化简二次根式，乘方，然后合并同类二
次根式即可．
【解答】解：原式=3+2 ﹣2 +4
=7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解完全平方公式的结构是关键．
18．（9分）（2017•大连）解不等式组： ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大
中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣3＞1，得：x＞2，
解不等式 ＞ ﹣2，得：x＜4，
∴不等式组的解集为2＜x＜4
第14页（共26页）【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答
此题的关键．
19．（9分）（2017•大连）如图，在 ▱ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，
DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE=CF．
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，由平行线的性质得出得出
∠ BAC=∠ DCA ， 证 出 ∠ EAB=∠ FCD ， ∠ BEA=∠ DFC=90° ， 由 AAS 证 明
△BEA≌△DFC，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴180°﹣∠BAC=180°﹣∠DCA，
∴∠EAB=∠FCD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA=∠DFC=90°，
在△BEA和△DFC中， ，
∴△BEA≌△DFC（AAS），
∴AE=CF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行
四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
20．（12分）（2017•大连）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五
类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只
选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E
第15页（共26页）节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 12 30 m 54 9
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）被调查学生中，最喜爱体育节目的有 3 0 人，这些学生数占被调查总人数
的百分比为 2 0 %．
（2）被调查学生的总数为 15 0 人，统计表中m的值为 4 5 ，统计图中n的值
为 3 6 ．
（3）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为 21.6 ° ．
（4）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数．
【分析】（1）观察图表休息即可解决问题；
（2）根据百分比= ，计算即可；
（3）根据圆心角=360°×百分比，计算即可；
（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；
【解答】解：（1）最喜爱体育节目的有 30人，这些学生数占被调查总人数的百分
比为 20%．
故答案为30，20．
（2）总人数=30÷20%=150人，
m=150﹣12﹣30﹣54﹣9=45，
n%= ×100%=36%，即n=36，
故答案为150，45，36．
（3）E类所对应扇形的圆心角的度数=360°× =21.6°．
故答案为21.6°
第16页（共26页）（4）估计该校最喜爱新闻节目的学生数为2000× =160人．
答：估计该校最喜爱新闻节目的学生数为160人．
【点评】本题考查统计表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
四、解答题（21、22小题各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）（2017•大连）某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生
产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天
生产多少个零件？
【分析】设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产（x+25）个零件，根据
现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，即可得出
关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产（x+25）个零件，
根据题意得： = ，
解得：x=75，
经检验，x=75是原方程的解．
答：原计划平均每天生产75个零件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．
22．（9分）（2017•大连）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y= 经过 ▱ABCD
的顶点B，D．点D的坐标为（2，1），点A在y轴上，且AD∥x轴，S =5．
▱ABCD
（1）填空：点A的坐标为 （ 0 ， 1 ） ；
（2）求双曲线和AB所在直线的解析式．
【分析】（1）由D得坐标以及点A在y轴上，且AD∥x轴即可求得；
第17页（共26页）（2）由平行四边形得面积求得AE得长，即可求得OE得长，得到B得纵坐标，代入
反比例函数得解析式求得B得坐标，然后根据待定系数法即可求得AB所在直线
的解析式．
【解答】解：（1）∵点D的坐标为（2，1），点A在y轴上，且AD∥x轴，
∴A（0，1）；
故答案为（0，1）；
（2）∵双曲线y= 经过点D（2，1），
∴k=2×1=2，
∴双曲线为y= ，
∵D（2，1），AD∥x轴，
∴AD=2，
∵S =5，
▱ABCD
∴AE= ，
∴OE= ，
∴B点纵坐标为﹣ ，
把y=﹣ 代入y= 得，﹣ = ，解得x=﹣ ，
∴B（﹣ ，﹣ ），
设直线AB得解析式为y=ax+b，
代入A（0，1），B（﹣ ，﹣ ）得： ，
解得 ，
∴AB所在直线的解析式为y= x+1．
【点评】本题主要考查了平行四边形的面积、待定系数法求反比例函数和一次函
数解析式，根据平行四边形得面积求出点B的坐标，是解答本题的关键．
第18页（共26页）23．（10分）（2017•大连）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD
是⊙O的切线，AD与BC相交于点E．
（1）求证：BD=BE；
（2）若DE=2，BD= ，求CE的长．
【分析】（1））设∠BAD=α，由于AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD=α，进而求出
∠D=∠BED=90°﹣α，从而可知BD=BE；
（2）设CE=x，由于AB是⊙O的直径，∠AFB=90°，又因为BD=BE，DE=2，FE=FD=1，
由于BD= ，所以tanα= ，从而可求出AB= =2 ，利用勾股定理列出方程即可求出x
的值．
【解答】解：（1）设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD=α，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°﹣2α，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠DBE=2α，
∠BED=∠BAD+∠ABC=90°﹣α，
∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=90°﹣α，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE
（2）设AD交⊙O于点F，CE=x，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
第19页（共26页）∵BD=BE，DE=2，
∴FE=FD=1，
∵BD= ，
∴tanα= ，
∴AC=2x
∴AB= =2
在Rt△ABC中，
由勾股定理可知：（2x）2+（x+ ）2=（2 ）2，
∴解得：x=﹣ 或x= ，
∴CE= ；
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解方程
等知识，综合程度较高，属于中等题型．
五、解答题（24题11分，25、26题各12分，共35分）
24．（11分）（2017•大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E分别在
AC，BC上（点D与点A，C不重合），且∠DEC=∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°
得到△DC′E′．当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q（点P与点Q不重
合）时，设CD=x，PQ=y．
（1）求证：∠ADP=∠DEC；
（2）求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
第20页（共26页）【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明；
（2）分两种情形①如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即 ＜x≤ 时，过P作
MN∥DC′，设∠B=α．②当DC′交AB于Q时，即 ＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC
于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，分别求解即可；
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠EDE′=∠C=90°，
∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠ADP=∠DEC．
（2）解：如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即 ＜x≤ 时，过P作MN∥DC′，设
∠B=α
∴MN⊥AC，四边形DC′MN是矩形，
∴PM=PQ•cosα= y，PN= × （3﹣x），
∴ （3﹣x）+ y=x，
∴y= x﹣ ，
当DC′交AB于Q时，即 ＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则
四边形PMDN是矩形，
第21页（共26页）∴PN=DM，
∵DM= （3﹣x），PN=PQ•sinα= y，
∴ （3﹣x）= y，
∴y=﹣ x+ ．
综上所述，y=
【点评】本题考查旋转变换、直角三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
25．（12分）（2017•大连）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．
（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ∠ BAD + ∠ ACB=180 ° ；
（2）求 的值；
（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若
CD= ，求PC的长．
【分析】（1）在△ABD 中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：
∠BAD+∠ACB=180°；
第22页（共26页）（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设
AB=DE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出 = = = ，可得 = ，可得4y2+2xy﹣
x2=0，即（ ）2+ ﹣1=0，求出 的值即可解决问题；
（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得 = = ，可
得 = ，即 = ，由此即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，
在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，
∴∠BAD+∠ACB=180°，
故答案为∠BAD+∠ACB=180°．
（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．
∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，
∵OB=OD，
∴△OAB≌△OED，
∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，
∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，
∴∠EDA=∠ACB，
∵∠DEA=∠CAB，
∴△EAD∽△ABC，
∴ = = = ，
∴ = ，
∴4y2+2xy﹣x2=0，
∴（ ）2+ ﹣1=0，
第23页（共26页）∴ = （负根已经舍弃），
∴ = ．
（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．
由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，
∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，
∴DE∥CA′∥AB，
∴∠ABC+∠A′CB=180°，
∵△EAD∽△ACB，
∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，
∴∠DA′C+∠A′CB=180°，
∴A′D∥BC，
∴△PA′D∽△PBC，
∴ = = ，
∴ = ，即 =
∵CD= ，
∴PC=1．
【点评】本题考查几何变换综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、相
似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三
角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构造方程解决问题，属于中考压轴题
26．（12分）（2017•大连）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向
上，且经过点A（0， ）
（1）若此抛物线经过点B（2，﹣ ），且与x轴相交于点E，F．
第24页（共26页）①填空：b= ﹣ 2a﹣1 （用含a的代数式表示）；
②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；
（2）若a= ，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．
【分析】（1）①由A点坐标可求得c，再把B点坐标代入可求得b与a的关系式，
可求得答案；②用a可表示出抛物线解析式，令y=0可得到关于x的一元二次方
程，利用根与系数的关系可用a表示出EF的值，再利用函数性质可求得其取得最
小值时a的值，可求得抛物线解析式；
（2）可用b表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为 x=﹣b，由题意可得出当
x=0、x=1或x=﹣b时，抛物线上的点可能离x轴最远，可分别求得其函数值，得到
关于b的方程，可求得b的值．
【解答】解：
（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0， ），
∴c= ，
∵抛物线经过点B（2，﹣ ），
∴﹣ =4a+2b+ ，
∴b=﹣2a﹣1，
故答案为：﹣2a﹣1；
②由①可得抛物线解析式为y=ax2﹣（2a+1）x+ ，
令y=0可得ax2﹣（2a+1）x+ =0，
∵△=（2a+1）2﹣4a× =4a2﹣2a+1=4（a﹣ ）2+ ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，设为x 、x ，
1 2
∴x +x = ，x x = ，
1 2 1 2
∴EF2=（x ﹣x ）2=（x +x ）2﹣4x x = =（ ﹣1）2+3，
1 2 1 2 1 2
∴当a=1时，EF2有最小值，即EF有最小值，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+ ；
（2）当a= 时，抛物线解析式为y= x2+bx+ ，
∴抛物线对称轴为x=﹣b，
∴只有当x=0、x=1或x=﹣b时，抛物线上的点才有可能离x轴最远，
当x=0时，y= ，当x=1时，y= +b+ =2+b，当x=﹣b时，y=（﹣b）2+b（﹣b）+ =﹣ b2+ ，
①当|2+b|=3时，b=1或b=﹣5，且顶点不在范围内，满足条件；
第25页（共26页）②当|﹣ b2+ |=3时，b=±3，对称轴为直线x=±3，不在范围内，故不符合题意，
综上可知b的值为1或﹣5．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数的性质、一元二次方
程根与系数的关系、二次函数的最值、分类讨论思想等知识．在（1）①中注意利用
待定系数法的应用，在（1）②中用a表示出EF2是解题的关键，注意一元二次方程
根与系数的关系的应用，在（2）中确定出抛物线上离x轴距离可能最远的点是解
题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
第26页（共26页）
